Esercizi su cilindri, coni e coniche Geometria 2

Esercizi su cilindri, coni e coniche
Geometria 2 - Docente: Stefano Montaldo
Oltre agli esercizi sui coni e cilindri svolti nel testo Esercizi di Geometria di Sanini, fare i seguenti esercizi di
cui parte sono una traduzione di quelli proposti nel testo di Vaisman.
(1) Date le rette
(
(
2x + y + z = 1
−2x − z + 1 = 0
, r0 =
r=
x + 2y = −1
3x + y + z = 0
• Trovare l’equazione cartesiana della sfera S passante per l’origine e centro nel punto di intersezione
tra r e r0 .
• Scrivere l’equazione cartesiana del cono tangente alla sfera S con vertice in V = (2, −1, 1).
• Determinare l’equazione parametrica di una direttrice L del cono che appartenga alla sfera S.
• Scrivere l’equazione parametrica e cartesiana del cilindro con direttrice r e generatrici parallele alla
retta r0 .
• Scrivere l’equazione del cilindro con direttrice L e generatrici parallele alla retta r.
(2) Dato l’ellissoide Ell x2 + y 2 + 4z 2 = 1
• Scrivere l’equazione del cono con vertice nell’origine e direttrice L data come intersezione di Ell
con il piano z = k.
• Scrivere l’equazione del cono con vertice V = (2, 0, 0) e direttrice L data come intersezione di Ell
con il piano x = k.
• Scrivere l’equazione del cilindro con generatrici parallele a k e tangenti all’ellissoide.
(3) Trovare due punti P e Q dell’ellisse
x2
36
+
y2
9
= 1 tali che assieme a A = (6, 0) formino un triangolo
equilatero.
(4) Sia ∆ un rettangolo con vertici nell’ellisse
x2
49
2
+ y24 = 1 e con due lati perpendicolari all’asse delle ascisse
e passanti per i fuochi. Calcolare l’area di ∆.
(5) Gli estremi A, B di un segmento rettilineo di lunghezza ` si muovono lungo gli assi coordinati. Determinare il luogo geometrico dei punti M del segmento tali che
d(A, M )
=k∈R
d(B, M )
√
(6) Trovare l’equazione canonica dell’iperbole con asintoti y = (±1/2)x e passante per P = (12, 3).
(7) Siano F1 e d1 un fuoco e una direttrice di un’iperbole e sia r un suo asintoto. Se F1 P ⊥ r, P ∈ r,
dimostrare che P ∈ d1 .
(8) Sia P un punto vincolato a muoversi lungo una circonferenza centrata nell’origine e raggio R. Sia
M un punto del segmento OP le cui coordinate dividono quelle di P in segmenti di rapporto λ ∈ R.
Determinare il luogo geometrico individuato da M .
(9) Trovare il luogo geometrico descritto dai centri di tutte le circonferenze tangenti a due date circonferenze.
(10) Scrivere l’equazione canonica di un’iperbole per la quale il punto P = (16/5, 12/5) è l’itersezione di un
asintoto con una direttrice.
(11) Calcolare la lunghezza dei lati di un triangolo equilatero i cui vertici appartengono alla parabola y 2 −
2px = 0.
(12) Dimostrare che le ellissi ottenute intersecando l’ellissoide
hanno la stessa eccentricità.
x2
a2
+
y2
b2
+
(13) Mostrare che il piano 2x + 3y − 6z − 6 = 0 interseca l’iperboloide
z2
c2
x2
9
= 1 con i piani x = k = costante
+
y2
4
− z 2 = 1 lungo due rette.
(14) Determinare il fuoco della parabola ottenuta come intersezione del paraboloide
y = 2.
x2
16
2
− y4 = z con il piano