Capitolo 6. I poligoni

Capitolo 6. I poligoni
(Ob. 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15)
6.1 Aspetti generali (vertici, lati, diagonali, convessità, angoli, perimetro)
6.2 I triangoli
6.3 I quadrilateri
6.4 I poligoni regolari
6.5 Le altezze
6.6 Le aree
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
6.1 Aspetti generali
Un poligono è la parte di piano delimitata da una poligonale (inclusa la
poligonale stessa).
Vertici consecutivi: ad es. A e B.
Lati consecutivi: ad es. AB e BC .
Qual è il lato opposto ad AB?
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6.1 Aspetti generali
Attività. Discriminare poligoni da non poligoni e imparare i loro nomi.
I
Suddividere la classe in coppie;
I
materiale: modelli di figure geometriche (cartoncino o compensato o
...), un sacchetto che le contenga tutte, rappresentazione e nome
delle stesse figure su un cartellone;
svolgimento: in ogni coppia l’alunno A chiede all’alunno B di pescare
dal sacchetto (utilizzando il tatto, senza guardare) una certa figura e
di stabilire se è o non è un poligono. Poi si scambiano i ruoli.
I
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6.1 Aspetti generali
Attività. Immaginare e rappresentare poligoni, fare valutazioni
dimensionali e di strategia.
I
Suddividere la classe in coppie;
I
materiale: carta punteggiata o geopiano;
I
svolgimento: l’alunno A della coppia traccia un lato di un triangolo.
L’alunno B traccia un altro lato e cosı̀ via. L’alunno che chiude un
triangolo, tracciando l’ultimo lato, lo contrassegna con il proprio
colore/simbolo e ha diritto al turno successivo. Vince chi ha chiuso
più triangoli.
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6.1 Aspetti generali
Varianti.
I
cambiare il poligono di riferimento
I
chiedere che i poligoni abbiano tutti la stessa forma e la stessa area
I
...
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6.1 Aspetti generali
Attività. Riconoscere triangoli, quadrilteri, pentagoni, esagoni, ecc. e
descriverli.
È utile perché fa notare che non esistono soltanto i poligoni con il nome,
che non tutti gli esagoni sono regolari,...
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6.1 Aspetti generali
Criterio di costruibilità
Righello alla mano, rappresentiamo poligoni di lati:
(a) 5 cm, 5 cm, 7 cm;
(b) 7 cm, 2 cm, 15 cm;
(c) 5 cm, 7 cm, 2 cm;
(d) 7 cm, 7 cm, 5 cm, 5 cm;
(e) ...
A scuola possiamo utilizzare cannucce di lunghezza opportuna.
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6.1 Aspetti generali
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6.1 Aspetti generali
Criterio di costruibilità. In un poligono la lunghezza di ogni lato deve
essere minore della somma delle misure degli altri lati.
Basta controllare se il lato maggiore è minore della somma degli altri lati.
(a) 5 cm, 5 cm, 7 cm; 7 < 5 + 5 → costruibile
(b) 7 cm, 2 cm, 15 cm; 15 > 2 + 7 → non costruibile
(c) 5 cm, 7 cm, 2 cm; 7 = 2 + 5 → non costruibile (caso degenere)
(d) 7 cm, 7 cm, 5 cm, 5 cm; 7 < 5 + 7 + 7 → costruibile
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6.1 Aspetti generali
Assegnate le misure dei lati (e supponendo che rispettino il criterio di
costruibilità), il poligono risulta univocamente determinato?
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6.1 Aspetti generali
Numero di diagonali
Da che cosa dipende il numero di diagonali che un poligono possiede?
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6.1 Aspetti generali
Consideriamo un pentagono, ma pensiamo a un poligono di n lati
(generalizzazione).
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice A.
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6.1 Aspetti generali
Le diagonali tracciate da A sono 2, perché i vertici sono 5 ma 3 sono
vietati: A stesso, e i due consecutivi (B ed E ).
Quindi da un vertice (di un poligono di n vertici) si tracciano n − 3
diagonali.
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice B (sempre n − 3).
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice C (sempre n − 3, anche
se una l’abbiamo già tracciata).
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice D (sempre n − 3, anche
se le avevamo già tracciate entrambe).
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice E (sempre n − 3, anche
se le abbiamo già tracciate entrambe).
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6.1 Aspetti generali
Abbiamo tracciato 5 × (5 − 3) diagonali, ma sono doppie. Quindi il
numero di diagonali è 5×(5−3)
.
2
Generalizzando: num. diagonali di un poligono di n vertici =
n(n−3)
.
2
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6.1 Aspetti generali
Quante diagonali ha un poligono di 25 lati?
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6.1 Aspetti generali
Attività. Invece che proporre questa dimostrazione, possiamo chiedere
(facendo provare):
I
Quante strette di mano in un gruppo di 3 persone che devono
presentarsi?
I
Quante strette di mano in un gruppo di 4 persone che devono
presentarsi?
I
Quante strette di mano in un gruppo di 5 persone che devono
presentarsi?
I
...
E se le persone sono disposte a cerchio e già si prendono per mano
(ognuno conosce i suoi due vicini)?
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6.1 Aspetti generali
Strette di mano primo caso:
n(n−1)
2
Strette di mano secondo caso
n(n−3)
2
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6.1 Aspetti generali
Convessità
Un poligono è convesso se comunque presi due punti che gli
appartengono il segmento che li congiunge è interamente contenuto in un
poligono (scegliamo di utilizzare questa definizione, che è attribuibile, più
in generale, a una figura convessa).
Poligono convesso: AB è interamente contenuto nel poligono, comunque
vengano scelti due suoi punti A e B.
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6.1 Aspetti generali
Viceversa, se esiste un segmento i cui estremi appartengono al poligono,
ma che non è interamente contenuto in esso, allora tale poligono è detto
concavo.
Poligono concavo: AB non è interamente contenuto nel poligono, avendo
scelto opportunamente due suoi punti A e B.
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6.1 Aspetti generali
Proprietà 1. Se un poligono è convesso, allora comunque si scelga una
retta contenente un lato, essa lascia il poligono tutto nello stesso
semipiano.
Il poligono appartiene tutto al semipiano 1. Lo stesso sarebbe scegliendo
un altro lato.
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6.1 Aspetti generali
Se un poligono è concavo, esiste una retta contenente un lato che
“taglia” il poligono.
Il poligono giace per una parte nel semipiano 1 e per una parte nel
semipiano 2.
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6.1 Aspetti generali
Proprietà 2. Se un poligono è convesso, allora tutti i suoi angoli interni
sono convessi.
Tutti gli angoli interni sono convessi.
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6.1 Aspetti generali
Se un poligono è concavo, allora ha almeno un angolo interno concavo.
L’angolo interno AB̂C è concavo (è maggiore di un angolo piatto e
diverso dall’angolo giro).
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6.1 Aspetti generali
Attività. Proposta didattica sui poligoni convessi e concavi.
RoboTino e i poligoni convessi
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6.1 Aspetti generali
Attività. Quali tra le seguenti figure sono convesse (una figura è
convessa se contiene tutti i segmenti che hanno gli estremi nella figura
stessa)?
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6.1 Aspetti generali
Angoli interni
Come si definisce un angolo interno?
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6.1 Aspetti generali
Angoli interni
Ci riferiamo a poligoni convessi.
Un angolo interno (o semplicemente angolo) è un angolo delimitato da
due lati consecutivi del poligono, che contiene il poligono stesso.
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6.1 Aspetti generali
Attività. Possiamo rappresentare sul pavimento una sagoma di un
poligono ed evidenziare un angolo interno.
Chiediamo ai bambini di collocarsi:
I nell’angolo;
I nell’angolo e fuori dal poligono;
I nel poligono e fuori dall’angolo (?)
(Un poligono convesso è l’intersezione dei suoi angoli interni)
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6.1 Aspetti generali
Un angolo è adiacente a un lato se è delimitato da quel lato.
L’angolo (interno) AB̂C è adiacente ai lati AB e BC .
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6.1 Aspetti generali
Somma degli angoli interni
Quanto vale la somma Si degli angoli interni di un poligono? Da che
cosa dipende?
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6.1 Aspetti generali
Iniziamo con il triangolo. Ritagliamo un triangolo qualsiasi.
Si
(triangolo)
= 180◦
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6.1 Aspetti generali
Quello che abbiamo osservato è un Teorema.
Si dimostra tramite il Teorema delle rette parallele tagliate da una
trasversale.
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6.1 Aspetti generali
Utilizziamo questo fatto per dedurre la somma degli angoli interni di tutti
poligoni, suddividendoli in triangoli.
Consideriamo un pentagono, pensando poi alla generalizzazione per un
poligono di n vertici.
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le diagonali uscenti da un vertice. Abbiamo suddiviso il
poligono in 3 triangoli.
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6.1 Aspetti generali
Le diagonali uscenti da un vertice sono n − 3, i triangoli n − 2.
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6.1 Aspetti generali
La somma degli angoli interni di tutti i triangoli, coincide con la somma
degli angoli interni del poligono.
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6.1 Aspetti generali
Questa somma è
Si
(poligono n vertici)
= (n − 2) · 180◦
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6.1 Aspetti generali
Angoli esterni
Un angolo esterno è un angolo individuato da un lato del poligono e dal
prolungamento di un suo consecutivo.
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6.1 Aspetti generali
L’angolo esterno è l’angolo del cambiamento di direzione.
Attività. Si può disegnare per terra un poligono e chiedere a un alunno
di camminare sulla poligonale, sempre nello stesso verso, con le braccia
tese in avanti. Ogni volta che raggiungerà un vertice, dovrà tenere un
braccio fisso, che ricorda la direzione del lato appena percorso, e ruotare
l’altro braccio in modo da allinearsi al lato successivo. Con il suo
movimento avrà indicato un angolo esterno del poligono.
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6.1 Aspetti generali
Attività. Classificare poligoni secondo vari criteri.
Esempi.
I Tra i poligoni rappresentati, quali hanno almeno un angolo (interno)
retto?
I Quali hanno una coppia di lati paralleli?
I Quali sono convessi?
I Quali hanno una coppia di lati perpendicolari?
I Quali sono privi di diagonali?
I ...