Esercizi per casa n. 5 Geometria 2 - Docente

Esercizi per casa n. 5
Geometria 2 - Docente: Stefano Montaldo
Oltre agli esercizi sui coni e cilindri svolti nel
testo Esercizi di Geometria di Sanini, fate i seguenti esercizi di cui parte sono una traduzione di quelli
proposti nel testo di Vaisman.
(1) Date le rette
(
2x + y + z = 1
rk =
x + 2y = −1
(
−2x − z + 1 = 0
rk0 =
3x + y + z = 0
• Trovare l’equazione cartesiana della
sfera S passante per l’origine e centro
nel punto di intersezione tra r e r0 .
• Scrivere l’equazione cartesiana del cono
tangente alla sfera S con vertice in V =
(2, −1, 1).
• Determinare l’equazione parametrica di
una direttrice L del cono che appartenga
alla sfera S.
• Scrivere l’equazione parametrica e cartesiana del cilindro con direttrice r e
generatrici parallele alla retta r0 .
• Scrivere l’equazione del cilindro con direttrice L e generatrici parallele alla
retta r.
(2) Dato l’ellissoide Ell x2 + y 2 + 4z 2 = 1
• Scrivere l’equazione del cono con vertice nell’origine e direttrice L data come
intersezione di Ell con il piano z = k.
• Scrivere l’equazione del cono con vertice
V = (2, 0, 0) e direttrice L data come
intersezione di Ell con il piano x = k.
• Scrivere l’equazione del cilindro con
generatrici parallele a k e tangenti
all’ellissoide.
2
2
(3) Trovare due punti P e Q dell’ellisse x36 + y9 =
1 tali che assieme a A = (6, 0) formino un
triangolo equilatero.
(4) Sia ∆ un rettangolo con vertici nell’ellisse
2
x2
+ y24 = 1 e con due lati perpendicolari
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all’asse delle ascisse e passanti per i fuochi.
Calcolare l’area di ∆.
(5) Gli estremi A, B di un segmento rettilineo di
lunghezza ` si muovono lungo gli assi coordinati. Determinare il luogo geometrico dei
punti M del segmento tali che
d(A, M )
=k∈R
d(B, M )
(6) Trovare l’equazione canonica dell’iperbole
con asintoti y = (±1/2)x e passante per
√
P = (12, 3).
(7) Siano F1 e d1 un fuoco e una direttrice di
un’iperbole e sia r un suo asintoto. Se F1 P ⊥
r, P ∈ r, dimostrare che P ∈ d1 .
(8) Sia P un punto vincolato a muoversi lungo
una circonferenza centrata nell’origine e raggio R. Sia M un punto del segmento OP le
cui coordinate dividono quelle di P in segmenti di rapporto λ ∈ R. Determinare il
luogo geometrico individuato da M .
(9) Trovare il luogo geometrico descritto dai centri di tutte le circonferenze tangenti a due
date circonferenze.
(10) Scrivere l’equazione canonica di un’iperbole
per la quale il punto P = (16/5, 12/5) è
l’itersezione di un asintoto con una direttrice.
(11) Calcolare la lunghezza dei lati di un triangolo equilatero i cui vertici appartengono alla
parabola y 2 − 2px = 0.
(12) Dimostrare che le ellissi ottenute intersecan2
2
2
do l’ellissoide xa2 + yb2 + zc2 = 1 con i piani x =
k = costante hanno la stessa eccentricità.
(13) Mostrare che il piano 2x + 3y − 6z − 6 = 0
2
2
interseca l’iperboloide x9 + y4 − z 2 = 1 lungo
due rette.
(14) Determinare il fuoco della parabola ottenuta
2
2
come intersezione del paraboloide x16 − y4 = z
con il piano y = 2.