STATISTICA (2) – ESERCITAZIONE 1
29.01.2014
Dott.ssa Antonella Costanzo
Esercizio 1. Modelli discreti di probabilità: le v.c. binomiale e geometrica (come
caso particolare della v.c. binomiale negativa)
Supponendo che la probabilità di centrare un bersaglio sia pari a 0.3 e che gli esiti dei
tiri siano indipendenti, si calcoli:
a. la probabilità di fare un centro in 6 tiri;
b.
la probabilità di fare al più 4 centri in 6 tiri;
c. la probabilità di non fare centro in tutti e 6 i tiri;
d. la probabilità di fare il primo centro esattamente al sesto tiro;
e. la probabilità di centrare il bersaglio per la prima volta al 7° tentativo, sapendo
che almeno 5 tiri sono andati a vuoto;
f. Qual è il numero medio di tiri necessari per fare centro?
g. Qual è la probabilità che occorrano 4 tiri prima di fare 2 centri?
h. Qual è il numero medio di tiri necessari per ottenere i primi 2 centri?
Soluzione
a) Denotiamo con X il numero di centri in n=6 prove indipendenti con probabilità
costante pari a p=0.3.
X ha distribuzione binomiale
~(, )
La sua funzione di probabilità è:
!
( = ) = (1 − ) =
(1 − )
(
! − )!
1
6!
6
( = 1) = 0.3 (1 − 0.3) =
0.3 0.7 =
1
1! (6 − 1)!
( = 1) =
6 ∗5∗4∗3…
∗ 0.3 ∗ 0.7 ≈ 0.3025
1 ∗ (5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ … )
b) ( ≤ 4) = 1 − ( ≥ 4) = 1 − ( = 4) + ( = 5) + ( = 6)
calcoliamo:
6
( = 4) = 0.3' (1 − 0.3)' = 0.05954
4
6
( = 5) = 0.3 (1 − 0.3) = 0.01021
5
6
( = 6) = 0.3 (1 − 0.3) = 0.000729
6
Quindi:
( ≤ 4) = 1 − ( ≥ 4) = 1 − (0.05954 + 0.01021 + 0.000729) = 0.929521
!
6
c) ( = 0) = 0.3) (1 − 0.3)) = )!())! 0.3) 0.7 = 0.1176
0
d) La variabile casuale di interesse è rappresentata dal numero di prove necessarie per il
primo “successo” per cui indichiamo con Y il numero di tiri falliti prima del primo
centro.
La variabile casuale da utilizzare è un caso particolare della v.c.binomiale negativa,
ovvero la v.c. geometrica, per cui:
p= probabilità di successo = 0.3
*~+,-.()
y=numero di prove
k=numero di successi. In tal caso k=1
2
La sua distribuzione di probabilità è la seguente:
(* = /) = 0 (1 − )10
ossia
(* = /) = (1 − )1
(* = 6) = 0.3(1 − 0.3) = 0.3 ∗ 0.7 = 0.0504
e)
(* = 7|* ≥ 5) = (* = 7) = 0.3 ∙ (1 − 0.3) = 0.035
per
la
proprietà
dell’assenza di memoria della v.c. geometrica.
f) Il numero medio di lanci per ottenere il primo successo è pari al valore atteso di Y
4(*) =
Varianza
567(*) =
1
1
=
≈3
0.3
1 − 1 − 0.3
=
= 7.778
8
0.38
g) La v.c. binomiale negativa esprime il numero di prove necessarie per ottenere i primi
k successi (con k>1).
:~;(<, )
Funzione di probabilità
(: = =) = =−1 0
(1 − ) >0
<−1
=−1
esprime la sequenza di k-1 successi nelle prime z-1 prove.
<−1
In questo caso z=4, k=2
(: = 4) = 4−1
0.38 (1 − 0.3)'8 = 0.1323
2−1
h) Il numero medio di lanci per ottenere i primi 2 successi nelle z=2 prove indipendenti
è:
4(:) = <
1
1
=2∙
≈7
0.3
3
Esercizio 2. Modelli discreti di probabilità: v.c ipergeometrica
Un’impresa produce pezzi per componenti hardware di calcolatori elettronici e li
predispone in lotti da 10 pezzi che poi incanala alla rete di distribuzione. L’addetto al
controllo della qualità opera seguendo il seguente criterio: seleziona 3 pezzi
casualmente da ogni lotto e dichiara il lotto difettoso, rimuovendolo dalla distribuzione,
se tra i tre pezzi prodotti ce n’è almeno uno difettoso.
1. Si calcoli la probabilità che il lotto entri in distribuzione.
2. Calcolare il numero atteso di pezzi difettosi in ciascun lotto
Soluzione
Siccome l’estrazione è in blocco, viene meno l’ipotesi di indipendenza e quindi il
modello probabilistico corretto per X è un modello ipergeometrico. La differenza con il
modello binomiale è che, in questo caso, la probabilità condizionata del verificarsi di un
successo x si modifica in funzione delle precedenti estrazioni.
~?
(, @, A)
n= numero di prove
b=numero casi favorevoli
H=numero di oggetti
La corrispondente distribuzione di probabilità è:
( = ) =
BCDBEC
D
BED
(A − @)!
@!
! (@ − )! ( − )! (A − @ − + )!
=
A!
! (A − )!
H=10 pezzi presenti nel lotto
b=1 casi favorevoli (se è presente almeno un pezzo difettoso il lotto viene ritirato)
n=3 pezzi estratti per il controllo
A= {il lotto è ritirato dalla distribuzione}⬄ (X>0)
X= numero di pezzi difettosi fra i 3 estratti
4
Il lotto entra in distribuzione (quindi I̅) se X=0.
( = 0|@ = 1) =
ovvero (I̅|@ = 1) = 0.7
2) Numero atteso di pezzi difettosi
4() = B)DB)
D
K)
D
B)
K
=
BKLD
D
B)
K
= 7/10
@
1
=3
= 0.3
A
10
Esercizio 3. Il modello di Poisson
L’ufficio reclami di una società di fornitura gas registra una telefonata ogni due minuti.
a. Qual è il numero medio di chiamate che l’ufficio riceverà in un’ora?
b. Qual è la probabilità di ricevere tre chiamate in 5 minuti?
c. Qual è la probabilità di non ricevere chiamate nell’arco di 5 minuti?
Soluzione
Il modello probabilistico appropriato è in tal caso il modello di Poisson, infatti la
distribuzione di Poisson descrive il numero di successi/eventi in intervalli
spaziali/temporali quando gli eventi si verificano indipendentemente l’uno dall’altro e
con uguale probabilità in ogni punto del tempo o dello spazio.
~
-(N)
Distribuzione di probabilità:
, O N
( = ) =
!
5
Condizioni:
1. Eventi che si verificano su intervalli disgiunti sono indipendenti
2. La probabilità che si verifichi un evento in un intervallo piccolo proporzionale alla
lunghezza dell’intervallo;
3. La probabilità che si verifichi più di un evento in un intervallo piccolo è trascurabile
Inoltre nel modello di Poisson:
E(X) = Var(X) = λ
a) λ=1/2 numero medio di chiamate in 2 minuti, in 60 minuti (un’ora) si riceveranno in
media 30 chiamate (per la Condizione 2)
b) La probabilità che arrivino 3 chiamate in 5 minuti può essere calcolata come segue:
λ=5/2 numero medio di chiamate in 5 minuti (proporzione rispetto all’unità temporale
iniziale cioè 2 minuti)
( = 3) =
5K
, 8 2
3!
= 0.214
c) La probabilità di non ricevere chiamate nell’arco di 5 minuti è data da:
( = 0) =
,
5)
8
2 = 0.082
0!
6
Esercizio 4. Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua
Il tasso di interesse annuo applicato da una banca varia tra il 4% e il 6% e si distribuisce
come una variabile casuale uniforme. Un cliente scelto a caso ha depositato 1000 euro
nella banca. Si calcoli:
a) la probabilità che l’anno successivo disponga di almeno 1050
b) il valore atteso del capitale di cui disporrà dopo un anno e la varianza
Soluzione
Indichiamo con X la variabile casuale “tasso di interesse applicato dalla banca”, allora
X ~ U(a=0.04, b=0.06).
Distribuzione di probabilità
1
sex ∈ Xa, bY
f(x) = Rb − a
`
0altrimenti
Momenti
EX =
VarX =
bcd
8
bdf
8
Funzione di ripartizione
FX = PX ≤ x =
x−a
b−a
a) Per disporre di almeno 1050 euro, a partire da un capitale iniziale di 1000 euro il tasso di
interesse dovrà almeno essere pari al 5%. Quindi:
≥ 0.05 = 1 − ≤ 0.05 = 1 −
0.05 − 0.04
= 1 − 0.5 = 0.5
0.06 − 0.04
b) Indichiamo con M il capitale dopo un anno
i = 1000 + 1000
7
4i = 4i = 41000 + 1000 = 1000 + 1000 ∙ 4
4i = 1000 + 1000 ∙
0.04 + 0.06
= 1050
2
567i = 5671000 + 1000
VarM = 10008 ∙
0.04 − 0.068
= 33.33
12
Esercizio 5. La v.c. esponenziale negativa
Il tempo di vita medio di una lampadina per microscopi è di 2000 ore e segue una
distribuzione esponenziale.
a) Calcolare la probabilità che una lampadina duri 1000 ore
b) Calcolare la probabilità che una lampadina si rompa entro le prime 1000 ore di
funzionamento
c) Calcolare la probabilità che una lampadina duri almeno 2000 ore
d) Sapendo che la lampadina è durata fino a 1000 ore senza rompersi, qual è la
probabilità che duri al massimo altre 1000 ore?
Soluzione
La v.c. esponenziale negativa modellizza il tempo di attesa prima del verificarsi di un
determinato evento.
~4N dove il parametro λ è dato dal reciproco della media 4 = O
Distribuzione di probabilità
m = nN, , ≥ 0r
06op7-q,
O
~4 k
con
1
l
2000
N>0
8
Funzione di ripartizione:
s = 1 − , O
con
N>0
a) = 1000 = 0 Nota: evento quasi impossibile essendo la v.c. esponenziale
continua.
b) ≤ 1000 = 1 − , fuuu∙))) = 0.3934
t
c ≥ 2000 = 1 − ≤ 2000 = 1 − w1 − , fuuu∙8))) x = 0.3678
t
d) ≤ 2000| ≤ 1000 = ≤ 2000 = 1 − , fuuu∙8))) = 0.6321
t
Per la proprietà di assenza di memoria della v.c. esponenziale, in sostanza l'andamento
esponenziale presuppone che se una lampadina ha funzionato per un certo tempo t, la
probabilità
che essa funzioni per un ulteriore tempo t+s non dipende dal tempo
precedente di funzionamento.
Nota utile: La proprietà di assenza di memoria accomuna la v.c geometrica (discreta) e
la v.c. esponenziale negativa (continua).
9
