Analisi delle reti in corrente alternata (AC)

CAPITOLO 4 – Analisi delle reti in corrente alternata (AC)
Paragrafo 4.1: Elementi per l’accumulo di energia
Problema 4.1
Soluzione:
Quantità note:
Valore dell’induttanza, L=0,5 H; la corrente che attraversa l’induttore, in funzione del tempo.
Determinare:
la tensione ai capi dell’induttore, (Eq. 4.9), in funzione del tempo.
Ipotesi:
Analisi:
dalla relazione differenziale dell’induttore, possiamo ottenere la tensione derivando l’espressione
della corrente rispetto al tempo:
Problema 4.2
Soluzione:
Quantità note:
Valore della capacità, C=100 µF; tensione ai morsetti del condensatore in funzione del tempo.
Determinare:
la corrente che attraversa il condensatore in funzione del tempo
Ipotesi:
Il condensatore è inizialmente scarico:
Analisi:
dalla relazione differenziale del condensatore, (Eq. 4.4) e derivando l’espressione della tensione
rispetto al tempo, possiamo ottenere la corrente:
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© 2013 – ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 4.3
Soluzione:
Quantità note:
Valore dell’induttanza, L=250 mH; la corrente che attraversa l’induttore in funzione del tempo.
Determinare:
la tensione ai capi dell’induttore in funzione del tempo
Ipotesi:
Analisi:
dalla relazione differenziale dell’induttore, (Eq. 4.9), possiamo ottenere la tensione derivando
rispetto al tempo l’espressione della corrente:
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Problema 4.4
Soluzione:
Quantità note:
Valore dell’induttanza; valore della resistenza; la corrente che attraversa il circuito in funzione del
tempo.
Determinare:
l’energia immagazzinata nell’induttore in funzione del tempo.
Analisi:
l’energia magnetica immagazzinata in un induttore può essere determinata da, (Eq. 4.16):
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Problema 4.5
Soluzione:
Quantità note:
Valore dell’induttanza; valore della resistenza; la corrente che attraversa il circuito in funzione del
tempo.
Determinare:
l’energia fornita dalla sorgente in funzione del tempo.
Analisi:
l’energia fornita dalla sorgente è la somma dell’energia assorbita dalla resistenza e dell’energia
immagazzinata dall’induttore:
Problema 4.6
Soluzione:
Quantità note:
Valore dell’induttanza; valore della resistenza; la corrente che attraversa il circuito in funzione del
tempo.
Determinare:
L’energia immagazzinata nell’induttore e l’energia fornita dalla sorgente in funzione del tempo.
Analisi:
l’energia magnetica immagazzinata dall’induttore può essere determinata da (Eq. 4.16):
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L’energia fornita dalla sorgente è la somma dell’energia assorbita dalla resistenza e dell’energia
immagazzinata dall’induttore:
Problema 4.7
Soluzione:
Quantità note:
Valore della capacità; valore della resistenza; la tensione applicata al circuito in funzione del tempo.
Determinare:
l’energia immagazzinata nel condensatore in funzione del tempo.
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Analisi:
l’energia immagazzinata in un condensatore può essere determinata da:
Problema 4.8
Soluzione:
Quantità note:
Valore della capacità; valore della resistenza; la tensione applicata al circuito in funzione del tempo.
Determinare:
l’energia fornita dalla sorgente in funzione del tempo.
Analisi:
l’energia fornita dalla sorgente è la somma dell’energia assorbita dalla resistenza e dell’energia
immagazzinata nel condensatore:
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Problema 4.9
Soluzione:
Quantità note:
Valore della capacità; valore della resistenza; la tensione applicata al circuito in funzione del tempo.
Determinare:
l’energia immagazzinata nel condensatore e l’energia fornita dalla sorgente in funzione del tempo.
Analisi:
L’energia immagazzinata in un condensatore può essere determinata da:
L’energia fornita dalla sorgente è somma dell’energia assorbita dalla resistenza e dell’energia
immagazzinata nel condensatore:
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Problema 4.10
Soluzione:
Quantità note:
Valori di capacità; resistenza ed induttanza; la sorgente di corrente iA= 6A applicata al circuito.
Determinare:
l’energia immagazzinata in ciascun condensatore ed induttore.
Analisi:
In condizioni stazionarie, tutte le correnti sono costanti, nessuna corrente può fluire attraverso i
condensatori e la tensione ai capi di ciascun induttore è uguale a zero.
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Problema 4.11
Soluzione:
Quantità note:
Valori di capacità; resistenza ed induttanza; la tensione applicata al circuito vA= 12V.
Determinare:
l’energia immagazzinata in ciascun condensatore ed induttore.
Analisi:
In condizioni stazionarie, tutte le correnti sono costanti, nessuna corrente può fluire attraverso i
condensatori e la tensione ai capi di ciascun induttore è uguale a zero.
Per la maglia (a):
Per la maglia (b):
Per la maglia (c):
Risolvendo il sistema
Quindi:
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Problema 4.12
Soluzione:
Quantità note:
Valore di capacità C= 80 µF; la tensione applicata al condensatore in funzione del tempo
Determinare:
la corrente che attraversa il condensatore in funzione del tempo.
Analisi:
Poiché la forma d’onda della tensione è continua a tratti, bisogna valutarne la derivata su ciascun
intervallo in cui essa è continua.
Per
Dove
Per
Per
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Un condensatore è costruito con due piatti conduttivi separati da un dielettrico costante. I dielettrici
sono anche isolatori; di conseguenza, una corrente non può realmente fluire attraverso un
condensatore. Tuttavia, la carica positiva entrante in un piatto esercita su di esso un’azione
repulsiva forzando i portatori di carica positiva ad uscire dall’altro piatto. Sembra che quindi la
corrente fluisca attraverso il condensatore. Tali correnti sono definite correnti di spostamento
elettrico.
Problema 4.13
Soluzione:
Quantità note:
Valore di induttanza L= 35 mH; la tensione applicata all’induttore, le condizioni iniziali per la
corrente iL(0) =0
Determinare:
la corrente che attraversa l’induttore in funzione del tempo.
Analisi:
Poiché la forma d’onda della tensione è continua a tratti, l’integrale va calcolato su ciascun
intervallo di tempo in cui la funzione è continua. Ove non indicato, si suppone che il tempo t sia
espresso in secondi.
Per
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Dove:
Per
Per
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Problema 4.14
Soluzione:
Quantità note:
Valore di induttanza L= 0,75 mH; la tensione applicata all’induttore in funzione del tempo.
Determinare:
la corrente che attraversa l’induttore nell’istante di tempo t = 15 μs.
Ipotesi:
Analisi:
Poiché la forma d’onda della tensione è una funzione del tempo continua a tratti, l’integrale va
calcolato su ciascun intervallo di tempo in cui la funzione è continua. Ove non indicato, si suppone
che il tempo t sia espresso in secondi.
Per
Dove
Per
Quindi:
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Problema 4.15
Soluzione:
Quantità note:
Valore della capacità C= 680 nF; la tensione periodica applicata al condensatore vpicco= 20V,
T=40µs.
Determinare:
la forma d’onda ed la rappresentazione grafica della corrente che attraversa il condensatore, in
funzione del tempo.
Analisi:
Poiché la forma d’onda della tensione non è una funzione continua nel tempo, il calcolo della
derivata può essere eseguito soltanto su ciascun intervallo di tempo in cui la funzione è continua.
Nei punti di discontinuità la derivata della tensione sarà uguale ad infinito e sarà affetta da segno
dipendente da quello dello step d’integrazione. Ove non indicato, si suppone che il tempo t sia
espresso in secondi.
,….il comportamento del condensatore sarà identico,
Per ciascun periodo
ragion per cui consideriamo solo il primo periodo
Per
Dove:
Per
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La figura P 4.15 mostra la forma d’onda di corrente.
Nota. Per incrementi istantanei della tensione ai capi del condensatore negli istanti
,…la
carica sui piatti del condensatore dovrebbe azzerarsi istantaneamente. Ciò richiede una corrente
infinita, condizione fisicamente impossibile.
Se la forma d’onda fosse reale, la pendenza negli instanti di tempo
avrebbe valore
finito, non infinito. Questo comporterebbe uno spike di corrente notevole e di segno negativo su un
periodo di tempo finito anziché uno spike infinito su un tempo nullo. Questi ampi spike di corrente
(o tensione) degradano le performance di molti circuiti.
Problema 4.16
Soluzione:
Quantità note:
Valore di induttanza L= 16 µH; la tensione applicata all’induttore in funzione del tempo, le
condizioni iniziali per la corrente iL(0)=0.
Determinare:
la corrente che attraversa l’induttore nell’istante di tempo t = 30 μs.
Analisi:
Poiché la forma d’onda della tensione è continua a tratti, il calcolo dell’integrale va eseguito su
ciascun intervallo di tempo in cui la funzione è continua. Ove non indicato, si suppone che il tempo
t sia espresso in secondi.
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Problema 4.17
Soluzione:
Quantità note:
Valore di resistenza R= 7 Ω; valore dell’induttanza L= 7 mH; valore della capacità C=0,5 µF, la
tensione applicata ai capi dei componenti.
Determinare:
la corrente che attraversa ciascun componente.
Ipotesi:
Analisi:
Poiché la forma d’onda della tensione è continua a tratti, il calcolo dell’integrale e della derivata
può essere eseguito soltanto su ciascun intervallo di tempo in cui la funzione è continua. Ove non
indicato, si suppone che il tempo t sia espresso in secondi.
Per
Per
Dove:
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Per
Per
Per
Per
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Problema 4.18
Soluzione:
Quantità note:
La tensione ai capi del condensatore e la corrente che lo attraversa
Determinare:
la capacità del condensatore
Analisi:
Considerato il periodo:
Sostituendo:
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Problema 4.19
Soluzione:
Quantità note:
La tensione ai capi dell’induttore ideale e la corrente che lo attraversa
Determinare:
l’induttanza dell’induttore
Analisi:
, poiché la corrente ha una forma d’onda lineare.
Sostituendo:
Problema 4.20
Soluzione:
Quantità note:
La tensione ai capi del condensatore ideale e la corrente che lo attraversa
Determinare:
la capacità del condensatore
Analisi:
Considerando il periodo:
, poiché la tensione ha una forma d’onda lineare
Sostituendo:
Problema 4.21
Soluzione:
Quantità note:
La tensione ai capi del condensatore ideale e la corrente che lo attraversa
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Determinare:
La capacità del condensatore
Analisi:
Considerando il periodo:
, poiché la tensione ha una forma d’onda lineare
Sostituendo:
Paragrafo 4.2: Segnali dipendenti dal tempo
Problema 4.22
Soluzione:
Quantità note:
Il segnale
.
Determinare:
il valore efficace del segnale
Analisi:
Il valore efficace del segnale è:
Nota: l’integrale di una sinusoide su un numero intero di periodi è identicamente nullo. Questo è un
risultato utile e importante.
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Problema 4.23
Soluzione:
Quantità note:
La tensione sinusoidale
Determinare:
il valore medio ed il valore efficace della tensione
Analisi:
Il valore efficace di una sinusoide è uguale a 0,707 volte l’ampiezza:
Il valor medio è:
Il valore efficace è:
Problema 4.24
Soluzione:
Quantità note:
La tensione sinusoidale v(t) di 110 Veff
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Determinare:
l’angolo θ a cui corrisponde una potenza erogata al carico resistivo pari esattamente alla metà della
totale potenza disponibile nella forma d’onda.
Analisi:
Da
otteniamo:
Problema 4.25
Soluzione:
Quantità note:
Il segnale v(t) .
Determinare:
Il rapporto tra valor medio e valore efficace del segnale.
Analisi:
Il valor medio è:
Il valore efficace è:
Quindi
Problema 4.26
Soluzione:
Quantità note:
Il segnale i(t) .
Determinare:
la potenza dissipata dal resistore di 1 Ω.
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Analisi:
Il valore efficace è
Quindi la potenza dissipata dal resistore di 1 Ω è:
Problema 4.27
Soluzione:
Quantità note:
Il segnale x(t) .
Determinare:
il valor medo ed il valore efficace del segnale
Analisi:
Il valor medio è
Dove t0 corrisponde al lato sinistro dell’impulso.
Il valore efficace è:
Quindi
Problema 4.28
Soluzione:
Quantità note:
Il segnale i(t) .
Determinare:
Il valore efficace del segnale.
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Analisi:
Il valore efficace è:
Problema 4.29
Soluzione:
Quantità note:
Il segnale v(t) .
Determinare:
il valore efficace del segnale.
Analisi:
Il valore efficace è:
Note:
1. T = periodo in unità di tempo e ωt periodo in unità angolari, per esempio, 2π radianti. Il fatto
di considerare ωt come un’unica variabile è utile nel caso in cui si tratti di sinusoidi.
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2. Il fatto che l’integrale di una sinusoide valutato su uno o più periodi sia uguale a zero è
molto utile.
Paragrafo 4.4 Soluzione fasoriale di circuiti con eccitazione sinusoidale
Problema 4.30
Soluzione:
Quantità note:
La corrente che fluisce attraverso un componente e la tensione ai suoi capi.
Determinare:
a. Se il componente è un resistore, un condensatore o un induttore;
b. Il valore del componente in ohm, farad o henry.
Analisi:
a. La corrente e la tensione possono essere espresse in forma fasoriale:
Il fatto che l’impedenza abbia una componente immaginaria o reattiva positiva ed un angolo
positivo di 90 gradi, indica che questo componente è un induttore (vedi Fig. 4.39).
b.
Problema 4.31
Soluzione:
Quantità note:
La forma d’onda di un segnale.
Determinare:
La descrizione sinusoidale del segnale
Analisi:
Dal grafico di Fig. P4.31
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Forma fasoriale:
Problema 4.32
Soluzione:
Quantità note:
La forma d’onda di un segnale.
Determinare:
La descrizione sinusoidale del segnale
Analisi:
Dal grafico:
Forma fasoriale:
Problema 4.33
Soluzione:
Quantità note:
La forma d’onda di un segnale.
Determinare:
La descrizione sinusoidale del segnale
Analisi:
Dal grafico:
Forma fasoriale:
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Problema 4.34
Soluzione:
Quantità note:
La
corrente
che
fluisce
attraverso
e
il
componente
la
tensione
ai
suoi
capi
.
Determinare:
a. Se il componente è un’induttanza o una capacità;
b. La forma d’onda della potenza istantanea p(t) in funzione di ωt nel range
c. La potenza media dissipata sotto forma di calore nel componente;
d. Quanto richiesto in b. e c. ma con la fase della corrente uguale a zero.
;
Analisi:
a. Notazione fasoriale :
b.
c.
Se la tensione applicata e la corrente che fluisce attraverso un componente o circuito hanno uno
sfasamento mutuo di 90, la potenza dissipata è nulla.
d.
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Problema 4.35
Soluzione:
Quantità note:
I valori dell’impedenza
applicata al circuito,
e la tensione
.
Determinare:
L’impedenza equivalente del circuito.
Analisi:
Problema 4.36
Soluzione:
Quantità note:
I valori dell’impedenza
applicata al circuito,
e la tensione
.
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Determinare:
L’impedenza equivalente del circuito.
Analisi:
Problema 4.37
Soluzione:
Quantità note:
La corrente nel circuito
capacità presente nel circuito
, ed il valore della
.
Determinare:
a. La notazione fasoriale per il generatore di corrente;
b. L’impedenza del condensatore;
c. La tensione ai capi del condensatore, mostrando tutti i passaggi ed adottando soltanto la
notazione fasoriale
Analisi:
a. Notazione fasoriale:
b.
c.
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Si noti che in qualsiasi momento si può effettuare una conversione da notazione fasoriale a
notazione nel dominio del tempo o viceversa.
Problema 4.38
Soluzione:
Quantità note:
I
valori
delle
due
correnti
nel
circuito
,
.
Determinare:
La corrente i3(t)
Analisi:
Una soluzione ottenuta mediante le identità trigonometriche è possibile ma inefficace, scomoda e
richiede molto tempo. Meglio con i fasori! Si noti che una corrente è espressa tramite la fuzione
seno e l’altra tramite la funzione coseno. La cosa non è rilevante, ma è bene adottare una sola
funzione ed utilizzare sempre quella. Quindi, prima si converte tutto in termini di coseno:
KCL:
Se si adottassero le funzioni seno, il risultato secondo la notazione fasoriale differirebbe per la fase,
di un angolo di 90 gradi.
Problema 4.39
Soluzione:
Quantità note:
I valori dell’ impedenza
applicate al circuito,
e le tensioni
.
Determinare:
La corrente che attraversa Z3.
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Analisi:
Si noti anche che:
Problema 4.40
Soluzione:
Quantità note:
I valori dell’ impedenza
.
Determinare:
La frequenza tale che la corrente Ii e la tensione V0sono in fase.
Analisi:
ZS non influisce sula soluzione. Soltanto r, L e C determineranno se la tensioni ai capi
dell’impedenza da esse costituita è in fase con la corrente che l’attraversa. Se la tensione e la
corrente sono in fase, allora l’impedenza equivalente deve avere una parte “immaginaria” o reattiva
uguale a zero!
Alla frequenza di risonanza la componente reattiva di questa impedenza deve essere zero.
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Note:
1. Per separare l’impedenza equivalente nelle componenti reale (resistiva) e immaginaria
(reattiva), bisogna razionalizzare il denominatore. Ciò è stato fatto moltiplicando numeratore
e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, e moltiplicando membro a
membro. Da ricordare che j2=-1, etc.
2. Il termine con R ha in questo caso un effetto trascurabile sulla frequenza di risonanza. Se
tuttavia R è sufficientemente grande essa influirà significativamente sul risultato.
Problema 4.41
Soluzione:
Quantità note:
I valori di impedenza
.
Determinare:
La frequenza per cui la corrente Ii e la tensione V0sono in fase.
Analisi:
Se la corrente e la tensione sono in fase, allora l’impedenza equivalente deve avere una parte
“immaginaria” o reattiva che vale zero!
Alla frequenza di risonanza la componente reattiva di questa impedenza deve essere uguale a zero:
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Problema 4.42
Soluzione:
Quantità note:
I valori dell’ impedenza
applicata al circuito,
e la tensione
.
Determinare:
La corrente erogata dal generatore.
Analisi:
Si assumano le correnti in senso orario:
Le impedenze equivalenti:
Nota:
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L’impedenza equivalente del parallelo è puramente resistiva; perciò la frequenza data è la frequenza
di risonanza di questa rete.
Problema 4.43
Soluzione:
Quantità note:
I valori di impedenza e di tensione applicata al circuito.
Determinare:
La corrente nel circuito.
Analisi:
Si assumano le correnti in senso orario:
Problema 4.44
Soluzione:
Quantità note:
I valori di impedenza ed il generatore di corrente.
Determinare:
La tensione.
Analisi:
Si assumano le correnti in senso orario:
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Problema 4.45
Soluzione:
Quantità note:
I valori di impedenza ed il generatore di corrente.
Determinare:
La corrente I1.
Analisi:
Specificando la direzione positiva delle correnti come in figura P4.45:
Problema 4.46
Soluzione:
Quantità note:
I valori di impedenza ed il generatore di tensione.
Determinare:
La tensione V2.
Analisi:
Specificando le direzioni positive come in figura P4.46:
Problema 4.47
Soluzione:
Quantità note:
I valori di impedenza ed il generatore di corrente.
Determinare:
Il valore di ω per il quale la corrente che attraversa il resistore è massima.
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Analisi:
Si assumano le correnti in senso orario:
Il valore massimo di IR lo si ottiene per ω=1, per cui
Problema 4.48
Soluzione:
Quantità note:
I valori di impedenza ed il generatore di corrente.
Determinare:
La corrente attraverso il resistore.
Analisi:
Specificando le direzioni positive come in figura P4.48:
Dal partitore di correnti:
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Problema 4.49
Soluzione:
Quantità note:
, ed il generatore di corrente
I valori di reattanza
.
Determinare:
La tensione vout.
Analisi:
Specificando le direzioni positive delle correnti come in figura P4.49:
Problema 4.50
Soluzione:
Quantità note:
I valori di resistenza
, capacità
induttanza
e la frequenza
.
Determinare:
La impedenza Z.
Analisi:
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Problema 4.51
Soluzione:
Quantità note:
I valori di resistenza
, capacità
induttanza
e la frequenza
.
Determinare:
L’ammettenza Y.
Analisi:
Paragrafo 4.5: Metodi di analisi dei circuiti AC
Problema 4.52
Soluzione:
Quantità note:
I valori di resistenza
, capacità
generatore di tensione
induttanza
.
Determinare:
La tensione ai capi del condensatore v.
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© 2013 – ISBN 978-88-386-66760-2
ed il
Analisi:
Problema 4.53
Soluzione:
Quantità note:
I valori di resistenza
, capacità
generatore di corrente
induttanza
.
Determinare:
La corrente che attraversa l’induttanza iL2.
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ed il
Analisi:
Problema 4.54
Soluzione:
Quantità note:
I valori di resistenza
ed induttanza
.
Determinare:
a. Il circuito equivalente di Thevenin se la tensione applicata al circuito è
b. Il circuito equivalente di Thevenin se la tensione applicata
al
circuito
.
Analisi:
a.
L’impedenza equivalente è:
La tensione del circuito equivalente di Thevenin è:
b.
L’impedenza equivalente è:
La tensione del circuito equivalente di Thevenin è:
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;
è
Problema 4.55
Soluzione:
Quantità note:
I valori dell’impedenza
, capacità
ed il generatore di tensione
.
Determinare:
L’equivalente di Thevenin del circuito visto dalla resistenza di carico RL
Analisi:
L’impedenza equivalente è:
La tensione di Thevenin è:
Problema 4.56
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
il generatore di tensione
, capacità
, induttanza
.
Determinare:
La corrente nel circuito iL(t).
Analisi:
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ed
Applicando la regola del partitore di tensione:
Quindi la corrente è:
Problema 4.57
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
generatore di tensione
, capacità
, induttanza
.
Determinare:
Le correnti nel circuito i1(t).ed i2(t).
Analisi:
Nel dominio dei fasori
Applicando la LKV nel primo loop, abbiamo:
Applicando la LKV nel primo loop, abbiamo:
Ossia:
Risolvendo le precedenti equazioni, abbiamo:
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ed il
Problema 4.58
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
ed il generatore di corrente
, capacità
, induttanza
.
Determinare:
Le tensioni nel circuito v1(t).ed v2(t).
Analisi:
Applicando la LKC al nodo 1, abbiamo:
Applicando la LKC al nodo 2, abbiamo:
Quindi:
Problema 4.59
Soluzione:
Quantità note:
Il circuito chiamato ponte di Wheatstone.
a. Lo stato d’equilibrio del ponte: vab=0.
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b. I valori di resistenza
, la capacità
, , l’induttanza
che sono necessarie per bilanciare il ponte : vab=0, e la tensione applicata al
ponte
.
Determinare:
a. La reattanza incognita X4 in termini di elementi circuitali.
b. Il valore della reattanza incognita X4.
c. La frequenza della sorgente che in questo circuito bisognerebbe evitare.
Analisi:
a. Assumendo che il circuito sia bilanciato, abbiamo vab=0, cioè va= vb.
Dal partitore di tensione:
Invertendo ambo i lati ed eguagliando le parti immaginarie:
b.
La reattanza negativa implica che il componente è un condensatore.
c. Se le reattanze di L3 e C3 si compensano, il ponte non può misurare X4. Quindi,la condizione
da evitare è:
Problema 4.60
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
generatore di tensione
, capacità
, induttanza
.
Determinare:
L’impedenza di Thevenin vista dal resistore R2.
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ed il
Analisi:
Problema 4.61
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
capacità
il generatore di corrente
.
, induttanza
ed
Determinare:
La tensione di Thevenin vista dall’induttanza L.
Analisi:
La tensione del generatore equivalente di Thevenin è la tensione a circuito aperto ai terminali del
carico:
Dal partitore di correnti abbiamo:
Problema 4.62
Soluzione:
Quantità note:
I
valori
tensione
di
impedenza
ed
il
generatore
.
Determinare:
Il circuito equivalente di Thevenin visto dai terminali a-b.
Analisi:
Il circuito equivalente di Thevenin è dato da:
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di
Problema 4.63
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
capacità
, induttanza
, ed il
generatore di tensione
Determinare:
La tensione equivalente di Thevenin vista dal resistore R2.
Analisi:
Il circuito equivalente di Thevenin è dato da:
Problema 4.64
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
capacità
, induttanza
generatore di tensione
Determinare:
Il circuito equivalente di Norton visto dal resistore R2.
Analisi:
Dal risultato del problema 4.54, abbiamo ZT= 2Ω. Dal partitore di corrente:
e
La corrente è:
Quindi:
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ed il
Problema 4.65
Soluzione:
Quantità note:
Il circuito.
Determinare:
Le equazioni richieste per determinare le correnti di maglia nel circuito in:
a. Forma integro- differenziale;
b. Forma fasoriale.
Analisi:
Nota: la tensione iniziale ai capi del condensatore deve, in generale, essere considerata. Essa è
modellata come un generatore ideale di tensione connesso in serie con un condensatore
Nota:
1. Le caratteristiche i-v dell’induttore e del condensatore, ossia l’integrale e la derivata, sono
stati qui sostituiti dall’impedenza;
2. L’equazione è applicabile in questa forma solo quando le forme d’onda di correnti e tensioni
sono sinusoidali.
Problema 4.66
Soluzione:
Quantità note:
Il circuito.
Determinare:
Le equazioni nodali richieste per determinare tutte le correnti e le tensioni nel circuito:
Analisi:
Problema 4.67
Quantità note:
Le
tensioni
ai
nodi
del
circuito
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ed
i
generatori
di
tensione
Determinare:
I nuovi valori di Vb e Vbc se il potenziale di terra viene spostato dal nodo e al nodo d.
Analisi:
Una tensione nodale è definita come la tensione fra un nodo ed il nodo di terra. Se si cambia il nodo
di terra, allora tutte le tensioni nodali del circuito cambieranno. Con il terreno nel nodo d :
Le tensioni fra ciascuna coppia di nodi in un circuito non dipendono da quale sia il nodo di terra;
dunque la tensione fra Nodo b e Nodo c rimane la stessa quando il potenziale di terra viene spostato
dal Nodo e al nodo d:
Problema 4.68
Soluzione:
Quantità note:
I valori della resistenza
capacità
induttanza
generatore di tensione
Determinare:
Il nuovo valore di V0.
Analisi:
Il circuito presenta tre correnti di maglia incognite ma soltanto una tensione nodale incognita.
Fasore di riferimento:
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ed il
Problema 4.69
Soluzione:
Quantità note:
Le
correnti
di
maglia
e
le
tensioni
nodali
dove
Determinare:
Uno dei seguenti: L1, C2, R3, L3.
Analisi:
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Paragrafo 4.7 Potenza nei circuiti AC
Problema 4.70
Soluione:
Quantità note:
Valore della resistenza, R= 30 Ω, e tensione sul ferro di saldatura,
Trovare:
La potenza dissipata nel ferro di saldatura
Analisi:
La potenza dissipata è:
Problema 4.71
Soluione:
Quantità note:
Potenza nominale, P= 1000 W, e tensione sull’elemento riscaldante
Trovare:
Resistenza dell’elemento riscaldante.
Analisi:
La potenza dissipata è:
Problema 4.72
Soluzione:
Quantità note:
Valore della resistenza,
R= 50 Ω del resistore.
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Trovare:
La potenza dissipata nel resistore se la sorgente di corrente connessa al resistore è :
Analisi:
La potenza media (o reale) può essere come:
Usando la tecnica dei fasori
La corrente istantanea può essere espressa come:
La potenza media è:
La tensione istantanea può essere espressa come:
Quindi la potenza media è:
Problema 4.73
Soluzione:
Quantità note:
I valori della corrente
Trovare:
Il valore efficace di ciascuna delle seguenti correnti :
Analisi:
La corrente in valore efficace può essere come:
Usando la tecnica dei fasori
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d. Usando la tecnica dei fasori
Problema 4.74
Soluzione:
Quantità note:
Valore efficace della corrente, 4 A, valore efficace della sorgente di tensione, 110 V, ritardo tra
corrente e tensione, 60°.
Trovare:
Potenza dissipata dal circuito e fattore di potenza.
Analisi:
La potenza media assorbita dal circuito è:
Il fattore di potenza è:
The power factor is:
________________________________________________________________________________
Problema 4.75
Soluzione:
Quantità note:
valore efficace della sorgente di tensione, 120 V, frequenza della sorgente, 60 Hz, potenza
assorbita, 1.2 kW, e fattore di potenza, 0.8.
Trovare:
a. Corrente in valore efficace.
b. Angolo di fase.
c. Impedenza.
d. Resistenza.
Analisi:
a. La potenza è espresso come:
Quindi la corrente in valore efficace è:
b. Il fattore di potenza è:
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Quinid, l’angolo θ è:
L’impedenza Z è:
La resistenza R è:
Problema 4.76
Soluzione:
Quantità note:
Valore efficace di tensione e corrente dell’alimentazione, 110 V and 14 A, potenza richiesta, 1 kW,
efficienza di macchina, 90% e fattore di potenza, 0.8.
Trovare:
Efficienza della macchina AC.
Analisi:
L’efficienza è:
Problema 4.77
Soluzione:
Quantità note:
Forma d’onda della sorgente di tensione.
Trovare:
a. La tensione DC che causerebbe lo stesso effetto di riscaldamento sulla resistenza.
b. La corrente media fornita ad un resistore da 10-Ω connesso alla sorgente di tensione.
c. La potenza media fornita ad un resistore di 1-Ω connesso alla sorgente di tensione.
Analisi:
a.
b.
c.
Paragrafo 4.7.3 Potenza complessa
Problema 4.78
Soluzione:
Quantità note:
Valori della tensione e della corrente.
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Trovare:
Potenza media, potenza reattiva e potenza complessa.
Analisi:
a.
b.
c.
d.
Problema 4.79
Soluzione:
Quantità note:
Valori della tensione e della corrente o dell’impedenza
Trovare:
Il fattore di potenza e stabilire se è in anticipo o in ritardo
Analisi:
Problema 4.80
Soluzione:
Quantità note:
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Il fattore di potenza dei valori di tensione e corrente
Trovare:
Tipologia del carico (induttivo o capacitivo).
Analisi:
a. capacitivo
b. capacitivo
c. Poiché
induttivo.
d. Poiché la differenza di fase è zero, resistivo.
Problema 4.81
Soluzione:
Quantità note:
Valori della resistenza
di tensione.
, della capacità
, dell’induttanza
e della sorgente
Trovare:
Potenza attiva e reattiva fornite dalle seguenti sorgenti.
Analisi:
Problema 4.82
Soluzione:
Quantità note:
Valori della resistenza
, delle reattanze
della sorgenti di
tensione
Trovare:
a. Corrente attiva e reattiva per ciascuna sorgente.
b. La totale potenza attiva
Analisi:
a. Dalla figura P7.13
Sostituendo i valori per le sorgenti di tensione:
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Risolvendo per I1 e I2
Quindi le correnti attive e reattive sono, per ciascuna sorgente:
Problema 4.83
Soluzione:
Quantità note:
Valori dei resistori
, del condensatore
tensione
e della frequenza,
Trovare:
a. Fattore di potenza della sorgente.
b. La corrente IS.
c. La potenza apparente assorbita dal carico.
d. La potenza apparente fornita dalla sorgente.
e. Fattore di potenza del carico.
Analisi:
, della sorgente di
.
Problema 4.84
Soluzione:
Quantità note:
Valori dei resistori
, dell’induttore
, della sorgente di
tensione
e della frequenza,
Trovare:
a. La potenza apparente fornita dalla sorgente.
b. La potenza apparente assorbita dal carico.
c. Fattore di potenza del carico.
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Analisi:
Problema 4.85
Soluzione:
Quantità note:
Valori dei resistori
del condensatore
, della sorgente di tensione
Trovare:
a. La potenza apparente assorbita dal carico.
b. La potenza reale fornita dalla sorgente
c. Fattore di potenza del carico.
Analisi:
, dell’induttore
e della frequenza,
.
Problema 4.86
Soluzione:
Quantità note:
Valori della resistenza
, del condensatore
, della sorgenti di tensione
Trovare:
Potenza apparente, attiva e reattiva; disegnare il diagramma delle potenze.
Analisi:
Per il triangolo delle potenze,
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.
Quindi il triangolo delle potenze può essere disegnato come:
Problema 4.87
Soluzione:
Quantità note:
Valori della resistenza
, del condensatore
, della sorgenti di
tensione
.
Trovare:
Potenza apparente, attiva e reattiva nel caso di f = 0Hz e f = 50 Hz.
Analisi:
Per la frequenza di 0 Hz:
Per la frequenza di 50 Hz:
Problema 4.88
Soluzione:
Quantità note:
Un motore monofase connesso ad una sorgente di 220V a 50 Hz, fattore di potenza pf = 1.0, I = 20
A, and I1 =
25 A.
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Trovare:
Condensatore richiesto per dare un fattore di potenza unitario quando connesso in parallelo al
carico.
Analisi:
L’ampiezza della corrente
è:
La sorgente di tensione può essere espressa come:
Quindi il condensatore richiesto è:
Problema 4.89
Soluzione:
Quantità note:
Correnti e tensioni richieste da un condizionatore, un frigorifero, un refrigeratore e i rispettivi fattori
di potenza.
Trovare:
Potenza richiesta da un generatore d’emergenza per alimentare tutte le utenze
Analisi:
In questo problema useremo le seguenti equazioni:
In this problem we will use the following equations:
Potenza attiva e reattiva assorbite dal condizionatore:
Potenza attiva e reattiva assorbite dal frigorifero:
Potenza attiva e reattiva assorbite dal refrigeratore:
Totale potenza attiva e reattiva:
Quindi devono essere fornite le seguenti potenze:
________________________________________________________________________________
Problema 4.90
Soluzione:
Quantità note:
Schema dell’alimentazione consistente di due stazioni di potenza monofase a 25 kV, l’assorbimento
in potenza del treno, l’alimentazione in DC per il funzionamento a bassa velocità, il fattore di
potenza medio nel funzionamento AC, la resistenza specifica equivalente della linea aerea e
resistenza trascurabile della rotaia.
Trovare:
a. Il circuito equivalente.
b. La corrente della locomotive in condizioni di caduta di tensione del 10%:
c. La potenza reattiva.
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d. La potenza attiva erogata, le perdite della linea aerea e la massima distanza tra due stazioni
alimentate in condizioni di caduta di tensione del 10% quando il treno si trova a metà percorso.
e. Perdite della linea aerea in condizioni di caduta di tensione del 10% quando il treno si trova a
metà percorso, assumendo pf = 1 (Il TGV francese è progettato con il sistema di compensazione
della potenza).
f. LA massima distanza tra due stazioni alimentate in condizioni di caduta di tensione del 10%
quando il treno si trova a metà percorso, assumendo il funzionamento DC (1.5 kV)ad un quarto
della potenza.
Analisi:
a. Il circuito equivalente è:
b. La corrente del locomotore per una caduta di tensione del 10% è:
c. La potenza reattiva è:
d. La potenza reale fornita è:
Le perdite nella linea aerea sono:
La massima distanza tra due stazioni è:
e. Le perdite nella linea aerea sono:
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La massima distanza tra due stazioni è:
Problema 4.91
Soluzione:
Quantità note:
Lampade da 140W alimentate da una sorgente di 120-V a 60-Hz, fattore di potenza 0.65,
fatturazione della sanzione, prezzi medi della fornitura e condensatori
Trovare:
Numero di giorni di funzionamento per il quale la sanzione copre il prezzo del condensatore per la
correzione del fattore di potenza.
Analisi:
Valore del condensatore per un pf = 0.85:
Quindi il numero di giorni di funzionamento per il quale la sanzione copre il prezzo del
condensatore è:
Problema 4.92
Soluzione:
Quantità note:
Riferito al problema 7.22 e corrente di rete decrescente col rifasamento.
Trovare:
a. Valore del condensatore per fattore di potenza unitario.
b. Massimo numero di lampade che può essere installato in aggiunta senza cambiare il cablaggio di
rete se si usa un condensatore locale di compensazione.
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Analisi:
a.
b. Corrente iniziale del cavo:
Corrente di una lampada per pf = 1:
Totale numero di lampade:
Quindi il numero di lampade supplementari è:
Problema 4.93
Soluzione:
Quantità note:
Tensioni e corrente fornite dalla sorgente:
Trovare:
a. Potenza fornita dalla sorgente che è dissipata come calore o lavoro dal carico.
b. Potenza immagazzianta nei componenti reattivi del carico.
c. Determinare se il carico è induttivo o capacitivo.
Analisi:
Il carico è induttivo.
Problema 4.94
Soluzione:
Quantità note:
Tensione fornita dall’impianto
, impedenza dell’impianto
e potenza dell’impianto
Trovare:
Determina il valore di C per il quale il fattore di potenza è unitario.
Analisi:
Nota: ZG influenza solo la differenza di fase tra VS e V0 e non quella tra V0 e Z.
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Per questo motivo il risultato non dipende da ZG.
Se IS e V0 sono in fase, hanno lo stesso angolo di fase. Perciò dev’essere:
Problema 4.95
Soluzione:
Quantità note:
Tensione fornita dall’impianto
dell’impianto
e impedenza
.
Trovare:
Determina il valore di C per il quale il fattore di potenza è corretto a 1.
Analysis:
Nota: ZG influenza solo la differenza di fase tra VS e V0 e non quella tra V0 e Z.
Per questo motivo il risultato non dipende da ZG.
Se IS e V0 sono in fase, hanno lo stesso angolo di fase. Perciò dev’essere:
Problema 4.96
Soluzione:
Quantità note:
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Tensione dell’impianto
, e corrente che lo attraversa senza il
condensatore in parallelo con l’impianto
, valore del condensatore in
parallelo
Trovare:
Riduzione della corrente risultante dalla connessione del condensatore.
Ipotesi:
L’impedenza dell’impianto è molto piccola
Analisi:
Senza condensatore:
Con condensatore, essendo
, né la tensione né la corrente dell’impianto cambiano:
Problema 4.97
Soluzione:
Quantità note:
e corrente che lo attraversa senza il
Tensione dell’impianto
condensatore in parallelo con l’impianto
parallelo
valore del condensatore in
.
Trovare:
Riduzione della corrente risultante dalla connessione del condensatore.
Ipotesi:
L’impedenza dell’impianto è molto piccola
Analisi:
Senza condensatore:
Con condensatore, essendo
.
, né la tensione né la corrente dell’impianto cambiano:
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Problema 4.98
Soluzione:
Quantità note:
Valori delle tensioni e delle impedenze.
Trovare:
Totale potenza media, potenza reattiva dissipata e potenza reattiva immagazzinata in ciascuna delle
impedenze.
Analisi:
Problema 4.99
Soluzione:
Quantità note:
Tensione e corrente fornite dalla sorgente,
.
Trovare:
a. Potenza fornita dalla sorgente e dissipata come calore o lavoro dal carico.
b. Potenza immagazzinata nei componenti reattivi del carico.
c. Determinare se il circuito è un carico induttivo o capacitivo
Analisi:
Il carico è capacitivo.
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Sezione 4.13: Trasformatori
Problema 4.100
Soluzione:
Quantità note:
Ciascun secondario connesso ad un carico resistive da 5 kW, il primario con tensione in valore
efficace di 120V.
Trovare:
a. Potenza del primario.
b. Corrente del primario.
Analisi:
Problema 4.101
Soluzione:
Quantità note:
Rapporto tra secondario e primario
Trovare:
.
Analisi:
Problema 4.102
Soluzione:
Quantità note:
Circuito e vg = 120 V rms.
Trovare:
a. Totale resistenza vista dalla sorgente di tensione.
b. Corrente del primario.
c. Potenza del primario.
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Analisi:
Dal circuito a destra:
Problema 4.103
Soluzione:
Quantità note:
Circuito e vg = 120 V rms.
Trovare:
a. La corrente del secondario
b. L’efficienza di installazione
c. Il valore della resistenza di carico che può assorbire la massima potenza dall’assegnata sorgente.
Analisi:
Dal circuito in figura:
c. Per il massimo trasferimento di potenza
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Problema 4.104
Soluzione:
Quantità note:
Tensione e potenza che deve fornire il trasformatore all’utente:
Trovare:
a. La corrente che il trasformatore eroga all’utente.
b. La massima potenza che l’utente può ricevere se il carico è puramente resistive.
c. La massima potenza che l’utente può ricevere se il fattore di potenza è 0.8, in ritardo.
d. La massima potenza che l’utente può ricevere se il fattore di potenza è 0.7, in ritardo.
e. Il minimo fattore di potenza per funzionare se l’utente richiede 300 kW.
Analisi:
a. Da
b. Per un trasformatore ideale:
Per
c. Per
d. Per
e. Per
massima potenza è
la massima potenza è
il minimo fattore di potenza è
Problema 4.105
Soluzione:
Quantità note:
La tensione
la resistenza in un circuito contenente un trasformatore e il
rapporto
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e – McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 – ISBN 978-88-386-66760-2
Trovare:
a. Corrente del primario
b.
c. Potenza del secondario.
d. Efficienza di installazione .
Analisi:
a. Il circuito primario è descritto in figura:
La corrente al primario è:
b. la tensione di uscita è:
c. Per la potenza del secondario, se
d. L’efficienza di installazione è:
Problema 4.106
Soluzione:
Quantità note:
Resistenze
Trovare:
Rapporto-spire che fornirà il Massimo trasferimento di potenza al carico.
Analisi:
Risulta :
Quindi la potenza è massimizzata se:
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Problema 4.107
Soluzione:
Quantità note:
Sorgente di tensione e resistenze nel circuito.
Trovare:
a. Massima potenza dissipata dal carico.
b. Massima potenza assorbita dalla sorgente.
c. Efficienza di installazione.
Analisi:
Tutte le impedenze sono resistenze e quindi è possibile considerare i moduli di tensioni e correnti.
a. Per massimizzare la potenza fornita al resistore di 8-Ω, si deve scegliere n per massimizzare
la corrente di carico
Nota che
LKT alla maglia 1
LKT alla maglia 2
Riarrangiando le due equazioni di maglia:
Per il valore massimo della corrente di carico
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La massima corrente di carico è:
La massima potenza dissipata dal carico è:
b. La massima potenza assorbita dalla sorgente è:
c. L’efficienza di installazione è:
Problema 4.108
Soluzione:
Quantità note:
Corrente e tensione fornite dal trasformatore, circuito del trasformatore.
Trovare:
Efficienza di installazione
Analisi:
Quindi l’efficienza di installazione è:
Problema 4.109
Soluzione:
Quantità note:
Modello per il circuito di un trasformatore e i risultati di due test realizzati a
1. Test a circuito aperto:
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2. Test in corto circuito:
Trovare:
Valore delle impedenze nel circuito equivalente
Analisi:
Il fattore di potenza durante il test a circuito aperto è:
L’ammettenza dell’eccitazione è data:
Il fattore di potenza durante il test in corto circuito è:
L’impedenza serie è data da:
Problema 4.110
Soluzione:
Quantità note:
Modello per il circuito di un trasformatore da 460 kVA e risultati dei due testi realizzati a
1. Test a circuito aperto:
2. Test in corto circuito:
Trovare:
Valore delle impedenze nel circuito equivalente
Analisi:
Il fattore di potenza durante il test a circuito aperto è:
L’ammettenza dell’eccitazione è data:
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Il fattore di potenza durante il test in corto circuito è:
L’impedenza ha parte immaginaria quasi nulla:
Problema 4.111
Soluzione:
Quantità note:
Circuito del trasformatore monofase con regolazione di alta tensione a 5 differenti porte
nell’avvolgimento primario, regolazione della tensione sul secondario nell’intervallo del 10% e
numero di spire dell’avvolgimento secondario.
Trovare:
Numero di spire per ciascuna porta
Analisi:
Le tensioni del secondario sono:
Quindi il numero di spire per ciascuna porta è:
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Problema 4.112
Soluzione:
Quantità note:
Resistenza del tubo = 0.0002 Ω, Resistenza del secondario = 0.00005 Ω, corrente al primario = 28.8
A e pf = 0.91.
Trovare:
a. Numero di plot
b. Reattanza del secondario
c. efficienza di installazione
Analisi:
a. La corrente al secondario è:
Quindi il numero di plot è:
b. La reattanza al secondario è:
c. Efficienza di installazione
Problema 4.113
Soluzione:
Quantità note:
Trasformatore monofase 6 kV/230 V, con efficienza 0.95, pf = 0.8 e potenza apparente al primario
di 30 KVA
Trovare:
a. Corrente al secondario.
b. Rapporto del trasformatore
Analisi:
a. Corrente al secondario:
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b. Corrente al primario
Quindi il rapporto del trasformatore è:
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