ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI

ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE
A.A. 2016/2017
Esercizi 3
Piani di ammortamento
Esercizio 1. Un prestito di 12000e viene rimborsato in 10 anni con rate mensili e
piano all’italiana al tasso annuo i = 4%. Dopo 5 anni, il tasso viene rivisto e portato
a i1 = 6%. Calcolate la differenza tra l’ultima rata del piano rispettivamente con e
senza cambiamento di tasso.
Soluzione. La generica rata Rk , ad una determinata epoca intermedia k compresa tra 1 e n, in un piano all’italiana, è data dalla formula
Rk = C · (1 + i · (n − k + 1)),
ove C è la quota capitale costante, data da C = D0 /n, mentre i è il tasso annuo.
Poiché noi dobbiamo calcolare l’ultima rata, ossia per k = n = 120 (12 rate mensili
per 10 anni fa 120 rate in tutto), e il tasso in gioco è quello mensile im , si ha che
R120 = C · (1 + im ),
quindi la differenza cercata è
)
1
1
D0
D0 (
R120 (i1,m ) − R120 (im ) =
· (i1,m − im ) =
· (1 + i1 ) 12 − (1 + i) 12 , (1)
n
n
ove nell’ultimo passaggio abbiamo trasformato il tasso mensile in annuo, evitando
troppe approssimazioni, con la solita formula
1
i1,m = (1 + i1 ) 12 − 1
e
1
im = (1 + i) 12 − 1.
Inserendo i dati numerici nella (1), si ha che
R120 (i1,m ) − R120 (im ) ≃ 0, 1594 ∼ 0, 16.
Esercizio 2. Non potendo pagare l’ultima rata Rn , pari a 1000e, di un mutuo a
tasso i = 10%, ottenete di “chiudere” il prestito pagando tre rate costanti pari a R
alle epoche t = n + 1, t = n + 2 e t = n + 3 sempre con lo stesso tasso. A quanto
ammonta R?
1
2
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Soluzione. L’equazione da impostare è la seguente:
Dn−1 =
R
R
R
+
+
.
2
3
(1 + i)
(1 + i)
(1 + i)4
Siccome
Dn−1 =
Rn
,
(1 + i)
si trova che
Rn
R
R
R
+
+
,
=
(1 + i)
(1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4
da cui
R
R
R
+
= R · a3⌉i ,
+
2
1 + i (1 + i)
(1 + i)3
ossia, poiché il tasso rimane lo stesso, l’ultima rata è uguale al valore attuale riferito
all’epoca t = n di ciascuna delle tre nuove rate pari a R. Dunque abbiamo
Rn =
R=
Rn
i
≃ 402, 11e.
= Rn ·
a3⌉i
1 − (1 + i)−3
Esercizio 3. Un prestito di 70000e viene rimborsato in 25 anni con rate mensili
costanti al tasso annuo i = 5, 2%. Dopo 10 anni, il tasso annuo viene rivisto e
portato a i1 = 6, 2%. Se R è la rata costante dei primi 10 anni e R′ è quella costante
degli ultimi 15 anni, determinare R′ .
Soluzione. La prospettiva da cui partire, come se fosse per il momento l’epoca
iniziale, è all’epoca t = 10. Da tale epoca, per 15 anni, ossia per 180 rate mensili,
si ha un normale ammortamento alla francese di rata costante R′ , che è data dalla
solita formula
i1,m
R′ = D120 ·
,
1 − (1 + i1,m )−180
ove D120 è il debito residuo dopo 10 anni, ossia dopo 120 rate mensili pagate al vecchio tasso annuo i, mentre i1,m è il nuovo tasso su base mensile. Conviene trasformare
il tasso mensile in annuo, evitando troppe approssimazioni, ossia
1
i1,m = (1 + i1 ) 12 − 1,
(1)
pertanto
1
1
(1 + i1 ) 12 − 1
(1 + i1 ) 12 − 1
.
R = D120 ·
= D120 ·
(
)
−180
1
1 − (1 + i1 )−15
1 − (1 + i1 ) 12
′
(2)
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
3
Ora, il problema è trovare il debito residuo D120 : qui conviene usare la formula compatta che dice che il debito residuo ad una generica epoca intermedia k, nell’ammortamento alla francese di complessive epoche n, ad un arbitrario tasso annuo x, è
data da
1 − (1 + x)−n+k
Dk = D0 ·
.
1 − (1 + x)−n
Se applicate tale formula al vostro caso, in cui n = 300 e k = 120 e il tasso è mensile
e non annuo, risulta
(
)−180
1
12
1
−
(1
+
i)
−180
1 − (1 + im )
1 − (1 + i1 )−15
=
D
·
,
D120 = D0 ·
=
D
·
)
(
0
0
−300
1
1 − (1 + im )−300
1 − (1 + i1 )−25
1 − (1 + i) 12
ove nel penultimo passaggio abbiamo usato come al solito la (1). Inserendo quest’ultimo
risultato nella (2), tenendo conto che D0 = 70000e, si trova che
1
1 − (1 + i1 )−15 (1 + i1 ) 12 − 1
R = D0 ·
·
≃ 438, 71e.
1 − (1 + i1 )−25 1 − (1 + i1 )−15
′
Esercizio 4. Redigere un piano di ammortamento all’italiana in 4 anni, sapendo
che i dati sono le 4 quote in conto capitale, costanti e pari a C, ed il tasso annuo
pari a i.
Supposto poi di dover allungare la durata del piano da 4 a 5 anni, dimezzando
l’originaria ultima quota in conto capitale in due parti, una per il quarto e l’altra
per il quinto anno, riscrivere gli ultimi due anni del nuovo piano.
Soluzione.
Primo Caso. Poiché il piano è all’italiana, la quota capitale è costante, allora
abbiamo che D0 = 4 C.
Impostiamo il piano relativo al primo anno. Abbiamo che
I1 = D0 · i = 4 C i;
R1 = I1 + C = 4 C i + C = C · (1 + 4 i);
D1 = D0 − C = 4 C − C = 3 C.
Procedendo in modo analogo per le epoche 2, 3, 4, abbiamo il seguente piano di
ammortamento:
4
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
k Ck Ik
Rk
0 0
0
0
1 C 4 C i C · (1 + 4 i)
2 C 3 C i C · (1 + 3 i)
3 C 2 C i C · (1 + 2 i)
4 C
Ci
C · (1 + i)
Dk
4C
3C
2C
C
0
Secondo Caso. Dobbiamo scrivere gli ultimi due anni del nuovo piano, sapendo
che
C
C1 = C2 = C3 = C
e
C4 = C5 = ,
2
dunque il piano di ammortamento è il seguente:
k Ck
Ik
Rk
Dk
0
0
0
0
4C
1 C
4C i
C · (1 + 4 i)
3C
2 C
3C i
C · (1 + 3 i)
2C
3 C
2C i
C · (1 + 2 i)
C
4 C/2
Ci
C · (i + (1/2)) C/2
5 C/2 (C/2) i (C/2) · (1 + i)
0
Esercizio 5. (Difficile) In un piano di ammortamento alla francese su prestito iniziale di 100.000 e, a rate mensili, durata pari a 10 anni e tasso annuo i = 4%, dopo
due anni il tasso passa a i1 = 5%. Supposto che voi non riusciate a pagare piú di
1020 e mensili, di quanto (eventualmente) si allunga il vostro piano?
Soluzione. La rata R del nostro piano alla francese, con la variazione del tasso
da mensile ad annuo, data dalla solita formula di conversione
√
im = 12 1 + i − 1,
è pari a
√
1+i−1
R = D0 ·
,
1 − (1 + i)−10
ove D0 = 100000. L’esercizio non richiede espressamente di calcolare R, in ogni caso,
se lo faceste, risulterebbe R ∼
= 1009, 06 e. Dopo k = 2 anni, cambia il tasso e passa
a i1 = 5%, quindi la nuova rata R′ , usando la precedente formula con i1 al posto di
i, il debito residuo Dk (con k = 2) al posto di D0 e con durata che ora dovrebbe
essere quella residua, ossia 8 anni, risulterebbe pari a
√
12
1 + i1 − 1
′
,
(1)
R = D2 ·
1 − (1 + i1 )−8
12
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
5
ove D2 si puó determinare attraverso la seguente formula generale, valida in un
arbitario piano alla francese:
Dk = D0 ·
1 − (1 + i)−n+k
.
1 − (1 + i)−n
Nel nostro caso
1 − (1 + i)−8
.
1 − (1 + i)−10
Se inseriamo tale formula in eq. (1), troviamo
√
1 − (1 + i)−8 12 1 + i1 − 1
′
.
(2)
R = D0 ·
1 − (1 + i)−10 1 − (1 + i1 )−8
Se ora inserite i dati, troverete R′ ∼
= 1046, 50 e, quindi sopra il vostro tetto mensile
Rmax = 1020 e. Conseguentemente, essendo ora evidente che, potendovi permettere
di pagare al massimo Rmax ogni mese, la durata residua si debba allungare, dovete
riscrivete la formula data in eq. (2), con Rmax al posto di R′ e x al posto di 8, perché
ora la vostra vera incognita è la nuova durata del piano. Pertanto la nuova formula
diviene
√
12
1 + i1 − 1
1 − (1 + i)−8
Rmax = D0 ·
·
,
−10
1 − (1 + i)
1 − (1 + i1 )−x
da cui, con qualche passaggio algebrico, si arriva a
(
)
√
1−(1+i)−8
12
0
log 1 − RDmax
1
+
i
−
1)
· 1−(1+i)
·
(
1
−10
∼
x=−
= 8, 2558,
log(1 + i1 )
D2 = D0 ·
ossia la durata supera ora gli 8 anni di circa 0, 25 anni, il che significa (approssimando
per leggero difetto) 3 mesi.
Esercizio 6. (Difficile) A due anni dall’estinzione di un prestito a rata costante a
tasso i = 5, 5%, siete di fronte a due possibili scelte.
La prima consiste nel chiudere anticipatamente il prestito, con una penale α > 0
da definirsi, proporzionale al debito residuo. Supponendo peró di non possedere la
cifra necessaria per la chiusura anticipata, ve la fate prestare da un’altra istituzione
finanziaria, presso la quale vi impegnate in un ammortamento in 2 anni a rata
costante, detta Rα , sempre a tasso i.
La seconda, invece, consiste nel continuare il piano originario, ma sapendo questa
volta che il tasso subirá un innalzamento, passando da i = 5, 5% a i1 = 6%, il che
ovviamente produrrá una rata R1 piú gravosa negli ultimi 2 anni. La domanda è:
per quali α è piú conveniente uscire anticipatamente piuttosto che continuare?
Soluzione. Se si esce anticipatamente, si deve pagare il debito residuo Dn−2 piú
la penale pari a α·Dn−2 , ossia in tutto Dn−2 (1+α). Ci facciamo prestare tale somma
da un’altra banca, presso la quale ci si impegna in un piano alla francese a tasso i in
6
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
2 anni, quindi, usando la solita formula generale dell’ammortamento alla francese,
si ha che
Dn−2 (1 + α) = Rα · a2⌉i ,
(3)
ove ricordiamo che, in generale, si ha
1 − (1 + i)−n
.
i
Se, invece, optiamo per la seconda scelta, riapplichiamo la formula precedente sostituendo Dn−2 (1 + α) con Dn−2 , perché non vi é penale, ma anche i con i1 , a causa
dell’aggravio di tasso, ottenendo quindi
an⌉i =
Dn−2 = R1 · a2⌉i1 .
(4)
Se ora si sostituisce Dn−2 ricavato dalla (4) nella (3), si trova che
R1 (1 + α) · a2⌉i1 = Rα · a2⌉i ,
da cui, con un semplice passaggio algebrico, si ha che
a2⌉i1
Rα
(5)
= (1 + α) ·
.
R1
a2⌉i
Poiché la maggiore convenienza nell’uscire anticipatamente piuttosto che continuare
é ovviamente equivalente a dire che Rα < R1 o, che é lo stesso, che
Rα
< 1,
R1
allora, inserendo questa condizione nella (5), si trova facilmente che
a2⌉i
α<
− 1,
a2⌉i1
ossia
α<
i1
0, 06
1 − (1 + i)−2
1 − (1, 055)−2
·
·
−1
=
−1 ≃ 0, 007051
−2
i
1 − (1 + i1 )
0, 055
1 − (1, 06)−2
dunque α < 0, 7051%.
Piani di ammortamento ad interessi anticipati
Esercizio 7. Un bene del valore di 4329, 4766e è venduto a rate. L’acquirente effettua
5 pagamenti rateali annuali con piano alla francese. Sapendo che il tasso annuo è
i = 5%, scrivere il piano di ammortamento. Redigere poi un piano di ammortamento
a interessi anticipati, con stesso tasso e numero di anni del precedente, con i vincoli
che il finanziamento netto complessivo e le rate siano uguali al piano precedente.
Infine, redigere anche un piano di ammortamento alla tedesca.
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
7
NOTA BENE: la rata del piano alla francese deve venire un numero esatto, mentre
tutte le altre voci dello stesso piano vanno approssimate alla seconda cifra decimale.
Soluzione. Nel piano alla francese la rata è pari a:
R=
D0 · i
≃ 1000e.
1 − (1 + i)−5
Abbiamo dunque il seguente piano di ammortamento:
t
0
1
2
3
4
5
Ck
Ik
Rk
Dk
0
0
0
4329,4766
783,53 216,47 1000 3545,95
822,70 177,30 1000 2723,25
863,84 136,16 1000 1859,41
907,03 92,97 1000
952,38
952,38 47,62 1000
0
Dobbiamo redigere un piano di ammortamento a interessi anticipati, sempre al
tasso del 5%, alle seguenti condizioni:
- il finanziamento netto complessivo iniziale è lo stesso del precedente piano,
ossia 4329, 4766e;
- le rate complessive sono le stesse del precedente piano;
dunque valgono le seguenti formule:
Ik′ = Ik+1
per
k = 0, . . . , 4; I5′ = 0;
Dk′ = Dk · (1 + i) per
Ik′
k = 0, . . . , 5,
Dk′
dove
e
indicano rispettivamente la quota in conto di interesse e il debito
residuo del nuovo piano.
Il piano di ammortamento è dunque il seguente:
k
0
1
2
3
4
5
C′k
I′k
R′k
D′k
0
216,47 216,47 4545,95
822,70 177,30 1000 3723,25
863,84 136,16 1000 2859,41
907,03 92,97
1000 1952,38
952,38 47,62
1000
1000
1000
0
1000
0
8
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Infine, nell’ultimo tipo di piano da stilare, ossia quello alla tedesca, avendo a disposizione il corrispondente piano alla francese, sappiamo che la rata tedesca, denominata R(T ) , é data da
1000 ∼
R(T ) =
= 952, 38,
1 + 0, 05
e i debiti residui e le quote capitale sono identiche a quelle del corrispondente piano
alla francese, mentre le quote interessi si possono ricavare per differenza tra la rata
e le quote capitale.
Il piano di ammortamento alla tedesca è dunque il seguente:
t
0
1
2
3
4
5
Ck
Ik
Rk
Dk
0
206,16 206,16 4329,4766
783,53 168,85 952,38 3545,95
822,70 129,68 952,38 2723,25
863,84 88,54 952,38 1859,41
907,03 45,35 952,38
952,38
952,38
0
952,38
0
Esercizio 8. Un debito di 20000e viene estinto in 5 anni con un piano di ammortamento a interessi anticipati. Sapendo che:
a) C1 = 4000e; C2 = 6000e; C3 = 2000e; C4 = 5000e; C5 = 3000e;
i
= 8%;
b) il tasso annuo i è tale che:
1+i
redigere il piano di ammortamento.
Soluzione. Poiché il piano è a interessi anticipati, vale la seguente formula:
i
Dk per k = 0, . . . , n.
Ik =
1+i
Osserviamo che in tale piano il debitore effettua un pagamento “virtuale” pari a
i
I0 =
D0 = 1600e,
1+i
quindi riceve in prestito D0 − I0 = 18400e, anziché D0 = 20000e.
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
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Il piano di ammortamento è il seguente:
k
0
1
2
3
4
5
Ck
Ik
Rk
Dk
0
1600 1600 20000
4000 1280 5280 16000
6000 800 6800 10000
2000 640 2640 8000
5000 240 5240 3000
3000
0
3000
0
Esercizio 9. Un bene di 6000e viene venduto a rate. La rateazione è all’italiana,
a tasso annuo i = 5% su 5 anni. Redigere poi un piano di ammortamento a interessi anticipati, con stesso tasso e numero di anni del precedente, con i vincoli
che il finanziamento netto complessivo e le rate complessive siano uguali al piano
precedente.
Soluzione. Nel piano all’italiana la quota capitale è pari a:
D0
= 1200e.
C=
5
Abbiamo il seguente piano di ammortamento:
k
0
1
2
3
4
5
Ck
0
1200
1200
1200
1200
1200
Ik
0
300
240
180
120
60
Rk
0
1500
1440
1380
1320
1260
Dk
6000
4800
3600
2400
1200
0
Dobbiamo ora redigere un piano di ammortamento a interessi anticipati, sempre
al tasso del 5%, alle seguenti condizioni:
- il finanziamento netto complessivo iniziale è lo stesso del precedente piano,
ossia 6000e;
- le rate complessive sono le stesse del precedente piano;
dunque valgono le seguenti formule:
Ik′ = Ik+1
per
k = 0, . . . , 4; I5′ = 0;
Dk′ = Dk · (1 + i) per k = 0, . . . , 5,
dove Ik′ e Dk′ indicano rispettivamente la quota in conto di interesse e il debito
residuo del nuovo piano.
Il piano di ammortamento è dunque il seguente:
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ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
k
0
1
2
3
4
5
C′k
0
1260
1260
1260
1260
1260
I′k
300
240
180
120
60
0
R′k
300
1500
1440
1380
1320
1260
D′k
6300
5040
3780
2520
1260
0
Esercizio finale
Esercizio 10. Un finanziamento di 1000e viene restituito in 4 anni a tassi i = 12%
per i primi due anni e i1 = 10% negli ultimi due anni. Sapendo che la prima e la
terza rata sono uguali, mentre la seconda è pari a 320e e l’ultima a 394, 064e,
determinare la rata del primo e terzo anno.
Soluzione. Per risolvere questo problema, è sufficiente impostare la condizione
di chiusura finanziaria, dove peró bisogna fare attenzione al fatto che il tasso non è
costante, quindi essa diviene
R1
R2
R4
R3
+
+
+
= 1000,
2
2
2
(1 + i) (1 + i)
(1 + i) · (1 + i1 ) (1 + i) · (1 + i1 )2
ove R1 = R3 = R è l’incognita, mentre R2 = 320 e R4 = 394, 064. Se si isola
l’incognita R, si arriva alla soluzione
R=
(1000 · (1 + i)2 (1 + i1 )2 − 394, 064 − 320(1 + i1 )2 )
= 300.
(1 + i1 ) · (1 + (1 + i)(1 + i1 ))