Espressioni e Equazioni - "Giancarlo Siani" Sant`Angelo a Cupolo

Espressioni ed Equazioni
Introduzione espressioni ed equazioni
Espressioni Algebriche ed Equazioni: è qui che comincia il tuo lavoro. Si sta per iniziare a lavorare con le
lettere dell'alfabeto, numeri e segni di operazioni. Da ora in poi, le lettere come x, y, z, a, b .. diventano
altrettanto comuni come i numeri 1, 2 e 3
Ma che significato assumono le lettere in algebra? Fino ad ora - in aritmetica - si lavorava con i numeri,
ogni numero corrisponde ad un determinato valore e significato. A 2 corrisponde sempre un 2 - non è
mai un 6 e non è mai un 10. E' così per tutti i numeri. In algebra usiamo ancora i numeri, ma abbiamo
anche bisogno di usare termini espressi in lettere. In algebra, per esempio, la lettera x, può corrispondere
ad infiniti valori diversi. Siamo in grado di porre x uguale a 2 in un problema, ma poi porlo uguale a 6 in
un altro. Le lettere in algebra definiscono una varietà infinita di combinazioni di valori. Le lettere in
algebra possono addirittura rappresentare altre lettere.
Confrontare queste due espressioni :
espressione aritmetica: 2 + 1
espressione algebrica: x + 1
L espressione aritmetica ci dice di aggiungere 1 al valore 2. L'espressione algebrica, però, ci dice di
aggiungere 1 a qualsiasi valore che scegliamo.
Quindi, se lasciamo che x = 2 nell espressione algebrica, diventa 2 + 1. Se poniamo x = 5, diventa uguale
a 5 + 1. Si può vedere che la versione algebrica è molto più flessibile rispetto alla versione aritmetica.
Definizioni
Un determinato valore numerico (come 2 , 4, -6, ¾) è chiamato costante.
Il valore è costante ... ossia immutabile (è sempre lo stesso).
Un termine algebrico (ad esempio x , y, a, b, e così via) è chiamato
variabile. Il valore può essere variato.
Quando costanti o variabili sono collegate da operazioni (come +, , x, o
÷) , si ha una espressione
Esempi di espressioni algebriche.
Espressione
x+2
y
5
5 y
Linguaggio
Naturale
Significato
Parti significative
x è una variabile
2 è una costante
+ segno di operazione
x più due
Aggiungi alla
variabile x la costante
2
y meno cinque
Sottrai alla variabile y
la costante 5
y è una variabile
5 è una costante
segno di operazione
Sottrai alla costante 5
la variabile y
y è una variabile
5 è una costante
segno di operazione
cinque meno y
Note
Questo è un esempio di una
espressione algebrica che
consiste di una variabile e
una costante.
due x
2x
due volte x
w
/4
4
/w
x+y
Moltiplica la costante
2 per la variabile x
Dividi la variabile w
con la costante 4
w è una variabile
4 è una costante
/ segno di operazione
4 diviso w
Dividi la costante 4
con la variabile w
w è una variabile
4 è una costante
/ segno di operazione
x più y
Aggiungi alla
variabile x la
variabile y
w diviso 4
x e y sono variabili
+ segno di operazione
Moltiplica y per 2, e
quindi sottrarre il
risultato da x
x meno due y
x - 2y
x è una variabile
2 è una costante
Nessun segno di
operazione (indica
moltiplicazione)
x meno due volte
y
Ricorda: nell ordine
di chiamata si
applicano le regole
delle espressioni
(prima le
moltiplicazioni e le
divisioni e poi .)
x e y sono variabili
2 è una costante
il "nessun segno" tra 2
e y indica (sottinteso) il
segno di
moltiplicazione
2x può anche essere indicato
con (2) ( x) o 2 · x.
La x segno di
moltiplicazione non deve
essere usato in espressioni
algebriche , perché è troppo
facilmente confusa con la
lettera variabile x.
Questo è un esempio di una
espressione algebrica che
consiste di due variabili e
nessuna costante.
Questo è un esempio di una
espressione algebrica che
consiste di due variabili e
una costante.
Definizione
Un equazione è una dichiarazione di parità
(uguaglianza) tra due espressioni. La stessa
equazione si compone di due insiemi di espressioni
algebriche separate da un segno di uguale
Lo scopo di un equazione è di esprimere la parità (ossia l uguaglianza) tra le due espressioni. E qual è la
vera differenza tra un'espressione algebrica e una equazioni algebrica ?
Semplice: Un'equazione include un segno di uguale (=) e l'espressione no. Un'espressione può
comprendere i segni di operazione, ma non un segno di uguale.
Nota: La principale differenza tra un'espressione e una equazione è la presenza di un segno di
uguale in uno di essi. Quale?
Esempi di equazioni algebriche
Equazione
Linguaggio Naturale
x+3=5
x - 12 = 16
x=y+2
x = 2y
x
/2 + 4 = 3y - 8
Significato
Parti significative
x più 3 uguale a 5
L espressione x +
3 è uguale al
valore costante 5
x è una variabile
3 e 5 sono costanti
+ segno di operazione
x meno 12 è uguale
a 16
L espressione x 12 è pari (uguale)
al valore costante
16
x è una variabile
12 e 16 sono costanti
segno di operazione
x è uguale a y più 2
La variabile x è
uguale alla
espressione y + 2
x è uguale a 2y
Il valore di x è il
doppio del valore
di y
x e y sono variabili
2 è una costante
Il segno (sottinteso) è
una moltiplicazione.
Il valore
dell espressione
x
/2+4 è uguale
all espressione
3y 8.
x e y sono variabili
2, 4, e 3 sono costanti
I segni delle
operazioni includono
divisione, addizione,
moltiplicazione e
sottrazione.
x diviso 2 più 4 è
uguale a 3 volte y
meno 8
x e y sono variabili
2 è una costante
+ segno di operazione
Note
Questo è un esempio
di una equazione che
ha due variabili, una
costante, e un segno di
operazione ..
Questo è un esempio
di una equazione che
ha due variabili, tre
costanti, e quattro
segni di operazioni.
Calcolo Espressione Algebrica
Un'espressione algebrica può essere calcolata da
Fase 1 : L'assegnazione di specifici valori numerici per tutte le variabili.
Passo 2: Completare tutte le operazioni
Esempio 1
Problema: calcolare l'espressione x + 4 quando x = 2
Procedura
1. Sostituire il valore dato di x nell'espressione.
2. Completare l'operazione.
Soluzione :
x+4=6
se x = 2.
x+4=2+4
2+4=6
Esempio 2
Problema: calcolare l'espressione 6 y quando y = 5
Procedura
1. Sostituire il valore dato di y nell'espressione.
6-y=6-5
2. Completare l'operazione.
Soluzione: 6
y=1
6-5=1
quando y = 5
PROVA TU ? sul quaderno
1.
..
Calcolare l'espressione : x - 5 quando x = 8
Fase 1: __________________________________________________________________
Fase 2: __________________________________________________________________
2.
Calcolare l'espressione : 2w + 11 quando w = 3
Fase 1: __________________________________________________________________
Fase 2:
________________________________________________________________________
3.
Calcolare l'espressione x/10 + 6 quando x = 20
Fase 1:
________________________________________________________________________
Fase 2:
________________________________________________________________________
Esercizi
1. Calcolare x + 4 quando x = 1.
2. Calcolare x
3. Calcolare 12
y quando y = 5.
4. Calcolare 3x + 1 se x = 3.
5. Calcolare k/4
1 se k = 12.
4 quando x = 12
Equazioni
Definizione
Un equazione è una dichiarazione matematica di uguaglianza
tra due espressioni.
Esempio: 2x + 3 = 11 è un'equazione
Nota
Un segno di uguale viene utilizzato
per indicare l'uguaglianza tra due
espressioni.
Risolvere equazioni nella forma a + b = c e a
Ecco un esempio di un'equazione nella forma a
b=c
b=c
x
2=8
La strategia per la soluzione di questa equazione è di fare tutto il necessario affinché la variabile x resta
da sola sul lato sinistro del segno di uguale. Ciò significa ELIMINARE il termine costante 2.
Ma come si fa a mandar via
2? Aggiungendo (addizionando) due:
2 va via, e la variabile x si trova da sola sul lato sinistro dell'equazione.
2 + 2 = 0. ... In questo modo il
A questo punto bisogna ricordare la regola principale dell algebra: QUALSIASI COSA VIENE
FATTA da un lato del segno di uguale deve essere fatto anche dall atro lato (PENSA AD UNA
BILANCIA A PIATTI IN EQUILIBRIO). In questo esempio, abbiamo aggiunto due al lato sinistro del
segno di uguale, quindi dobbiamo aggiungere 2 anche a destra del segno uguale.
x
2+2=8+2
Poi puliamo l'equazione andando alla ricerca dei termini simili in questo modo: come :
x
2+2=8+2
x + 0 = 10
Il risultato è x = 10
Esempio
y
5 = 12
y=?
Problema
Aggiungere 5 a entrambi i lati
dell equazione
Combina i termini
Risolvere y
y
5 = 12
5 + 5 = 12 + 5
y = 17
y = 17
Soluzione
Controllo (VERIFICA)
y 5 = 12
con y = 17
y 5 = 12
17 5 = 12
12 = 12
Ecco un esempio di un'equazione nella forma a + b = c
x+2=8
x+2 2=8 2
VERIFICATO
Ripulire l'equazione combinando i termini:
x+2 2=8 2
x+0=6
Il risultato è x = 6
Esempio
y + 5 = 12
y=?
Risolvi y + 5 = 12
Problema
Sottrarre 5 ad entrambi i lati
dell equazione
y + 5 5 = 12 5
Combina come termini
y=7
y=7
Soluzione
Controllo (VERIFICA)
y + 5 = 12
7 + 5 = 12
12 = 12
y 5 = 12
con y = 17
Risolvere equazioni nelle forme a
x=b
e
VERIFICATO
x/a=b
Ricordiamo che qualsiasi termine diviso per se stesso è pari a 1. Espresso in un'equazione, è costituito da:
un
/un = 1
Ricordiamo inoltre che ogni termine, moltiplicato per 1 è uguale a quel termine stesso. Espresso in
un'equazione:
a·1=a
La strategia per risolvere le equazioni nella forma a x = b usa
entrambe queste regole .
Ecco un esempio di un'equazione nella forma x / a = b
1. risolvere: x / 5 = 10
È necessario isolare la variabile x
Per annullare il denominatore 5, moltiplichiamo entrambi i lati (membri) per 5
Soluzione:
x / 5 = 10
5·(x / 5) = 10·( 5 )
x = 50
*************************************************************************************
Esempio di un'equazione nella forma a x = b
2. risolvere: 6 x = 36
È sempre necessario isolare la variabile x
Per annullare il fattore 6, dividiamo entrambi i lati (membri) per 6
Soluzione:
(6x) / 6 = 36 / 6
6·x = 36
x=6