Metodi Matematici per TLC - A. Visintin
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Metodi Matematici per l’Analisi dei Segnali
(Note del Corso di Metodi Matematici per TLC, a.a. 2005-06)
A. Visintin
Queste note riguardano solo alcuni argomenti del corso, e non li svolgono in modo esauriente.
Una trattazione completa può essere trovata nei testi indicati più avanti.
Il simbolo ∗ all’inizio di un paragrafo, di una frase o di un teorema indica dei complementi o
delle osservazioni avanzate. Gli esercizi meno semplici sono pure contrassegnati da un asterisco.
Il simbolo [Es] segue le affermazioni la cui giustificazione è espressamente proposta al lettore
come esercizio. La fine di una dimostrazione, di una osservazione, o altro sono indicate col
simbolo .
Programma del corso
I corsi di “Metodi” tradizionalmente riguardano, tra l’altro, le trasformate di Fourier, di
Laplace, e Zeta, che formano la base del linguaggio e dell’apparato deduttivo della teoria dei
segnali. La loro trattazione richiede alcuni strumenti analitici, in particolare rudimenti di
analisi complessa (serie di Laurent, teorema dei residui, ecc.). A questi si aggiungono elementi
d integrazione e di distribuzioni, e nozioni più elementari, quali serie di potenze e di Fourier.
1. Elementi di analisi complessa.
Derivazione in senso complesso. Integrazione complessa, teorema e formula di Cauchy.
Funzioni analitiche. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione delle singolarità. Teorema dei
residui.
2. Successioni di funzioni e serie di potenze.
Successioni di funzioni e loro convergenza. Serie di potenze in campo complesso. Cerchio
di convergenza.
3. Integrazione.
Classi numeriche fondamentali. Integrazione. Spazi Lp . Convoluzione.
4. Distribuzioni.
Funzioni test. Distribuzioni. Derivazione nel senso delle distribuzioni.
5. Serie di Fourier.
Funzioni periodiche. Serie di Fourier in forma trigonometrica ed in forma esponenziale.
Principali proprietà. Identificazione dei coefficienti. Rappresentazioni reale e complessa delle
serie di Fourier. Teorema di Parseval.
6. Trasformazione di Fourier.
Trasformazione di Fourier in L1 , in L2 , e per funzioni impulsive. Principali proprietà. Inversione della trasformazione di Fourier. Applicazione alla risoluzione di equazioni differenziali
su tutto R.
7. Trasformazione di Laplace.
Funzioni trasformabili, semipiano di convergenza, definizione della trasformazione di Laplace.
Principali proprietà. Teoremi del valore iniziale e del valore finale. Inversione della trasformazione di Laplace. Applicazione alla risoluzione di problemi ai valori iniziali per equazioni
differenziali. Confronto con la trasformazione di Fourier.
8. Trasformazione Zeta.
Successioni trasformabili, raggio di convergenza, definizione della trasformazione Zeta. Confronto con la trasformazione di Laplace. Principali proprietà. Teoremi del valore iniziale e del
valore finale. Inversione della trasformazione Zeta. Applicazione alla risoluzione di problemi ai
valori iniziali per equazioni alle differenze. Confronto con la trasformazione di Laplace.
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Testi Consigliati
Gli argomenti dei capitoli 2 e 3 possono esser reperiti su quasi tutti i testi dei corsi
tradizionali di analisi matematica. Per la parte restante si potranno consultare le seguenti
opere:
G.C. Barozzi: Matematica per l’ingegneria dell’informazione. Zanichelli, Bologna.
M. Codegone: Metodi matematici per l’ingegneria. Zanichelli, Bologna.
G. Gilardi: Analisi tre. McGraw-Hill Italia, Milano.
M. Marini: Metodi matematici per lo studio delle reti elettriche. CEDAM, Padova.
C. Minnaja: Metodi matematici per l’ingegneria (2 volumi). Libreria Progetto, Padova.
Il testo di Marini è particolarmente raccomandato per la trasformazione di Laplace (pp.
1-40, 56-74) e per la trasformazione Zeta (pp. 169-200, 204-216).
Quello di Codegone è il più elementare, mentre quello di Gilardi è il più avanzato.
Prerequisiti Analisi Matematica I, Analisi Matematica II, Algebra e Geometria.
