Approfondimenti

1 GLI INSIEMI NUMERICI
In matematica, spesso si utilizzano gli insiemi numerici (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ), ma altrettanto spesso si
trascurano le difficoltà che implica la formalizzazione di questi insiemi; in breve, cerchiamo di
sviluppare i concetti fondamentali di questi insiemi.
1.1 I NATURALI
I numeri naturali ℕ sono i numeri che incontriamo nella vita di tutti i giorni; sono i più intuitivi
da capire ma anche i più difficili da formalizzare.
Infatti il problema che nasce è che non abbiamo nessuno strumento per definirli, a parte i soli
insiemi.
La definizione più semplice e comune di ℕ è appunto mediante gli insiemi: vediamola.
Prendiamo come assioma l’esistenza di 0, che rappresentiamo come l’insieme vuoto ∅.
Dunque 0 rappresenta un insieme che non ha elementi, 0 = ∅.
Definiamo 1 come l’insieme che contiene un solo elemento: l’unico elemento che abbiamo
definito e possiamo usare è l’elemento ∅; dunque 1 = {∅}.
Osserviamo che è assolutamente sbagliato dire che ∅ = {∅}; infatti il primo è un insieme che
non ha elementi, mentre il secondo è un insieme che contiene esattamente un elemento, per la
precisione l’elemento insieme vuoto!
Analogamente, definiamo 2 come l’insieme che contiene due elementi, per la precisione 0 = ∅ e
1 = {∅}; dunque 2 = {0,1} = {∅, {∅}}.
Ricorsivamente, poniamo:
𝑛 + 1 = {0,1, … , 𝑛} = 𝑛 ∪ {𝑛}.
In altre parole, un numero è l’insieme formato dagli elementi del numero precedente e
dall’elemento numero precedente; dunque diciamo che un numero 𝑛 < 𝑚 è se 𝑛 ⊂ 𝑚.
Formalmente, definiamo ℕ come la coppia {0 = ∅, 𝑆}, dove 0 è l’insieme vuoto e 𝑆: 𝑛 → 𝑛 ∪ {𝑛}
è una funzione, detta successore, che associa a ogni elemento di ℕ il “successivo”, cioè il numero
stesso unito con l’elemento numero stesso.
1.2 I RELATIVI
Una volta definiti i naturali, i numeri interi vengono praticamente di conseguenza. Infatti i
numeri relativi (detti spesso anche numeri interi) non sono altro che i numeri naturali con
davanti un segno + o −.
Per questo, la loro formalizzazione è piuttosto semplice.
Definiamo ℤ come la tripla (ℕ, 𝑃, 𝑁), dove 𝑃: 𝑛 → +𝑛 è una funzione che associa ad ogni
numero naturale il numero intero positivo corrispondente.
Allo stesso modo 𝑁: 𝑛 → −𝑛 è una funzione che associa ad ogni numero naturale il numero
intero negativo corrispondente.
Inoltre poniamo che 𝑁(0) = 𝑃(0) = 0, cioè il numero intero 0 si rappresenta senza segno e che
−0 = +0.
1.3 I RAZIONALI
Anche i razionali sono piuttosto semplici da definire, avendo definito ℕ e ℤ.
Infatti i numeri razionali ℚ, cioè le frazioni, non sono altro che divisioni fra numeri interi;
𝑎
−𝑎 −𝑎
𝑎
l’unica accortezza che dobbiamo avere è che 𝑏 = −𝑏 e 𝑏 = −𝑏.
Il trucco che troviamo è imporre di dividere sempre per un numero positivo; in questo modo
evitiamo l’ambiguità nella scrittura dei numeri razionali.
𝑎
Dunque definiamo ℚ come la terna (ℤ, ℕ\{0}, 𝑓), dove 𝑓: (𝑎, 𝑛) → 𝑛 (𝑎 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ\{0}) che
associa a due numeri, uno intero e uno positivo, il numero razionale divisione dei primi due.
1.4 I REALI
Ed ecco la nota dolente, i numeri reali. In modo molto informale, i numeri reali non sono altro
che i punti di una retta orientata; il problema è che è molto difficile non saltarne neanche uno!
Si può dire che i numeri reali sono i numeri con struttura decimale finita o infinita, periodica o
non periodica, ma non è certamente una definizione formale.
Ovviamente nei numeri reali ci sono tutti i numeri razionali; osserviamo anche che fra due
numeri reali c’è sempre un numero razionale.
Infatti (molto informalmente) due numeri reali diversi avranno le prime 𝑘 cifre uguali, ma
prima o poi, diciamo dalla cifra 𝑘 + 1-esima, la loro struttura decimale dovrà differire; quindi
scegliamo per questa cifra decimale del nostro razionale una cifra fra le due dei due numeri
reali; se esse distano solo di una cifra, allora ci “aggiustiamo” con la cifra successiva.
31405
Ad esempio, fra i numeri reali 𝑟 = 3,14 e 𝜋, ci sta il numero razionale 3,1405 = 10000.
Da questo verrebbe spontaneo immaginare che i numeri reali sono circa “tanti quanti” i numeri
razionali; ma questo è del tutto falso.
Facciamo un’ulteriore distinzione: definiamo (all’interno dei numeri reali) un numero algebrico
se è soluzione di un polinomio a coefficienti razionali.
Ad esempio, √2 non è razionale, ma è algebrico, poiché è soluzione del polinomio 𝑥 2 − 2.
Allo stesso modo √𝑛 è un numero algebrico per ogni numero intero non quadrato, poiché è
soluzione del polinomio 𝑥 2 − 𝑛.
La domanda che ci facciamo ora è: i numeri reali sono i numeri razionali e i numeri algebrici?
La risposta, purtroppo, è no; anzi, si può dimostrare che i numeri razionali + i numeri algebrici
sono infinitamente meno di tutti gli altri reali che non abbiamo considerato (per chi volesse
approfondire ancora, questa teoria dell’infinito è dovuta al matematico Cantor, che alla fine
dell’800 ha rivoluzionato la matematica dimostrando in modo rigoroso che |ℕ| = |ℤ| = |ℚ| =
|{𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑖𝑐𝑖}|, ma |ℝ| = 2|ℕ| ).
Questo risultato, estremamente controintuitivo, porta alla definizione di un altro tipo di numero
reale: il numero trascendente.
Esso è, per definizione, un numero che non è soluzione di nessun polinomio a coefficienti
razionali.
L’esempio più semplice è 𝜋, anche se è estremamente complicato mostrare che effettivamente
non è soluzione di nessun polinomio.
Ad oggi, i numeri trascendenti conosciuti sono pochissimi: 𝑒, 𝜋, 𝑒 𝜋 e il numero di Liuville,
definito come:
∞
∑ 10−𝑛! = 0,1100010000 …
𝑛=1
Tutto quello che sappiamo è che sono infinitamente di più degli algebrici (cioè per ogni
algebrico esistono infiniti trascendenti), ma sono veramente difficili da individuare.
Dopo questa trattazione, evitiamo di formalizzare il concetto di numero reale, in quanto
necessita di strumenti matematici piuttosto avanzati; spero però di aver almeno reso l’idea di
quanto sia difficile comprendere a fondo questo concetto.
2 NOTE


Abbiamo dimostrato che 2𝑝 − 1 primo ⇒ 𝑝 primo, ma non abbiamo detto niente del
viceversa: è vero che 𝑝 primo ⇒ 2𝑝 − 1 primo? La risposta è no.
Infatti ad esempio 211 − 1 = 2047 = 23 ∙ 89.
I numeri primi della forma 𝑀𝑝 = 2𝑝 − 1 sono detti primi di Mersenne; quelli non primi
semplicemente numeri di Mersenne.
Un’importante classificazione dei primi di Mersenne è questa:
𝑀𝑝 = 2𝑝 − 1 primo ⇒ il numero 2𝑝−1 (2𝑝 − 1) è perfetto (cioè è uguale alla somma di tutti i
suoi divisori proprio, cioè diversi da lui). Omettiamo la dimostrazione, che non è banale.
Inoltre è stato dimostrato che ogni numero perfetto pari ha la forma 2𝑝−1 (2𝑝 − 1), dove
2𝑝 − 1 è un primo di Mersenne; non si sa tutt’ora se esistano numeri perfetti dispari (anche
se tutto lascerebbe intuire di no).
Anche questa dimostrazione non è per niente facile; per chi fosse particolarmente
interessato queste due dimostrazioni si possono trovare su internet oppure potete anche
chiedere a me.
In un esercizio si chiedeva di trovare una procedura algoritmica che dalla formula compatta
della somma delle potenze 𝑘-esime dei primi numeri naturali trova la formula compatta
della somma delle potenze 𝑘 + 1-esime dei primi numeri naturali.
Pur senza dare la soluzione completa, diamo un suggerimento:
𝑝
sviluppando con il binomio di Newton la formula 𝑘 𝑝 = ((𝑘 − 1) + 1) e ponendo 𝑘 = 2,
poi 𝑘 = 3 e così via fino a 𝑘 = 𝑛 − 1.
Con qualche ragionamento si arriva alla relazione:
(𝑛 + 1)𝑘 = ( 𝑘 ) 𝑆𝑘−1 + ( 𝑘 ) 𝑆𝑘−2 +. . . + (𝑘) 𝑆1 + 𝑛 + 1,
𝑘−1
𝑘−2
1
dove 𝑆𝑘 = ∑𝑛𝑖=0 𝑖 𝑘 .
Dunque, conoscendo le formule compatte per 𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝑘−2 , si può così ottenere la formula
compatta per 𝑆𝑘−1 . Concludiamo con la formula generale:
𝑛
∑𝑘
𝑘=0
𝑚
𝑚
1
𝑚+1
=
∑(
) 𝐵𝑘 (𝑛 + 1)𝑚+1−𝑘 ,
𝑘
𝑚+1
𝑘=0
dove 𝐵𝑘 è il 𝑘-esimo numero di Bernoulli (non provate a dimostrare questa formula!!).
Si definiscono i numeri di Bernoulli per ricorrenza:
𝐵0 = 1
𝑚
{
𝑚+1
.
∑(
) 𝐵𝑗 = 0
𝑗
𝑗=0