Matematica e Statistica Modulo di Matematica

Matematica e Statistica
Modulo di Matematica
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Biologia della Nutrizione
Argomento 7.
Equazioni differenziali
a.a.
2013-2014
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
1 / 29
Equazioni differenziali
Outline
1
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Equazioni differenziali del secondo ordine
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
2 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali
Risolvere un’equazione f (x) = 0 nell’incognita x significa trovare per
quali valori reali l’equazione è soddisfatta, invece in un’equazione
differenziale F (x, y(x)) = 0 l’incognita risulta essere una funzione y (x)
e risolvere un’equazione differenziale significa trovare per quali
funzioni reali l’equazione è soddisfatta.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
3 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali
Un’equazione differenziale si dice di ordine n se la massima derivata
dell’incognita y che compare nell’equazione è la derivata n-esima.
In generale una equazione differenziale del primo ordine ha infinite
soluzioni che dipendono da un parametro, mentre una equazione
differenziale del secondo ordine ha infinite soluzioni che dipendono da
due parametri, ecc..
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
4 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Equazioni differenziali del primo ordine
Definizione: Un’equazione differenziale lineare del primo ordine è
del tipo
y 0 = a(x) · y + b(x)
(1)
dove a(x) e b(x) sono funzioni continue in un dato intervallo I, la
funzione y (x) è l’incognita da determinare e y 0 (x) è la sua derivata.
Se b(x) = 0 allora l’equazione 1 è detta omogenea.
Soluzione dell’equazione
Definizione: Una funzione y(x) è detta soluzione dell’equazione
differenziale 1 se è derivabile e soddisfa l’equazione 1 (cioè se
sostituendo nell’equazione 1 la funzione y(x) e la sua derivata si
ottiene una identità).
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
5 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Teorema
Tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y 0 = a(x) · y + b(x) si
ottengono attraverso la seguente formula:
Z y (x) = eA(x)
e−A(x) · b(x) dx
dove A(x) è una primitiva di a(x) e si calcola utilizzando
R
a(x)dx.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
6 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Esempio
Calcolare tutte le soluzioni per x > 0 di
y0 =
xy + 1
x2
(2)
Svolgimento:
y0 =
xy + 1
x2
y0 =
xy
1
+ 2
2
x
x
y0 =
1
1
y+ 2
x
x
R
R
dunque a(x) = x1 , b(x) = x12 , a(x)dx = x1 dx = log |x| + c, dunque
possiamo prendere A(x) = log |x|, ma poiché consideriamo solo x > 0
allora A(x) = log x e le soluzioni sono:
Z Z 1
y(x) = eA(x)
e−A(x) · b(x) dx = elog x
e− log x · 2 dx =
x
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
7 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Z Z Z 1
1 1
1
−1
log x −1
·
x · 2 dx = x
dx
=x
e
· 2 dx = x
x x2
x
x
−3+1
−2
Z
Z
x
x
1
−3
x dx = x
+c =x
+c =
dx = x
=x
−3 + 1
−2
x3
1
1
=x − 2 +c =−
+ cx.
2x
2x
1
Dunque le soluzioni sono y(x) = − 2x
+ cx, verifichiamo che queste
0
sono effettivamente soluzioni, y (x) = 2x1 2 + c sostituendo y (x) e y 0 (x)
nell’equazione 2 si ha
1
x − 2x
+ cx + 1
− 21 + cx 2 + 1
1
1
+
c
=
,
+
c
=
,
2x 2
x2
2x 2
x2
1
+c =
2x 2
Sonia L’Innocente (Camerino)
1
2
+ cx 2
,
x2
1
1
+c =
+c
2x 2
2x 2
Sonia L’Innocente
8 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Teorema
Sia x0 un punto in un intervallo I dove le funzioni a(x) e b(x) sono
continue. Allora per ogni scelta di y0 ∈ R esiste un’unica soluzione del
seguente problema di Cauchy
0
y = a(x) · y + b(x)
(3)
y(x0 ) = y0
dove y (x0 ) = y0 è detta condizione iniziale.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
9 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Per risolvere il problema di Cauchy 3 prima si devono calcolare tutte le
soluzioni y(x) dell’equazione differenziale che in genere dipendono da
un parametro c e poi si deve imporre la condizione iniziale y(x0 ) = y0
sostituendo nelle soluzioni il valore x0 al posto della x ed il valore y0 al
posto di y(x) questo ci permette di determinare il parametro c.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
10 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Esempio
Calcolare la soluzione di
y 0 = xy+1
x2
y(1) = 3
(4)
Svolgimento: le soluzioni di
y0 =
xy + 1
x2
sono state calcolate nell’esempio precedente e sono date da
1
y (x) = − 2x
+ cx, dunque imponendo la condizione iniziale y(1) = 3 si
ha
1
1
7
3 = − + c,
c =3+ ,
c=
2
2
2
1
dunque l’unica soluzione del problema di Cauchy 4 è y(x) = − 2x
+ 72 x
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
11 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Equazione differenziale di Bernoulli
Un’equazione differenziale di Bernoulli è un’equazione differenziale
del primo ordine del seguente tipo
y 0 = a(x) · y + b(x)y α
α 6= 0, α 6= 1
(5)
dove a(x) e b(x) sono funzioni continue in un dato intervallo I.
Teorema
Le soluzioni dell’ equazione differenziale di Bernoulli 5 sono date da:
se α > 0 allora y(x) = 0 è una soluzione
calcolata z(x) soluzione dell’equazione differenziale lineare
z 0 = (1 − α)a(x)z + (1 − α)b(x)
le soluzioni si ottengono invertendo la seguente relazione
(y(x))1−α = z(x).
Sonia L’Innocente (Camerino)
Sonia L’Innocente
12 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Esempio 1.
Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy
0
√
y = 2 tan x · y + y
y (0) = 1
(6)
Svolgimento: prima occorre risolvere l’equazione di Bernoulli
√
y 0 = 2 tan x · y + y , dove a(x) = 2 tan x, b(x) = 1, α = 12 , essendo
α > 0 allora una soluzione è y (x) = 0 ma tale soluzione dell’equazione
di Bernoulli non è soluzione del problema di Cauchy poiché per questa
soluzione y (0) = 0 6= 1 dunque non soddisfa la condizione iniziale. Le
altre soluzioni dell’equazione di Bernoulli si ottengono risolvendo
1
1
z 0 = (1 − α)a(x)z + (1 − α)b(x) cioè z 0 = (1 − )2 tan x · z + (1 − )
2
2
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
13 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
1
2
quest’ultima è un’equazione differenziale lineare avente a(x) = tan x,
b(x) = 12 , dunque essendo
Z
Z
Z
sin x
1
tan x dx =
dx = − dt = − log |t| + c = − log | cos x| + c
cos x
t
z 0 = tan x · z +
t = cos x,
dt = − sin xdx
possiamo prendere A(x) = − log | cos x|, inoltre poiché la condizione
iniziale è data in x0 = 0 ed essendo cos(x0 ) = cos(0) = 1 > 0, vicino
al punto di interesse la funzione cos x è strettamente maggiore di zero
quindi posso togliere il valore assoluto senza cambiare di segno cioè
A(x) = − log(cos x) dunque
R log(cos x) 1 z(x) = e− log(cos x)
e
· 2 dx ,
R
1
z(x) = elog(cos
cos x · 21 dx ,
x)
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
14 / 29
Equazioni differenziali
z(x) =
1
cos x
Z
1
cos x dx ,
2
Equazioni differenziali del primo ordine
z(x) =
1
cos x
1
(sin x + c) ,
2
1
dunque la soluzione è data da (y(x))1−α = z(x) cioè (y(x)) 2 = z(x),
y (x) = (z(x))2 ,
y(x) =
1
cos x
2
1
(sin x + c)
2
imponendo la condizione iniziale y(0) = 1 si ottiene
√
1
2
2
1
1 = cos
, 1 = 2c , c 2 = 4, c = ± 4 = ±2, dunque
0 2 (sin 0 + c)
ho due possibili soluzioni del problema di Cauchy:
y (x) =
1
cos x
1
(sin x + 2)
2
2
,
y(x) =
1
cos x
1
(sin x − 2)
2
2
.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
15 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Definizione
Un’equazione a variabili separabili è un’equazione differenziale del
primo ordine del seguente tipo
y 0 = f (x) · g(y )
(7)
dove f (x) e g(y ) sono funzioni continue.
Teorema
Le soluzioni dell’ equazione differenziale a variabili separabili 7 sono
date da:
se y0 è un numero reale tale che g(y0 ) = 0 (cioè se y0 è soluzione
dell’equazione g(y) = 0) allora y(x) = y0 è una soluzione
le soluzioni si ottengono risolvendo i seguenti integrali
Z
Z
1
dy = f (x)dx
g(y)
Sonia L’Innocente
.
Sonia L’Innocente (Camerino)
16 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine
Esempio
Calcolare le soluzione della seguente equazione differenziale
y 0 = 2(x + xy 2 )
Svolgimento: l’equazione sopra è un’equazione a variabili separabili,
infatti si può scrivere y 0 = 2x(1 + y 2 ), e quindi f (x) = 2x,
g(y) = 1 + y 2 . L’equazione g(y) = 0, 1 + y 2 = 0 non ha soluzione
dunque le soluzioni si ottengono solo dalla seguente formula
Z
Z
Z
Z
1
1
dy = f (x)dx,
dy = 2x dx,
g(y)
1 + y2
arctan y = x 2 + c,
y = tan(x 2 + c).
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
17 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Un’equazione differenziale del secondo ordine è un’equazione
differenziale dove la massima derivata che compare nell’equazione è
la derivata seconda y 00 della funzione incognita y. Tratteremo solo un
tipo di equazione differenziale lineare del secondo ordine.
Equazione differenziale del secondo ordine
Definizione: Un’equazione differenziale lineare del secondo
ordine ed a coefficienti costanti è del tipo
y 00 + ay 0 + by = f (x)
(8)
dove a e b sono costanti e f (x) è una funzione continua.
Se f (x) = 0 allora l’equazione 8 è detta omogenea.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
18 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Definizione
Una funzione y (x) è detta soluzione dell’equazione differenziale 8 se
esiste la sua derivata prima y 0 e la sua derivata seconda y 00 e tutte
queste funzioni sostituite nell’equazione 8 danno una identità.
Teorema
Se ȳ (x) è una soluzione dell’equazione differenziale 8 allora tutte le
soluzioni dell’equazione differenziale 8 [y 00 + ay 0 + by = f (x)] si
ottengono dalla seguente formula:
y (x) = y0 (x) + ȳ(x)
dove y0 (x) sono tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
omogenea associata a 8 cioè di y 00 + ay 0 + by = 0.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
19 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Dunque per determinare le soluzioni dell’equazione
y 00 + ay 0 + by = f (x) occorre determinare una soluzione particolare
ȳ (x) e le soluzioni y0 (x) dell’equazione omogenea associata
y 00 + ay 0 + by = 0.
Prenderemo in considerazione due tipi di problema di Cauchy con
equazione differenziale del secondo ordine:
 00
 y + ay 0 + by = f (x)
y (x ) = y0
,
 0 0
y (x0 ) = y1
 00
 y + ay 0 + by = f (x)
y(x0 ) = y0
,

y(x1 ) = y1
(9)
in entrambi i casi si hanno due condizioni iniziali, infatti in generale la
soluzione di un’equazione differenziale del secondo ordine dipende da
due parametri da determinare.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
20 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Vediamo di seguito come si calcola y0 (x) e ȳ (x).
y0 (x) per determinare le soluzioni y0 (x) dell’equazione omogenea
y 00 + ay 0 + by = 0
(10)
si considera la seguente equazione nell’incognita λ
λ2 + aλ + b = 0
(11)
la quale può avere due soluzioni (∆ > 0), una soluzione (∆ = 0), o
nessuna soluzione (∆ < 0).
∆ > 0 siano λ1 e λ2 le due soluzioni di 11 allora le soluzioni di 10 sono
y0 (x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
∆ = 0 sia λ1 l’unica soluzione di 11 allora le soluzioni di 10 sono
y0 (x) = C1 eλ1 x + C2 xeλ1 x
∆ < 0 se l’equazione 11 non ha soluzioni allora si calcola α = − a2 e
√
√
4b−a2
−∆
β=
=
2
2 , quindi le soluzioni di 10 sono
y0 (x) = C1 eαx cos(βx) + C2 eαx sin(βx)
Sonia L’Innocente (Camerino)
Sonia L’Innocente
21 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
in ogni caso le soluzioni dipendono da due parametri C1 e C2 .
ȳ (x) per determinare una soluzione particolare di
y 00 + ay 0 + by = f (x)
(12)
consideriamo tre casi
I caso se f (x) è un polinomio di grado n allora si prende
ȳ (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 pari ad un generico
polinomio di grado n e si calcolano i coefficienti ai , i = 0, . . . , n
imponendo che ȳ (x) e le sue derivate ȳ 0 (x) ȳ 00 (x) soddisfino
l’equazione 12
II caso se f (x) = A sin x + B cos x con A e B costanti, cioè se f (x) è
una combinazione delle funzioni trigonometriche sin x e cos x
allora si prende ȳ (x) = C sin x + D cos x e si calcolano i
coefficienti C e D imponendo che ȳ(x) e le sue derivate ȳ 0 (x)
ȳ 00 (x) soddisfino l’equazione 12
III caso se f (x) = AeBx con A e B costanti allora si prende
ȳ (x) = CeBx e si calcola il coefficiente C imponendo che ȳ(x) e le
sue derivate ȳ 0 (x) ȳ 00 (x) soddisfino l’equazione.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
22 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Dunque il procedimento per determinare le soluzioni di
y 00 + ay 0 + by = f (x)
può essere schematizzato nel seguente modo:
si calcolano le soluzioni y0 (x) di y 00 + ay 0 + by = 0
si calcola una soluzione particolare ȳ (x) di y 00 + ay 0 + by = f (x)
le soluzioni sono y(x) = y0 (x) + ȳ(x)
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
23 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Esempio 1.
Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy
 00
 y + y = x3 − 2
y(0) = −2

y( π2 ) = −3π − 2
(13)
Svolgimento:
risolviamo l’equazione differenziale y 00 + y = x 3 − 2
calcoliamo y0 (x) soluzioni di y 00 + y = 0: a = 0, b = 1, l’equazione
√
λ2 + 1 = 0 non ha soluzioni, ∆ = −4, α = − a2 = 0 β = −∆
= 1,
2
y0 (x) = C1 e0·x cos(x)+C2 e0·x sin(x),
y0 (x) = C1 cos(x)+C2 sin(x)
calcoliamo una soluzione particolare ȳ(x) di y 00 + y = x 3 − 2:
prendo ȳ(x) = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D, ȳ 0 (x) = 3Ax 2 + 2Bx + C,
ȳ 00 (x) = 6Ax + 2B, impongo che soddisfi l’equazione differenziale
ed ottengo
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
24 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Esempio 1.
6Ax + 2B + Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = x 3 − 2,
(A − 1)x 3 + Bx 2 + (6A + C)x + 2B + D + 2 = 0, per avere una identità


A−1=0
A=1






B=0
B=0
,
6A
+
C
=
0
C = −6






2B + D + 2 = 0
D = −2
dunque ȳ(x) = x 3 − 6x − 2.
la soluzione è y (x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) + x 3 − 6x − 2
imponiamo le condizioni iniziali y (0) = −2, y( π2 ) = −3π − 2
y (0) = −2
y ( π2 ) = −3π − 2
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
25 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Esempio 1.
−2 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 03 − 2
−3π − 2 = C1 cos( π2 ) + C2 sin( π2 ) + ( π2 )3 − 6 π2 − 2
C1 = 0
−2 = C1 − 2
,
3
π 3
π
−3π − 2 = C2 + ( 2 ) − 6 2 − 2
C2 = − π8
La soluzione del problema di Cauchy è
y(x) = −
π3
sin(x) + x 3 − 6x − 2
8
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
26 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Esempio 2.
Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy
 00
 y − 5y 0 + 6y = 10 sin x
y(0) = 1
 0
y (0) = −5
(14)
Svolgimento:
risolviamo l’equazione differenziale y 00 − 5y 0 + 6y = 10 sin x
calcoliamo y0 (x) soluzioni di y 00 − 5y 0 + 6y = 0: a = −5, b = 6,
l’equazione
λ2 − 5λ + 6 = 0 ha ∆ = 25 − 24 = 1, le soluzioni sono
√
λ1,2 = 5±2 1 , λ1 = 2 e λ2 = 3 quindi
y0 (x) = C1 e2x + C2 e3x
calcoliamo una soluzione particolare ȳ(x) di
y 00 − 5y 0 + 6y = 10 sin x: prendo ȳ (x) = C sin x + D cos x,
ȳ 0 (x) = C cos x − D sin x, ȳ 00 (x) = −C sin x − D cos x, impongo
Soniache
L’Innocente
(Camerino)
27 / 29
soddisfi
l’equazione differenziale ed ottengo
Sonia L’Innocente
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Esempio 2.
−C sin x −D cos x −5(C cos x −D sin x)+6(C sin x +D cos x) = 10 sin x,
(−C + 5D + 6C − 10) sin x + (−D − 5C + 6D) cos x = 0, per avere una
identità si deve avere
5D + 5C − 10 = 0
10D = 10
D=1
,
,
−5C + 5D = 0
C=D
C=1
dunque ȳ (x) = sin x + cos x.
la soluzione è y (x) = C1 e2x + C2 e3x + sin x + cos x
imponiamo le condizioni iniziali y (0) = 1, y 0 (0) = −5 ma prima
calcolo la derivata y 0 (x) = 2C1 e2x + 3C2 e3x + cos x − sin x
y (0) = 1
y 0 (0) = −5
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
28 / 29
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine
Esempio 2.
1 = C1 e0 + C2 e0 + sin 0 + cos 0
−5 = 2C1 e0 + 3C2 e0 + cos 0 − sin 0
1 = C1 + C2 + 1
C1 = −C2
,
,
−5 = 2C1 + 3C2 + 1
−6 = −2C2 + 3C2
C1 = −C2
C1 = 6
,
.
−6 = C2
C2 = −6
La soluzione del problema di Cauchy è
y (x) = 6e2x − 6e3x + sin x + cos x
.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
29 / 29