EULERO ED I NUMERI PRIMI

Leonardo Colzani
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Milano - Bicocca
EULERO ED I NUMERI PRIMI
Leonhardo Eulero
Basilea 15=4=1707
San P ietroburgo 7=9=1783
1
2
I numeri primi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... sono in…niti ed una bella dimostrazione
di questo si trova già nel Libro IX degli Elementi di Euclide (III secolo a.C.), che
qui proponiamo nella traduzione di N.Tartaglia (1500-1557).
Theorema 21. Propositione 21.
Dati quanti numeri primi si voglia, è necessario esser alcuno numero primo da
essi diverso.
Niente altro se intende da dimostrare salvo che li numeri primi siano in…niti,
perche se a, b, c, numeri primi, dico esser alcuno altro numero primo diverso da
quelli, perche se sia d, f, el minimo numero che numerano li predetti numeri primi,
al qual aggionta la unità sia fatto, d, g, el qual, d, g, o che egliè numero primo,
over composito, se egliè primo è manifesto el proposito, se egliè composito alcun
numero primo numera quello elqual sia, h, elqual, h, non è possibile esser alcun di
primi proposti...
Anche Leonhardo Eulero (1707-1783) subisce il fascino dei numeri primi:
I matematici hanno cercato, …n qui invano, di scoprire un ordine qualunque nella
successione dei numeri primi, e si è portati a credere che questo è un mistero che
lo spirito umano non riuscirà mai a penetrare. Per convincersene basta gettare un
occhio alle tavole dei numeri primi, che alcuni si sono dati la pena di calcolare …n
oltre a centomila, e ci si accorge subito che non vi regna nessun ordine o regola.
Questo è tanto più sorprendente, quanto l’aritmetica ci fornisce delle regole certe
per mezzo delle quali si può continuare la successione di questi numeri tanto lontano
quanto si desidera, senza tuttavia lasciare intravedere il minimo indizio di un ordine
qualunque.
Nelle
Variae observationes circa series in…nitas ( 1737)
quasi nascosta tra 19 teoremi e 16 corollari, Eulero presenta un’altra dimostrazione
dell’esistenza di in…niti numeri primi, che poi ripropone nel capitolo De seriebus ex
evolutione factorum ortis della Introductio in analysin in…nitorum (1748).
TEOREMA: Se si continua all’in…nito la frazione
2 3 5 7 11 13 17 19 :::
;
1 2 4 6 10 12 16 18 :::
con al numeratore tutti i numeri primi ed al denominatore i primi meno una unità,
il risultato è uguale alla somma della serie
1+
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + :::;
2 3 4 5 6 7
che è in…nita.
Dimostrazione: Sia infatti
X =1+
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + ::::
2 3 4 5 6 7
3
Allora
1
1 1 1 1
X = + + + + :::;
2
2 4 6 8
e sottraendo la seconda serie dalla prima,
1 1 1
1
X = 1 + + + + ::::
2
3 5 7
In questa serie non compaiono denominatori pari. Sottraendo di nuovo a questa
serie la serie
1 1
1 1
1
1
X= + +
+
+ :::;
2 3
3 9 15 21
si ricava
1 1
1
1
1 2
X =1+ + +
+
+ ::::
2 3
5 7 11 13
In questa serie non compaiono denominatori multipli di 2 o di 3. Per eliminare
anche i numeri multipli di 5, si sottrae la serie
1 2 1
1
1
1
X= +
+
+ :::;
2 3 5
5 25 35
e si ottiene
1
1
1
1 2 4
X =1+ +
+
+ ::::
2 3 5
7 11 13
Eliminando in modo simile i termini divisibili per 7, per 11, e per tutti gli altri
numeri primi, si ottiene
1 2 4 6 10 12 16 18 22 :::
X = 1:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 :::
E poiché X = 1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + 1=5 + 1=6 + :::, si ricava in…ne
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + :::
2 3 4 5 6 7
2 3 5 7 11 13 17 19 23 :::
=
:
1 2 4 6 10 12 16 18 22 :::
In questa espressione al numeratore compare la successione dei numeri primi ed
al denominatore i primi meno una unità. Q.E.D.
1+
In particolare, se i numeri primi fossero …niti, anche il loro prodotto sarebbe
…nito, ma questo prodotto è uguale alla serie armonica, che è in…nita. In ogni passo
di questa dimostrazione delle quantità in…nite sono manipolate come veri e propri
numeri, con somme e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni. Per esempio, X=2
risulta essere uguale sia a 1 + 1=3 + 1=5 + ::: che a 1=2 + 1=4 + 1=6 + :::, ma ogni
termine della prima serie è maggiore del corrispondente della seconda. Comunque
nel teorema successivo compaiono solo quantità …nite e la dimostrazione diventa
essenzialmente rigorosa.
TEOREMA: L’espressione formata con la successione dei numeri primi
4
2n
2n
3n
1
3n
5n
5n
1
7n
11n
:::
1 11n 1
7n
1
ha lo stesso valore della somma della serie
1
1
1
1
1
1
+ n + n + n + n + n + :::
2n
3
4
5
6
7
1+
Come nel teorema precedente, la dimostrazione consiste nell’eliminare, come nel
crivello di Eratostene, prima i multipli di 2, poi i multipli di 3, e successivamente
i multipli di tutti gli altri primi. E l’ultimo enunciato nella memoria di Eulero è il
seguente:
TEOREMA: La somma dei reciproci dei numeri primi
1 1 1 1
1
1
+ + + +
+
+ :::
2 3 5 7 11 13
è in…nitamente grande, ma è in…nite volte minore della somma della serie armonica
1+
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + :::
2 3 4 5 6 7
La somma della prima serie è il logaritmo della somma della seconda.
Cioè, per Eulero, la serie armonica è log (1) e la serie degli inversi dei primi è
log log (1). La dimostrazione è, più o meno, la seguente:
+1
X
Y
1=n =
n=1
(1
1=p)
1
p primo
0
= exp @
0
= exp @
X
1
1=p)A
log (1
p primo
+1
X X
k
p primo k=1
1
p
1
kA
:
Quindi, passando ai logaritmi ed isolando i termini con k = 1,
log
+1
X
n=1
1=n
!
X
p primo
1=p =
+1 X
X
k
1
p
k
:
k=2 p primo
Per Eulero è ovvio che la serie doppia converge, per i comuni mortali è meglio
fare i conti:
5
+1 X
X
k
1
p
k
k=2 p primo
<
+1 X
+1
X
k
k=2 n=2
+1
X
1
=2
n=2
1
k
n
<2
1
+1 X
+1
X
n
k
n=2 k=2
1
n
1
1
n
= 1=2:
In…ne, Eulero torna ad occuparsi di serie e numeri primi in un’altra memoria:
De summa seriei ex numeris primis formatae
1=3
1=5 + 1=7 + 1=11
1=13
1=17 + 1=19 + 1=23 1=29 + 1=31 etc:
ubi numeri primi formae 4n-1 habent signum positivum,
formae autem 4n+1 signum negativum (1775).
Dalla convergenza di questa serie Eulero ricava la divergenza delle serie degli
inversi dei primi nelle progressioni aritmetiche 4n 1, poi accenna anche ad un
risultato analogo per la progressione 100n + 1.
Questi risultati di Eulero sono poi ripresi e generalizzati da J.P.G.L.Dirichlet
(1805-1859):
Dimostrazione di un teorema
sulle progressioni aritmetiche.(1837).
TEOREMA: Ogni progressione aritmetica, in cui il primo termine e le differenze non hanno fattori comuni, contiene in…niti numeri primi.
Cioè, se a e b non hanno fattori comuni, esistono in…niti numeri primi della
forma an + b. Se con Eulero c’è la nascita della teoria analitica dei numeri, con
Dirichlet c’è l’inizio dell’analisi armonica sui gruppi e della sua applicazione alla
teoria dei numeri. Qui, per semplicità, dimostriamo il teorema di Dirichlet con
a = 4 e b = 1, che è proprio il caso considerato da Eulero.
Al gruppo moltiplicativo degli interi che hanno inverso modulo 4 sono associati
i caratteri
+ (n)
=
(n) =
1 se n = 4k 1,
0 altrimenti,
1 se n = 4k
0 altrimenti.
1,
I caratteri sono funzioni moltiplicative,
(mn) =
(m) (n), un analogo delle
funzioni esponenziali, ed a questi caratteri sono associate delle serie di Dirichlet e
dei prodotti di Eulero,
6
+1
X
z
n=1
X
=
(n)n
pa q b rc :::
z
pa q b rc :::
p;q;r;::: primi; a;b;c;::: interi
Y
=
1+
p primo
Y
=
z
(p) p
1
2
+
(p) p
(p)p
1
z
2z
+ :::
:
p primo
Prendendo lo sviluppo in serie di potenze dei logaritmi di questi prodotti e separando le potenze uguali ad uno da quelle maggiori di uno, si ottiene
+1
X
log
z
(n)n
n=1
=
X
!
z
(p)p
X
=
log 1
z
(p)p
p primo
+
+1 X
X
k
1
(p)k p
kz
:
k=2 p primo
p primo
Con i caratteri si possono ricostruire le funzioni caratteristiche delle successioni
4n 1. In particolare, + (n)
(n) =2 è uguale a uno se n = 4k 1 e si annulla
altrimenti. Quindi,
X
p
z
+1
X
+ (n)n
1
k
+ (p) p
n=1
+1
1X X
k
2
p primo
+ (p)
z
!
(p)
2
p primo
p=4k 1 primo
1
= log
2
X
=
1
log
2
+1
X
k=2
(n)n
n=1
+1
1X X
k
2
p primo
kz
p
1
z
z
!
(p)k p
kz
:
k=2
Tutte queste serie convergono assolutamente in z > 1 e le due serie doppie si
mantengono limitate anche se z ! 1+. Inoltre, se z ! 1+,
lim
z!1+
lim
z!1+
Quindi la serie
+1
X
n=1
+1
X
+ (n)n
z
= 1 + 1=3 + 1=5 + 1=7 + ::: = +1;
(n)n
z
=1
1=3 + 1=5
1=7
::: = =4:
n=1
X
p=4k 1 primo
p
z
risulta scomposta in quattro addendi, di cui
tre si mantengono limitati quando z ! 1+, mentre uno diverge. Questo implica
che
X
p=4k 1 primo
1=p = +1:
7
La dimostrazione del teorema di Dirichlet per progressioni aritmetiche an + b
è simile. Ai caratteri del gruppo moltiplicativo degli elementi che hanno inverso
modulo a sono associate delle serie di Dirichlet e dei prodotti di Eulero, ed una
opportuna combinazione lineare di caratteri è uguale alla funzione caratteristica
della successione an + b,
X
p
z
=
=
c( ) (p)p
p primo
p=an+b primo
X
X X
c( ) log
+1
X
(n)n
z
n=1
+1 X X
X
c( ) (p)k k
1
z
!
p
kz
:
k=2 p primo
La serie di Dirichlet associata al carattere banale diverge se z ! 1+, mentre
le serie associate ai caratteri con media nulla convergono
a quantità non nulle.
X
In…ne, la serie tripla si mantiene limitata. Quindi
1=p = +1. Più
p=an+b primo
precisamente, se (a) è la funzione di Eulero che conta il numero dei 0 < b < a che
non hanno fattori comuni con a, per x ! +1 si ha
X
1=p
p=an+b primo; p x
log(x)
:
(a)
Cioè, i primi si equidistribuiscono nelle progressioni aritmetiche che li possono
contenere. Tutti questi risultati sembrano suggerire che la densità dei numeri primi
sia in qualche modo collegata ai logaritmi, comunque Eulero non menziona questa
congettura. La congettura che la densità dei primi sia circa 1= log(x), avanzata
da A.M.Legendre (1752-1833), C.F.Gauss (1777-1855), P.L.Cebicev (1821-1894), è
stata dimostrata, seguendo la strada aperta da G.F.B.Riemann (1826-1866), nel
1898 da C.J.G.N.de la Vallée Poussin (1866-1962) e J.Hadamard (1865-1963),
x
log(x)
Il teorema dei numeri primi ha una semplice giusti…cazione probabilistica. La
frequenza dei numeri divisibili per p è 1=p e di quelli non divisibili per p è (1 1=p).
Assumendo l’indipendenza della divisibilità per primi distinti, si è portati a stimare
la probabilità che un numero minore di x risulti primo con il prodotto di Eulero
jfp primo; p
Y
(1
p primo; p x
0
exp @
xgj
0
1=p) = exp @
X
p primo; p x
X
p primo; p x
1
1=pA
log (1
1
1=p)A
exp ( log (log(x))) :
Quindi, la densità dei numeri primi dovrebbe
essere circa 1= log(x) ed i numeri
Z x
primi minori di x dovrebbero essere circa
dx= log(x) x= log(x).
2