2. Pitagora e i numeri quadrati
Pitagora e i suoi seguaci studiarono profondamente i numeri: ne
esaminarono le proprietà, e soprattutto ravvisarono in essi significati
che li portarono a costruire una vera e propria teoria filosofica che li
riconosceva a fondamento di tutte le cose. L’analisi degli aspetti
matematici portò i Pitagorici a scoprire interessanti proprietà dei
numeri. Prova anche tu a scoprire una delle proprietà che riguarda la
somma dei numeri dispari.
1. Completa la seguente tabella determinando la somma dei numeri dispari indicati.
N° addendi
SOMMA dei primi n numeri dispari
n
S (n)
1
1
2
1+3=
3
1+3+5=
4
1+3+5+7=
5
1+3+5+7+9=
…
…
2. Osserva i risultati ottenuti: che tipo di numeri hai ottenuto? Prova a scrivere la legge che
consente di determinare le somme indicate in funzione del numero n di addendi (cerca di
esprimere la legge sia in linguaggio naturale sia in linguaggio algebrico):
3. Dovresti aver osservato che le somme richieste sono legate al quadrato di un numero.
Cerchiamo di costruire visivamente questo quadrato. Immagina di rappresentare i numeri
dispari in questo modo: l’1 corrisponde ad una pallina, il 3 a tre palline ecc. come nel disegno
sotto:
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Come puoi spostare le palline in modo tale da ottenere dei quadrati?
Prova a spostare le palline
Prova con le
palline delle
prime due
righe:
Prova con
tre righe:
Prova con
quattro
righe:
4. Analizza le figure ottenute: come vanno disposte le palline di ogni riga, passo dopo passo, per
riuscire ad ottenere dei quadrati? Di quanto aumenta, passo dopo passo, il lato del quadrato?
5. Prova a dimostrare per induzione la legge trovata.
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PER IL DOCENTE
Pitagora e i numeri quadrati
Classe consigliata: 1^
Strumenti: nessuno
PREREQUISITI
•
Formule per i numeri dispari, formula del quadrato di binomio
OBIETTIVO DELL’ATTIVITA’
•
•
•
•
•
•
•
Dare una modellizzazione geometrica di una situazione
Trovare la somma dei primi n numeri dispari
Esprimere una congettura in italiano ed in linguaggio algebrico
Dimostrare visivamente la proprietà
Conoscere la formulazione del principio di induzione (vedi la scheda “Tra angoli e
rettangoli…”)
Comprendere il principio induttivo
Dimostrare per induzione la proprietà trovata
CONCETTI SOGGIACENTI (eventualmente sviluppabili)
•
Altre proprietà dei numeri (ad esempio, vedi la scheda “Una curiosa proprietà dei numeri
dispari”)
1. La tabella completa è la seguente:
N° ADDENDI
SOMMA dei primi n numeri dispari
n
S (n)
1
2
3
4
5
…
1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
…
2. In linguaggio naturale: la somma dei primi n numeri dispari è pari al quadrato di n .
In linguaggio algebrico: S (n) = n 2
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3.
Prova a spostare le palline
4. Le palline vanno disposte a forma di “L rovesciata” ed ogni volta che nella formazione dei
quadrati si aggiunge un nuovo gruppo di palline (cioè si passa da n addendi a n + 1 addendi),
si passa da un quadrato di lato n a uno di lato n + 1 .
5. L’insegnante evidenzia che alla base del ragionamento sta il principio di induzione. Se gli
studenti lo conoscono già, si può proseguire nell’attività, altrimenti si può utilizzare questa
scheda per introdurlo (vedi a tal proposito la scheda “Tra angoli e rettangoli…”).
La dimostrazione per induzione di S (n) = n 2 con n ≥ 1 è la seguente:
a) n = 1 : se ho un solo addendo, il primo numero dispari 1, la somma è 1, quindi S (1) = 1 .
S (n) = n 2 . Cosa succede se aggiungo il successivo numero dispari?
Dunque, l’ n -esimo numero dispari si può scrivere come 2n − 1 (ad esempio, il 1° numero
dispari, che è 1, si può scrivere come 2 ⋅ 1 − 1 , il 2° numero dispari, che è 3, si può scrivere
come 2 ⋅ 2 − 1 ecc.). Quindi il successivo numero dispari, che dovrò aggiungere alla somma
dei primi n , è 2n + 1 :
S(n + 1) = 1 + 3 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = S(n) + (2n + 1) = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2
Allora, abbiamo dimostrato che, se S (n) = n 2 , allora S (n + 1) = (n + 1) 2 .
Per il principio di induzione, la proprietà è vera per ogni n ≥ 1 .
b) Supponiamo che
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