Serie di Fourier

Serie di Fourier
1
Serie di Fourier
1
Rappresentazione Reale delle Serie di Fourier
In questo capitolo introduciamo le funzioni periodiche, la serie di Fourier in forma trigonometrica per le funzioni di periodo 2π, e ne identiﬁchiamo i coeﬃcienti. Aﬀrontiamo quindi la
relazione tra la funzione e la sua serie di Fourier, e formuliamo un teorema di convergenza.
Esaminiamo anche come alcune proprietà della funzione (parità, realtà, ecc.) si traducono in
termini dei suoi coeﬃcienti di Fourier. Introduciamo poi la rappresentazione complessa delle
serie di Fourier, ed estendiamo la trattazione a funzioni di periodo qualsiasi. Inﬁne assumiamo
il punto di vista dell’Analisi Funzionale, e trattiamo la convergenza delle serie di Fourier in L2 .
1.1
Funzioni Periodiche
Si dice che una funzione f : R → C è periodica di periodo T (> 0) se e solo se f (x + T ) = f (x)
per ogni x ∈ R. 1 Ovviamente, una funzione periodica di periodo T è pure periodica di periodo
kT per ogni intero k > 1. Ogni funzione periodica continua non costante ha un periodo minimo,
detto periodo fondamentale. Ad esempio le funzioni seno, coseno, esponenziale immaginario
(ovvero θ → eiθ ) sono periodiche di periodo fondamentale 2π; la funzione tangente è pure
periodica di periodo 2π, ma ha periodo fondamentale π.
Siano a, b ∈ R, a < b; una qualsiasi funzione f : [a, b[→ C può essere estesa in uno ed un
solo modo ad una funzione f˜ : R → C periodica di periodo b − a, detta appunto estensione
periodica di f . Poiché ogni numero reale può essere rappresentato nella forma x + n(b − a) per
x ∈ [a, b[ e n ∈ Z opportuni, basta porre f˜(x + n(b − a)) := f (x) per ogni x ∈ [a, b[ ed ogni n.
Si può allora studiare una funzione periodica di periodo T su tutto R o su un qualsiasi intervallo di lunghezza T ; spesso si identiﬁca una funzione periodica con tale restrizione.
Quest’ultima rappresentazione presenta alcuni vantaggi; ad esempio, la funzione nulla è l’unica
funzione periodica di L2 (R), mentre L2 (a, b) contiene una gran quantità di funzioni periodiche.
2
Si noti comunque che, per ogni funzione periodica f di periodo b − a,
f˜ ∈ C 0 (R)
⇔
f ∈ C 0 ([a, b[) e lim− f (x) = f (a).
x→b
(1.1)
Si dice che una funzione f : [a, b[→ C è continua a tratti se è continua in tutti i punti salvo
al più in un numero ﬁnito, nei quali comunque esistono ﬁniti sia il limite sinistro che quello
destro; si chiede anche che esistano il limite destro in a e quello sinistro in b. Si dice che una
funzione f : R → C è continua a tratti se lo è in ogni intervallo. Si noti che una funzione
continua a tratti è limitata, quindi integrabile, in ogni intervallo. Ad esempio, l’estensione
periodica della funzione f : [0, 1[→ R : x → x è continua a tratti, mentre la funzione tangente
non lo è.
Analogamente si dice che una funzione f :]a, b[→ C è monotòna a tratti se esiste un insieme
ﬁnito di punti x0 = a < x1 < ... < xN = b tali che f è o non crescente o non decrescente in ogni
1
Si deﬁniscono anche la frequenza ν := 1/T e la pulsazione ω := 2πν. La frequenza è misurata in cicli
nell’unita’ di tempo, la pulsazione in radianti nell’unita’ di tempo.
2
Si potrebbe osservare che l’insieme delle funzioni periodiche di L2loc (R) è ancor più vasto; tuttavia L2loc (R)
presenta l’inconveniente di non essere uno spazio normato.
2
Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
intervallo ]xn , xn+1 [ (n = 0, ..., N − 1). Ad esempio, le funzioni seno e coseno sono monotone
a tratti su ]0, 2π[; la funzione f : x → x sin(1/x) è monotona a tratti su ogni intervallo [a, 2π[
con a > 0, ma non su tutto ]0, 2π[.
Si noti che le funzioni periodiche di un certo periodo costituiscono uno spazio lineare, e che
lo stesso vale sia per le funzioni continue a tratti che per quelle monotone a tratti.
1.2
Identiﬁcazione dei Coeﬃcienti di Fourier
In questo paragrafo assumiamo sistematicamente che f : R → C sia una funzione periodica
di periodo 2π, e la identiﬁchiamo con la sua restrizione ad un qualsiasi intervallo di lunghezza
periodo 2π.
Lo sviluppo in serie di Fourier si applica a funzioni R → C periodiche. Qui assumiamo che
il periodo sia uguale a 2π per sempliﬁcare certi conti; poi estenderemo facilmente la trattazione
a funzioni di periodo qualsiasi.
Studiamo allora la possibilità di approssimare f mediante una successione di funzioni della
forma
n
a0 Sf,n (x) :=
+
(ak cos kx + bk sin kx)
∀x ∈ R,
2
k=1
dette polinomi trigonometrici. Poniamo poi
∞
a0 (ak cos kx + bk sin kx)
+
Sf (x) :=
2
k=1
∀x ∈ R,
(1.2)
detta serie di Fourier in forma trigonometrica, e ci chiediamo se Sf = f in R, per un’opportuna
scelta dei coeﬃcienti di Fourier {a0 , a1 , a2 , ....} e {b1 , b2 , ....}.
Si noti la distinzione tra la funzione f e lo sviluppo in serie di Fourier Sf : la (1.2) è una
deﬁnizione, mentre “Sf = f ” è una proprietà che può valere o meno, e comunque richiede
l’indicazione di opportune condizioni di regolarità per f . A questo proposito si pongono diversi
problemi:
(i) Quali funzioni (periodiche di periodo 2π o deﬁnite su [0, 2π]) ammettono una tale
rappresentazione?
(ii) In che senso è da intendersi la convergenza della serie: puntuale, uniforme, in
2
L (0, 2π), o altro?
(iii) I coeﬃcienti di Fourier {a0 , a1 , a2 , ....} e {b1 , b2 , ....} sono individuati da f ?
(iv) In caso aﬀermativo, questi coeﬃcienti come possono essere espressi in termini di f ?
(In teoria dei segnali si dice che le successioni {a0 , a1 , a2 , ....} e {b1 , b2 , ....} costituiscono lo
spettro reale del segnale f .)
Le prime due questioni riguardano la regolarità di f (che potremmo pensare come un elemento qualitativo), le altre due coinvolgono invece degli aspetti quantitativi.
Incominciamo proprio da queste ultime due questioni, che sono più vicine alle esigenze
applicative. I coeﬃcienti di Fourier a0 ed ak , bk (k = 1, 2, . . .) sono individuati da f , e per
calcolarli useremo le seguenti identità.
Lemma 1.1 (di Ortogonalità)
π
−π




0
cos kx cos x dx =  π


2π
se k = se k = = 0
se k = = 0
∀k, ∈ N,
(1.3)
Serie di Fourier
3




π
−π
se k = 0
sin kx sin x dx =  π
se k = = 0
0
se k = = 0


π
−π
∀k, ∈ N,
∀k, ∈ N.
cos kx sin x dx = 0
(1.4)
(1.5)
Dimostrazione. Grazie alla formula di Eulero,
π
−π
π
cos kx cos x dx =
−π
eikx + e−ikx eix + e−ix
dx
2
2
1 π i(k+)x
=
(e
+ ei(k−)x + ei(−k)x + e−i(k+)x ) dx
4 −π
poiché
π
−π
imx
e
dx =
2π
se m = 0
0
se m = 0
∀k, ∈ N;
∀m ∈ N,
ne consegue la (1.3). La dimostrazione di (1.4) e (1.5) è analoga.
(1.6)
Secondo l’impostazione introdotta nel Cap. I, le (1.3)—(1.5) esprimono l’ortogonalità nel
senso del prodotto scalare di L2 (−π, π) di ogni coppia di funzioni dell’insieme
{sin kx, cos kx : k ∈ N} = {0, 1, sin x, cos x, ..., sin kx, cos kx, ...}.
Si noti che queste funzioni appartengono a C 0 ([−π, π]), quindi anche a L2 (−π, π). 3
Siamo ora in grado di esprimere i coeﬃcienti di Fourier {ak } e {bk .} in termini della funzione
periodica.
Teorema 1.2 Sia f : R → C una funzione periodica di periodo 2π continua. Se vale la (1.2)
nel senso della convergenza uniforme e f = Sf , allora
1π
f (x) cos kx dx
ak =
π −π
per k = 0, 1, 2, ...
1π
bk =
f (x) sin kx dx
π −π
per k = 1, 2, ...
(1.7)
Dimostrazione. In seguito all’ipotesi di converga uniforme, possiamo scambiare le operazioni
di serie e di integrazione. Grazie al lemma di ortogonalità abbiamo
π ∞
a0 π
f (x) cos x dx =
cos x dx +
(ak cos kx + bk sin kx) cos x dx
2 −π
−π
−π
k=1
π
=
π
π
∞
∞
a0 π
cos x dx +
ak
cos kx cos x dx +
bk
sin kx cos x dx
2 −π
−π
−π
k=1
k=1
= a π
3
per = 0, 1, 2, ...
Esse appartengono anche per gli altri Lp , tuttavia solo in L2 disponiamo di un prodotto scalare.
(1.8)
4
Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
Si noti che questa formula vale anche per a0 : proprio per ottenere questo abbiamo scritto il
termine costante della serie di Fourier nella forma a0 /2.
Analogamente si ottiene
π
−π
f (x) sin x dx = b π
per = 1, 2, ...
In quest’ultimo teorema abbiamo richiesto che la funzione f fosse continua, poiché la dimostrazione si basa sulla convergenza uniforme; tuttavia le formule (1.12) hanno senso per ogni
f ∈ Lp (−π, π) per ogni p. Questo lascia sperare di poter trattare le serie di Fourier anche per
funzioni meno regolari, ad esempio continue a tratti, o soltanto Lp per un qualche p.
Si noti anche che i coeﬃcienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione f . Ovvero,
deﬁniti ak := ak (f ) e bk := bk (f ) come in (1.12) per ogni k, per ogni coppia di funzioni f1 , f2
periodiche di periodo 2π e continue a tratti si ha
∀λ1 , λ2 ∈ R, ∀k,
ak (λ1 f1 + λ2 f2 ) = λ1 ak (f1 ) + λ2 ak (f2 )
ed analogamente per i bk .
1.3
Teorema di Convergenza
Le (1.12) forniscono gli unici candidati a soddisfare la (1.2); tuttavia non sappiamo ancora se
questa formula è eﬀettivamente soddisfatta. Il seguente risultato risponde alla questione.
Teorema 1.3 (di Convergenza) Sia f : R → C periodica di periodo 2π, continua a tratti e
tale che f è continua a tratti oppure f è monotona a tratti. Si ponga
1
f˜(x) :=
2
lim+ f (y) + lim− f (y)
y→x
y→x
∀x ∈ R.
(1.9)
Allora la serie di Fourier di f converge puntualmente alla funzione f˜, ovvero
∞
a0 (ak cos kx + bk sin kx) (=: Sf (x))
f˜(x) =
+
2
k=1
∀x ∈ R.
(1.10)
Se f è anche continua in un intervallo [a, b] ⊂ [0, 2π], allora la serie di Fourier converge
uniformemente a f˜ = f in [a, b]. 4
Sotto le ipotesi di questo teorema, essendo f˜ = f in ogni punto in cui f è continua (quindi
quasi ovunque), la (1.10) implica che
∞
a0 f (x) =
(ak cos kx + bk sin kx) (=: Sf (x))
+
2
k=1
4
q∀x ∈ R.
(1.11)
Può sembrare abbastanza naturale che, se la serie di Fourier converge in un punto in cui il limite sinistro s
e quello destro d della funzione esistono ﬁniti, il limite della serie coincida con il valore intermedio (s + d )/2.
Naturale o meno che sia, anche questa aﬀermazione vale solo in quanto dimostrata. Indicandola come teorema,
intendiamo che è stato dimostrata, anche se non ne riportiamo la dimostrazione. Comunque in matematica non
mancano aﬀermazioni apparentemente altrettanto naturali , ma clamorosamente smentite da controesempi (e
quindi non dimostrabili).
Serie di Fourier
5
* Osservazioni. (i) Mediante la serie di Fourier si può approssimare una qualsiasi funzione
periodica ad esempio di classe C 1 (quindi soddisfacente le ipotesi del Teorema 1.3) con una
serie di funzioni di classe C ∞ . Questo può apparire sorprendente, poiché per ogni k una somma
(ﬁnita!) di funzioni di classe C k è essa pure di classe C k . Tuttavia questo in generale non vale
per le serie di funzioni, ovvero per le somme inﬁnite; infatti la derivata di una serie di funzioni
è uguale alla serie delle derivate solo sotto opportune ipotesi.
Ad esempio se f è di classe C 1 , allora in seguito al Teorema 1.3 la serie di Fourier di f
converge uniformemente a f , ma non è detto che la serie di Fourier di f (di classe C 0 ) converga
a f .
(ii) Per le (1.12), ciascun coeﬃciente di Fourier dipende da f attraverso un’integrazione, e
quindi non risente del comportamento di f in speciﬁci punti; pertanto, se si modiﬁca f solo in
un punto x̃, Sf (x̃) non può cambiare. Quindi f può coincidere con il suo sviluppo di Fourier
(ovvero, questo sviluppo può convergere a f ) solo sotto opportune ipotesi.
Il Teorema di convergenza 1.3 ci dice che f = Sf nei punti in cui f è continua. I motivi per
cui questo avvenga non sono ovvi: occorrerebbe esaminare la dimostrazione; tuttavia è chiaro
che per quei punti non si può riprodurre il ragionamento appena esposto, perchè modiﬁcando
la f in un punto ivi verrebbe meno la continuità.
(iii) Ciascun coeﬃciente di Fourier dipende dal comportamento globale di f , per via della
(1.12); tuttavia, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, in seguito all’aﬀermazione
ﬁnale del Teorema 1.3 il valore della somma Sf (x̃) dipende solo dal comportamento di f in
prossimità di x̃; più precisamente:
Corollario 1.4 * (Principio di Localizzazione) Se due funzioni f, g soddisfano le ipotesi del
Teorema 1.3, e se f = g in un intervallo ]a, b[⊂]0, 2π[, allora Sf = Sg in ]a, b[.
(iv) Nei pressi dei punti di discontinuità di f , per ogni intero n ≥ 1 la somma parziale
n
k=1
a0
+
2
(ak cos kx + bk sin kx) presenta delle oscillazioni; questo è noto come fenomeno di Gibbs. Per
n → ∞ queste oscillazioni non si smorzano; pur conservando la loro ampiezza, esse comunque
agiscono in un insieme sempre più piccolo. Questo consente la convergenza puntuale della serie
di Fourier nei punti di continuità, coerentemente col Teorema 1.3.
(v) La continuità di f non basta ad assicurare la convergenza della serie di Fourier Sf :
occorrono delle ipotesi aggiuntive su f , ad esempio quelle del Teorema 1.3 o altre condizioni più
o meno elaborate. Elenchiamo schematicamente alcuni dei risultati più signiﬁcativi conseguiti
dagli studiosi di Analisi di Fourier: (i primi tre sono dei controesempi, ovvero sono in negativo;
gli altri due sono in positivo)
— Du Bois Reymond (1873): esiste f ∈ C 0 ([0, 2π]) tale che Sf non converge in un punto.
— Kolmogorov (1926): esiste f ∈ L1 (0, 2π) tale che Sf non converge in alcun punto.
— Kahane and Katznelson (1966): per qualsiasi insieme di misura nulla A ⊂ [0, 2π] esiste
f ∈ C 0 ([0, 2π]) tale che Sf non converge In A.
— Carleson (1966): per ogni f ∈ L2 (0, 2π), Sf converge ad f in quasi tutti i punti.
— Hunt (1967): per ogni p > 1, per ogni f ∈ Lp (0, 2π), Sf converge ad f in quasi tutti i
punti.
Alla luce di queste patologie sembra prudente distinguere la funzione di partenza f dalla sua
serie di Fourier Sf , e pensare che questi due oggetti coincidono solo sotto opportune ipotesi (ad
6
Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
esempio quelle del Teorema 1.3 di convergenza). Naturalmente per poter scrivere i coeﬃcienti
di Fourier occorre un minimo di regolarità; ma ne basta poca: f ∈ L1 (−π, π) è suﬃciente.
(vi) Non tutte le serie trigonometriche convergenti sono serie di Fourier di una qualche fun
zione periodica: ad esempio si può dimostrare che questo è il caso per la serie ∞
k=2 (sin kx)/ log k.
Esercizi.
— Data una qualsiasi funzione f : R → C continua e periodica di periodo 2π, ed un
qualsiasi x0 ∈ R, si dica se i coeﬃcienti di Fourier di f possono essere scritti nella seguente
forma:
t x0 +π
ak =
f (x) cos kx dx
per k = 0, 1, 2, ...
π x0 −π
(1.12)
1 x0 +π
f (x) sin kx dx
per k = 1, 2, ...
bk =
π x0 −π
— Sia f : R → C una funzione periodica di periodo 2π e si assuma che la sua serie di
Fourier esista e converga uniformemente su tutto R. Si può concludere che la serie di Fourier
converge a f ?
— Si dica se le seguenti funzioni R → C ammettono sviluppo di Fourier, e nel caso lo si
calcoli:
(i) f1 (x) = sin 2x
(ii) f2 (x) = i sin x/3
(iii) f3 (x) = cos x + i sin x/3
√
(iv) f4 (x) = cos 2x − i sin x
(v) f4 (x) = sin x cos x
(vi) f5 (x) = 1/(tan x) (x = kπ, k ∈ Z).
— Sotto quali condizioni l’estensione periodica di una funzione f : [a, b[→ C di classe C 1 è
di classe C 1 ?
— L’estensione periodica della funzione f : [−1, 1[→ C : x → x2 è di classe C 0 ? È di classe
C 1?
— Sia f una funzione f : R → C periodica di periodo 2π continua, e siano {ak } e {bk } i
suoi coeﬃcienti di Fourier nella rappresentazione trigonometrica reale. Si veriﬁchi che
a2h = b2h = 0
∀k ∈ N (ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine dispari)
se e solo se f (x) = −f (x + π) per ogni x ∈ R. Si veriﬁchi anche che
a2h+1 = b2h+1 = 0
∀h ∈ N (ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine pari)
se e solo se f è anche periodica di periodo π.
1.4
Funzioni Pari e Dispari
In questo paragrafo trattiamo degli aspetti essenzialmente algoritmici; supponiamo quindi che
la funzione f sia cosı̀ regolare da garantire che f = Sf . Ad esempio f ∈ C 1 (R) può bastare,
grazie al Teorema 1.3 di convergenza. Pertanto assumiamo che f sia una funzione R → C
periodica di periodo 2π e di classe C 1 .
Serie di Fourier
Si dice che
7
f è pari
⇔
∀x ∈ R,
f (−x) = f (x)
(1.13)
f è dispari
⇔
f (−x) = −f (x)
∀x ∈ R.
Se f è deﬁnita in un sottoinsieme di R simmetrico rispetto all’origine, queste deﬁnizioni si
estendono in modo ovvio.
Il prodotto di due funzioni pari o di due funzioni dispari è pari, mentre il prodotto di una
funzioni pari ed una dispari è dispari. Questo può forse spiegare queste denominazioni. Si noti
anche che la funzione potenza x → tn è pari se n è pari, mentre è dispari se n è dispari. Il
coseno è pari, seno e tangente sono sono dispari.
Ogni funzione f : R → C può essere decomposta nella somma di una funzione pari ed una
dispari:
fp (x) :=
f (x) + f (−x)
2
f (x) − f (−x)
fd (x) :=
2
(pari)
⇒
f (x) = fp (x) + fd (x) ∀x ∈ R.
⇔
fd ≡ 0 (fp ≡ 0, risp.).5
(1.14)
(dispari)
Si noti che
f è pari (dispari, risp.)
Poiché il coseno è pari ed il seno è dispari, si ha
∞
a0 ak cos kx,
+
fp (x) =
2
k=1
fd (x) =
∞
bk sin kx
∀x ∈ R;
k=1
queste sono dette rispettivamente serie di coseni e serie di seni. Quindi
f pari
f dispari
⇔
⇔
f (x) = fp (x) =
f (x) = fd (x) =
∞
a0 +
ak cos kx ∀x ∈ R,
2
k=1
∞
(1.15)
bk sin kx ∀x ∈ R.
k=1
Inoltre
f pari
⇔
2π
ak =
f (x) cos kx dx,
π 0
bk = 0
∀k,
(1.16)
2π
f dispari
⇔ ak = 0, bk =
f (x) sin kx dx
∀k.
π 0
Per veriﬁcare la prima di queste ultime due aﬀermazioni basta notare che i rispettivi integrandi
sono pari, e quindi i corrispondenti integrali estesi a [0, π] sono uguali alla metà degli integrali
su [−π, π].
Esempio 1. Si consideri la funzione [−π, π[→ R : x → x, e sia f la sua estensione periodica
(con periodo 2π) a tutto R. La funzione f è dispari, quindi si può rappresentare come serie di
soli seni: essendo
2
2π
2
bk =
x sin kx dx = − cos kπ = (−1)k+1
π 0
k
k
5
f ≡ 0 signiﬁca che f è identicamente nulla, ovvero f (x) = 0 per ogni x.
per k = 1, 2...,
8
Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
si ottiene
Sf (x) =
∞
2
2
(−1)k+1 sin kx = 2 sin x − sin 2x + sin 3x + ...
k
3
k=1
∀x ∈] − π, π[.
Per applicare il Teorema 1.3 di convergenza occorre ora valutare la regolarità della funzione:
si veriﬁca facilmente che sia f che f sono continue a tratti, ed f è ha dei salti solo in kπ con
k ∈ Z. Quindi
f (x) = Sf (x)
∀x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z},
f (x) = 0
∀x ∈ {kπ : k ∈ Z}.
f è continua in ogni intervallo [a, b] ⊂] − π, π[, ma non in tutto [−π, π]; pertanto la serie di
Fourier Sf converge uniformemente a f in ogni intervallo [a, b] ⊂] − π, π[, ma non in tutto
[−π, π].
Esempio 2. Sia g l’estensione periodica della funzione [−π, π[→ R : x → |x|. Questa funzione
è pari, quindi può essere rappresentata mediante una serie di soli coseni: essendo
2
ak =
π

π



π
0
per k = 0
per k = pari = 0
x cos kx dx = ... =  0


−4/(πk 2 ) per k = dispari,
si perviene a
Sg (x) =
=
∞
4
1
π
−
cos(2k + 1)x
2 π k=0 (2k + 1)2
4
1
1
π
cos x − 2 cos 3x + 2 cos 5x + ...
−
2 π
3
5
(1.17)
∀x ∈] − π, π[.
Si veriﬁca facilmente che f è continua su tutto R e f è continua a tratti. Per il Teorema
1.3 quindi f (x) = Sf (x) per ogni x ∈ R, e Sf converge uniformemente in tutto R.
In particolare per x = π si ottiene una rappresentazione di π 2 :
∞
π 4
1
,
+
2 π k=1 (2k + 1)2
π=
ovvero
∞
π2
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + ....
=
2
8
3
5
k=1 (2k + 1)
Esempio 3. Sia h(x) := tan x per ogni x = π/2 + kπ con k ∈ Z. Questa funzione non è
continua a tratti, quindi non possiamo applicare i risultati precedenti.
* Osservazione. Le funzioni f e g dei due esempi precedenti coincidono in [0, π[, ed in questo
intervallo si possono rappresentare sia come serie di seni che come serie di coseni.
Questo non contraddice la (1.15), poiché questa doppia rappresentazione vale solo su una
parte dell’insieme di deﬁnizione delle funzioni f e g. D’altra parte i coeﬃcienti della serie di
Fourier, in quanto integrali, dipendono dal comportamento della funzione in tutto l’intervallo
[−π, π[. È quindi naturale che due funzioni che coincidono solo in parte dell’insieme di deﬁnizione
abbiano due diverse rappresentazioni in serie di Fourier.
Sia ora f : R → R (si noti: a valori reali) periodica di periodo 2π. Si ponga ρ0 := a0 /2,
θ0 = 0, e per ogni k ∈ N siano ρk e θk ∈ [0, 2π[ tali che
ρk :=
a2k + b2k ,
e, se ρk > 0,
cos θk =
ak
bk
, sin θk = −
ρk
ρk
∀k ∈ N \ {0};
(1.18)
Serie di Fourier
9
si noti che i θk sono univocamente determinati se ρk > 0. Si può allora riscrivere la serie (1.2)
nella forma equivalente
Sf =
∞
∞
a0 +
(ak cos kx + bk sin kx) =
ρk cos(kx + θk )
2
k=1
k=0
∀x ∈ R;
(1.19)
In teoria dei segnali i numeri ρk e θk sono rispettivamente detti ampiezza e fase della frequenza
k-esima del segnale f ; le corrispondenti successioni {ρk } e {θk } sono rispettivamente dette
spettro di ampiezza e spettro di fase. Poiché cos α = sin(α + π/2) per ogni α ∈ R, ponendo
θ̃k := θk + π/2 la (1.19) è anche equivalente a
Sf =
∞
∀x ∈ R.
ρk sin(kx + θ̃k )
(1.20)
k=0
2
Rappresentazione Complessa delle Serie di Fourier
La serie di Fourier
Sf,n (x) :=
∞
a0 (ak cos kx + bk sin kx)
+
2
k=1
∀x ∈ R
può essere espressa equivalentemente mediante esponenziali complessi, poiché grazie alla formula di Eulero
eikθ + e−ikθ
,
2
cos kθ =
Ponendo
c0 :=
a0
,
2
ck :=
si ha
sin kθ =
ak − ibk
,
2
eikθ − e−ikθ
2i
c−k :=
∀θ ∈ R.
ak + ibk
2
∀k ∈ N \ {0},
(2.1)
∞
a0 (ak cos kx + bk sin kx) =
ck eikx .
+
2
k=1
k∈Z
Sf (x) =
In questo caso le relazioni di ortogonalità (1.3), (1.4), (1.5) assumono la forma
π
−π
ikx −ix
e
e
dx =
0
se k = 2π
se k = ∀k, ∈ Z;
(1.12) e (2.1) allora forniscono
1 π
f (x)e−ikx dx
ck :=
2π −π
∀k ∈ Z.
(2.2)
Si noti che le formule (2.1) sono equivalenti a

 ak
= ck + c−k
per k = 0, 1, 2, ...
b
= i(ck − c−k )
per k = 1, 2, ....
k
[Es]
(2.3)
(In teoria dei segnali la successione doppia {ck } è detta lo spettro complesso del segnale f .)
10
Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
Valore Principale. Resta da deﬁnire la somma della serie doppia
ck eikx , scrittura questa
k∈Z
∞
che è da intendersi come equivalente a
ikx
ck e
. Vi sono due alternative:
k=−∞
ikx
ck e
k∈Z
oppure
= n→∞
lim
n
ikx
ck e
+ n→∞
lim
k=0
ck eikx = lim
n→∞
k∈Z
+∞
n
c−k e−ikx ,
(2.4)
k=1
ck eikx .
(2.5)
k=−n
Quest’ultima è la deﬁnizione corretta; èdetta somma della serie doppia nel senso del valore
principale, e la si indica anche con V.P.
ck eikx .
k∈Z
+∞
Si noti che la convergenza di due serie
αk e
k=0
V.P.
k∈Z
αk := n→∞
lim
+∞
α−k implica quella della serie
k=1
n
αk =
k=−n
+∞
αk +
k=0
+∞
α−k ,
k=1
ma non sempre vale il viceversa. Un semplice controesempio è fornito da αk := k, per ogni
k ∈ Z; infatti V.P.
k = 0, mentre
k∈Z
+∞
ke
k=0
+∞
(−k) divergono a +∞ e −∞ (rispettivamente),
k=1
e quindi la loro somma è rappresentata dalla forma indeterminata (+∞) + (−∞).
Nel seguito trattando di serie doppie le intenderemo sempre nel senso del valore principale,
ed ometteremo di scrivere “V.P.”. 6
È facile veriﬁcare che intendere la serie di Fourier in forma complessa
ck eikx nel senso
k∈Z
del valore principale equivale a scrivere la serie di Fourier in forma reale come
∞
(ak cos kx + bk sin kx)
∞
piuttosto che
k=1
ak cos kx +
k=1
∞
bk sin kx.
k=1
(Ovviamente è più restrittivo richiedere la convergenza di entrambe queste due ultime serie
piuttosto che quella della serie della somma.)
Funzioni Pari e Dispari. Denotando con c la funzione Z → C : k → ck e con iR l’insieme
dei numeri immaginari, abbiamo
f pari
f dispari
f (x) ∈ R ∀x
f (x) ∈ iR ∀x
⇔
⇔
⇔
⇔
c−k = ck
c−k = −ck
c−k = c∗k
ic−k = (ick )∗
∀k
∀k
∀k
∀k
∈ Z,
∈ Z,
[Es]
∈ Z,
∈ Z;
(2.6)
6
Una deﬁnizione analoga può essere introdotta a proposito degli integrali di funzioni limitate
+1 su insiemi
+∞
illimitati o di funzioni illimitate su insiemi limitati. Ad esempio gli integrali
x dx e
1/x dx non
−∞
−1
esistono, né come integrali di Riemann generalizzati né come integrali di Lebesgue. Tuttavia si defniscono gli
integrali nel senso del valor principale:
+∞
m
V.P.
x dx := lim
x dx (= 0),
−∞
+1
V.P.
−1
1
dx := lim
x
ε→0+
m→+∞
−ε
−1
−m
1
dx +
x
ε
1
1
dx
x
(= 0).
Serie di Fourier
11
ovvero, denotando con c la successione doppia Z → C : k → ck ,
⇔
⇔
⇔
⇔
f pari
f dispari
f (x) ∈ R ∀x
f (x) ∈ iR ∀x
c è pari,
c è dispari,
[Es]
Re(c) è pari, Im(c) è dispari,
Re(c) è dispari, Im(c) è pari.
(2.7)
Il passaggio dalla funzione f alle successioni dei coeﬃcienti di Fourier {(ak , bk )} o {ck }
è interpretato come un processo di analisi; l’operazione inversa che porta dai coeﬃcienti di
Fourier alla funzione f è interpretato come sintesi. I coeﬃcienti ck sono anche detto lo spettro
della funzione f (analogamente a quanto si vedrà per la trasformata di Fourier).
Rappresentazione Complessa Alternativa. In analogia con la (1.19), nel caso di una
funzione f a valori reali si noti che per ogni k ∈ Z, ck = rk eiϕk , per rk ≥ 0 e ϕk ∈ R opportuni.
Pertanto
ck eikx =
rk ei(kx+ϕk ) .
(2.8)
k∈Z
k∈Z
(1)
(4)
Osservazione. Disponiamo quindi di quattro rappresentazioni Sf , ..., Sf per lo sviluppo in
serie di Fourier di una funzione f periodica di periodo 2π:
(i) due rappresentazioni in forma trigonometrica per f : R → R:
(1)
Sf (x) :=
∞
a0 (ak cos kx + bk sin kx)
+
2
k=1
(2)
Sf (x) :=
∞
ρk cos(kx + θk )
(ak , bk ∈ R),
(ρk , θk ∈ R);
(2.9)
(2.10)
k=1
(ii) due rappresentazioni in forma esponenziale complessa per f : R → C:
(3)
Sf (x) :=
ck eikx ,
(ck ∈ C),
(2.11)
k∈Z
(4)
Sf (x) :=
rk ei(kx+ϕk )
(R )rk > 0, ϕk ∈ R.
(2.12)
k∈Z
Per alcuni scopi può essere utile usare la rappresentazione complessa anche per funzioni a
valori reali: i conti con gli esponenziali possono essere più agevoli che con le funzioni trigonometriche. Nulla poi vieta di scrivere la prima delle (2.9) anche per coeﬃcienti ak , bk ∈ C (per
la seconda ci sarebbe qualche diﬃcoltà per θk ∈ C), oppure di considerare (2.11) per ck ∈ R:
in generale in entrambi i casi si otterranno funzioni complesse.
Come abbiamo visto, questi sviluppi in serie sono equivalenti: si passa da uno all’altro
mediante semplici formule di trasformazione lineari dei coeﬃcienti di Fourier (siano essi reali o
complessi).
Sottolineamo che i coeﬃcienti ak , bk , ck degli sviluppi di Fourier (2.9) e (2.11) dipendono
linearmente dalla funzione f ; questo invece non vale per i coeﬃcienti ρk , θk , rk , ϕk delle rappresentazioni equivalenti (2.10) e (2.12), che infatti sono ricavati dagli ak , bk , ck mediante trasformazioni non lineari.
Esercizi.
12
Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
— Si sviluppino in serie di Fourier complessa le funzioni degli esempi del paragrafo 1.4.
— Si traducano le proprietà (2.6) in termini dei coeﬃcienti ρk e θk per le serie reali (1.19),
o dei coeﬃcienti rk e ϕk per le serie complesse (2.8).
— Sia f una funzione f : R → C periodica di periodo 2π continua, e siano {ck } i suoi
coeﬃcienti di Fourier nella rappresentazione esponenziale complessa. Si veriﬁchi che
∀k ∈ ζ
c2h = 0
(ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine dispari)
se e solo se f (x) = −f (x + π) per ogni x ∈ R. Si veriﬁchi anche che
∀h ∈ ζ
c2h+1 = 0
(ovvero Sf contiene solo le armoniche di ordine pari)
se e solo se f è anche periodica di periodo π.
2.1
Funzioni con Periodo Diverso da 2π
Se f è periodica di periodo T = 2π, allora f˜(y) := f (T y/2π) è una funzione periodica di periodo
2π. Partendo dallo sviluppo
Sf˜(y) =
∞
a0 (ak cos ky + bk sin ky)
+
2
k=1
∀y ∈ R,
mediante la traformazione di variabile y → x := T y/(2π) si ha
Sf (x) = Sf˜
con
ak =
∞
a0 2kπ
2kπ
2π
ak cos
x =
+
x + bk sin
x
T
2
T
T
k=1
∀x ∈ R,
2 T /2
1π ˜
2kπ
f (y) cos ky dy =
f (x) cos
x dx
π −π
T −T /2
T
per k = 1, 2, . . . ,
2 T /2
1π ˜
2kπ
f (y) sin ky dy =
f (x) sin
x dx
bk =
π −π
T −T /2
T
e la prima formula vale anche per a0 . Pertanto tutti i risultati precedenti si estendono facilmente
a Sf . Analogamente
Sf (x) = Sf˜
con
ck =
3
2π
ck e2πikx/T
x
T
k∈Z
∀x ∈ R,
1 π ˜
1 T /2
f (y)e−iky dy =
f (x)e−2πikx/T dx
2π −π
T −T /2
∀k ∈ Z.
(2.13)
* Il Punto di Vista dell’Analisi Funzionale
Secondo l’impostazione introdotta nel Cap. I le funzioni di energia ﬁnita sono considerate come
punti dello spazio di Hilbert L2 (−π, π), dotato della norma
f =
π
indotta dal prodotto scalare
(f, f˜) :=
−π
π
−π
|f (x)|2 dx
1/2
f (x)f˜(x)∗ dx
∀f ∈ L2 (−π, π),
∀f, f˜ ∈ L2 (−π, π).
Serie di Fourier
13
Teorema 3.1 Ogni funzione f ∈ L2 (−π, π) è sviluppabile in serie di Fourier. Più precisamente, deﬁniti i coeﬃcienti {ak }, {bk }, {ck } come in (1.12) e (2.13),
f (x) =
∞
a0 (ak cos kx + bk sin kx) =
ck eikx
+
2
k=1
k∈Z
q∀x ∈ R.
(3.1)
per n → +∞.
(3.2)
Inoltre la serie di Fourier converge in L2 (−π, π), ovvero
f (x) −
n
a0 (ak cos kx + bk sin kx) 2 → 0
−
L
2
k=1
k=n
f (x) −
ck eikx L2
k=−n
→0
Formule analoghe valgono per le rappresentazioni delle (??) e (??).
Teorema 3.2 (di Parseval) Siano f, f˜ ∈ L2 (−π, π), e siano (3.1) e
∞
ã0 f˜(x) =
+
(ãk cos kx + b̃k sin kx) =
c̃k eikx
2
k=1
k∈Z
q∀x ∈ R.
(3.3)
i rispettivi sviluppi in serie di Fourier. Allora
π
∞
π
f (x)f˜(x)∗ dx = a0 ã∗0 + π (ak ã∗k + bk b̃∗k ) = 2π
ck c̃∗k ;
2
−π
k=1
k∈Z
(3.4)
in particolare
π
−π
|f (x)|2 dx =
∞
π
|ck |2 (< +∞).
|a0 |2 + π (|ak |2 + |bk |2 ) = 2π
2
k=1
k∈Z
(3.5)
Dimostrazione. Per veriﬁcare la prima uguaglianza di (3.4), basta scrivere f (x)f˜(x)∗ in
termini dei coeﬃcienti di Fourier {ak } e {bk }, sviluppare il prodotto, quindi integrare ed usare
le proprietà di ortogonalità (1.3), (1.4), (1.5). [Es] Analogamente
π
−π
=
f (x)f˜(x)∗ dx =
k∈Z ∈Z
ck c̃∗
π
−π
π −π
k∈Z
ck eikx
c̃∗ e−ix dx
∈Z
ei(k−)x dx = (cf. (1.6)) 2π
k∈Z
ck c̃∗k = 2π
|ck |2 .
k∈Z
(Ancora una volta abbiamo scambiato le operazioni di serie e di integrale; questo risulta lecito
in L2 (−π, π)...) Inﬁne, ponendo f˜ = f in (3.4) si ottiene (3.5).
Quindi il passaggio da f ai suoi coeﬃcienti di Fourier {ck } trasforma funzioni di L2 (−π, π)
in successioni di 2 , e conserva norma e prodotto scalare (a meno di un fattore costante).
14
Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
Proposizione 3.3 Sia f ∈ L2 (−π, π) e sia (3.1) il suo sviluppo in serie di Fourier. Se f ∈
L2 (−π, π) allora
f (x) =
∞
k(−ak sin kx + bk cos kx) =
k=1
π
−π
|f (x)|2 dx = π
q∀x ∈ R.
(3.6)
|k 2 ck |2 (< +∞).
(3.7)
ikck eikx
k∈Z
∞
(|k 2 ak |2 + |k 2 bk |2 ) = 2π
k=1
k∈Z
Analogamente, per ogni intero n ≥ 1, se f, ..., f
f (n) (x) = ... =
(n)
∈ L (−π, π) allora
2
(ik)n ck eikx
7
q∀x ∈ R,
(3.8)
|k|≥n
π
−π
|f (n) (x)|2 dx = π
∞
(|k n ak |2 + |k n bk |2 ) = 2π
|k n ck |2 (< +∞).
(3.9)
|k|≥n
k=n
Osservazioni. (i) La convergenza delle serie in (3.5) ha una notevole conseguenza. Se f ∈
L2 (−π, π) allora
ak → 0, bk → 0, ck → 0
per k → +∞.
(3.10)
Analogamente, se f ∈ L2 (−π, π) allora per la (3.7)
kak → 0,
kbk → 0,
kck → 0
per k → +∞,
(3.11)
ovvero i coeﬃcienti di Fourier si annullano più rapidamente all’inﬁnito.
Grazie alla (3.9), si può ripetere questo ragionamento per le derivate successive (se esistono):
per ogni intero n ≥ 1
f, ..., f (n) ∈ L2 (−π, π)
⇒
k n ak → 0,
k n ck → 0
k n bk → 0,
per k → +∞.
Quindi: quanto più la funzione f è regolare, tanto più rapidamente i suoi coeﬃcienti di
Fourier si annullano all’inﬁnito.
(ii) La condizione f ∈ L2 (−π, π) può essere interpretata come una proprietà di regolarità
per la funzione f : ad esempio si può dimostrare che essa implica la continuità di f . 8 Se poi
f è derivabile e f ∈ L2 (−π, π), allora f è continua e quindi f è di classe C 1 . Più in generale,
per ogni intero n ≥ 1 (ancora supponendo l’esistenza delle derivate)
f, ..., f (n) ∈ L2 (−π, π)
⇒
f ∈ C n−1 ([−π, π]).
D’altra parte, è noto che ogni funzione continua è limitata in ogni insieme chiuso e limitato,
quindi essa è di quadrato integrabile in [−π, π]; pertanto per ogni intero n
f ∈ C n ([−π, π])
⇒
f, ..., f (n) ∈ L2 (−π, π).
∞
Omettiamo la formula della derivata n-esima della serie Sf (x) = a20 + k=1 (ak cos kx + bk sin kx) perché
richiederebbe una distinzione dei diversi
valori di n, in quanto la derivazione trasforma seni in coseni e viceversa.
È invece molto agevole derivare la serie |k|≥n ikck eikx , poiché la derivata di un esponenziale è un esponenziale:
questo è uno dei vari vantaggi oﬀerti dalla rappresentazione complessa.
8
Non dimostriamo questa aﬀermazione, che comunque non dovrebbe apparire troppo sorprendente: se f è
discontinua in un punto allora f contiene una massa di Dirac in quel punto, quindi f ∈ L2 .
7
Serie di Fourier
15
Possiamo quindi concludere che la quadrato-integrabilità delle derivate è un indice di regolarità
delle funzioni. Si può anche notare che non c’è perfetta corrispondenza tra la continuità di f e
la sommabilità di f e f .
(iii) Combinando le due ultime osservazioni, possiamo concludere che quanto più f è regolare, tanto più rapidamente i coeﬃcienti di Fourier {ak }, {bk }, {ck } si annullano per k → ∞.
* Gli Spazi C k e H k . È noto che la derivabilità di una funzione è rappresentativa della sua
regolarità; nell’ambito della teoria classica questo conduce alla deﬁnizione degli spazi C k delle
funzioni continue dotate di derivate continue ﬁno all’ordine k (con k ∈ N). Analogamente nella
teoria più moderna si deﬁnisce la classe H k delle funzioni di quadrato integrabile dotate di
derivate (nel senso delle distribuzioni) di quadrato integrabile ﬁno all’ordine k (in particolare
H̃ 0 = L2 ):
C k (R) = {f : R → C : f, f , ..., f (k) ∈ C 0 (R)},
H k (R) = {f : R → C : f, f , ..., f (k) ∈ L2 (R)};
e per un qualsiasi intervallo [a, b]:
C k ([a, b]) = {f : [a, b] → C : f, f , ..., f (k) ∈ C 0 ([a, b])},
H k (a, b) = {f : [a, b] → C : f, f , ..., f (k) ∈ L2 (a, b)}.
(Per i motivi già visti per L2 , si usa scrivere H k (a, b) invece di H k ([a, b]).)
I C k ([a, b]) sono spazi normati dotati della norma
f C k ([a,b]) :=
k
n=0
max |f (n) (x)|
∀f ∈ C k ([a, b]);
x∈[a,b]
lo stesso però non si può dire per C 0 (R) (perché?).
Gli H k (a, b) sono spazi lineari dotati del prodotto scalare
(f, f˜)H k (a,b) :=
k b
f (n) (x) f˜(n) (x)∗ dx
n=0 a
∀f, f˜ ∈ H k (a, b),
e quindi anche della norma
f H k (a,b)
1/2
:= (f, f˜)H k (a,b) =
k b
n=0 a
|f
(n)
2
(x)| dx
1/2
∀f ∈ H k (a, b).
Gli spazi classici C k e gli spazi di Sobolev H k . sono strumenti fondamentali dell’analisi
moderna delle serie di Fourier e di altri settori dell’analisi matematica.