Esercizio 1. Sia (X, Y ) una coppia di variabili aleatorie di densitá f(x

Esercizio 1. Sia (X, Y ) una coppia di variabili aleatorie di densitá
{
2
2
k x y e−x −y , se x ≥ 0 e y ≥ 0.
f (x, y) =
0,
altrimenti.
1. Determinare la costante k.
2. Le densitá marginali f (x.), f (.y).
3. Determinare
la legge (ovvero f.d.r e densitá di probabilitá) della v.a. Z =
√
X2 + Y 2
Soluzione
1. Si deve avere
∫ ∫
f (x, y) dxdy = 1
R2
e f é positiva ció impone che k ≥ 0 e
∫ ∞∫ ∞
[∫
2
2
1=k
x y e−x e−y dx dy = k
0
0
∞
] [∫
2
x e−x dx ×
0
ma
∫
∞
0
∞
y e−y dy
2
]
0
[ e−x ]∞
2
1
=
x e−x dx = −
2 0
2
2
da cui si trae k4 = 1, e k = 4.
2. Facilmente si ottengono le leggi marginali, infatti si ha
{
∫ ∞
2 ∫∞
2
2
4xe−x 0 ye−y dy = 2xe−x , se x ≥ 0
fX (x.) =
f (x, y)dy =
0,
se x < 0
0
allora X e Y ammettono la stessa legge (X 2 e Y 2 seguono leggi esponenziali). Poi
come : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = fX (x) · fY (y), le v.a. sono indipendenti.
3. Determinamo la legge di Z. Utilizzando le coordinate polari otteniamo che
Z(Ω) = R+ e FZ (z) = 0 se z ≤ 0 e per z ≥ 0
∫ ∫
FZ (z) =
f (x, y)dxdy
Dz
dove Dz = {(x, y) ∈
2
R+
|x2
2
+ y < z} e in coordinate polari
π
Dz = {(rcosθ, rsinθ)|0 ≤ r ≤ z; θ ∈ [0, [}
2
∫
z
∫
π
2
FZ (z) = 4
0
(r2 cosθsinθ)e−r (r dr dθ) = 4
2
0
(∫
)( ∫
π
2
z
cosθsinθ dθ
0
[ sin2 θ ] π2 [ ∫ z2
du ]
ue−u
FZ (z) = 4
×
2
2
0
0
risolvendo l’integrale per parti si ottiene
{
2
1 − (1 + z 2 )e−z , se z ≥ 0
FZ (z) =
0,
altrove.
r3 e−r dr
0
É rassicurante veriﬁcare che FZ tende verso 1 in +∞ per la densitá si ha
{
2
2
e−z [2z(1 + z 2 ) − 2z] = 2z 3 e−z , se z > 0
fZ (z) =
0,
altrove.
1
2
)
2
Esercizio 2. Sia X una variabile aleatorie di densitá (legge di Rayleigh)
{
x2
x − 2σ
2
, se x ≥ 0.
σ2 e
f (x) =
0,
altrimenti.
dove σ designa un numero reale strettamente positivo.
1. Dopo aver mostrato che f (x) é una densitá di probabilitá, calcolare la
probabilitá P (−1 ≤ X ≤ 1) .
2. Calcolare la speranza matemativa E(X) e la varianza D2 (X).
3. Determinare la legge (ovvero f.d.r e densitá di probabilitá) della v.a. X 2 ,
poi della v.a. U = X 2 − 2.
Soluzione 1. f (x) é una densitá perché
∫ ∞
∫ ∞
[
]∞
x2
x − x22
f (x)dx =
e 2σ dx = − e− 2σ2
= 1,
2
σ
0
−∞
0
d’altro canto la funzione di ripartizione FX si ottiene
{
∫ x
0,
FX (x) =
f (t)dt =
x2
1 − e− 2σ2 ,
−∞
se x ≤ 0
se x > 0
Per calcolare la speranza matematica E(X), si puó seguire un calcolo, oppure ragionare nel modo seguente: la funzione
x2
e− 2σ2
√
2π σ
é densitá di probabilitá di una v.a. N (0, σ) che denotiamo con G. Allora si ha
√
√
2π 1
2π
2
E(X) =
× E(G ) =
× σ2
σ
2
2σ
perché D2 (G) = E(G2 ) = σ 2 . Da cui
√
π
E(X) = σ
.
2
Oppure
posto
x2
σ2
∫
∞ 2
x − x22
E(X) =
e σ dx
σ2
0
√
= u, otteniamo dx = σ u2 du sostituendo nell’integrale otteniamo
√ ∫ ∞ −u 1
E(X) = σ 2
e u 2 du
∫∞
0
−u z−1
sappiamo che Γ(z) = 0 e u du con z > 0 e che Γ(1 + z) = zΓ(z) e Γ( 12 ) =
allora essendo z = 12 + 1 otteniamo
√
√ 1 1
π
E(X) = σ 2 Γ( ) = σ
2 2
2
Per la varianza sappiamo che
D2 (X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
√
π
3
con calcoli analoghi al caso precedente otteniamo
∫ ∞ 3
[
x2 ]∞
x − x22
E(X 2 ) =
e 2σ dx = 2σ 2 − e− 2σ2 0 = 2σ 2 .
2
σ
0
Da cui
(
π)
D2 (X) = σ 2 2 −
.
2
3. Si ha X(Ω) = R+ , allora (P (X 2 < x) = 0 se x ≤ 0 e per x > 0
√
√
√
√
x
P (X 2 < x) = P (|X| < x) = Fx ( x) − FX (− x) = Fx ( x) = 1 − e− 2σ2 ,
X 2 segue una legge esponenziale di parametro λ = 2σ1 2 . (Si ritrova che E(X 2 ) =
2σ ).
Inﬁne U (Ω) = [−2, ∞[ allora FU (u) = 0 se u < −2 e
2
FU (u) = P (X 2 < u + 2) = 1 − e− 2σ2 , se u ≥ −2
u+2
con densitá
{
fU (u) =
0,
1
2σ 2
e
− u+2
2σ 2
,
se u ≤ −2
se u > −2
Esercizio 3. Il tempo necessario per completare questa 2 prova in itinere segue
una distribuzione normale di media 100 minuti e deviazione standard di 20 minuti.
a) Calcolare la percentuale di studenti che completeranno tutti gli esercizi
entro 2 ore
b) Quanto tempo é necessario aﬃnché il 95% degli studenti completino la
prova?
Soluzione
a) Se X ∼ N (µ = 100; σ = 20) allora la
( X − 100
120 − 100 )
P r(X < 120) = P r
<
=
20
20
(
)
120 − 100
= Pr Z <
= P r(Z < 1) = 84.13%
20
b). Nel secondo punto dobbiamo prima trovare il percentile dalla distribuzione
standardizzata e poi applicare la trasformazione inversa alla standardizzazione
quindi si ha che:
P r(Z < qZ ) = 0.95 ⇔ qZ ≈ 1.645
P r(Z < qZ ) = 0.95 = P r(Z · 20 + 100 < qZ · 20 + 100) = 0.95 ⇔
20 · qZ + 100 = qX = 1.645 · 20 + 100 = 132.9.
Esercizio 4 La seguente funzione di densitá di probabilitá
{ 3
se x > 1
x4 ,
f (x) =
0,
altrimenti.
descrive la distribuzione del reddito mensile (in migliaia di euro) di una popolazione
di individui caratterizzata da redditi mensili maggiori di 1 milione di euro.
1. Si calcoli la probabilitá che il reddito di un individuo sia superiore a 2 mila
euro.
4
2. Si calcoli la probabilitá che il reddito di un individuo sia compreso tra 1,5
e 2 mila euro.
3. Si calcolino media e varianza del reddito mensile.
4. Estratto a sorte un campione di 5 soggetti dalla popolazione, si determini
la probabilitá che almeno un soggetto abbia un reddito superiore a 2 mila
euro.
Soluzione Sia X la variabile aleatoria che descrive il reddito mensile con densitá
di probabilitá speciﬁcata dal testo. La probabilitá cercata é
P (X > 2) = 1 − P (X = 2) = 1 − F (2)
, dove F (x) é la funzione di ripartizione di X. Quindi per calcolare la probabilitá
richiesta dobbiamo prima ottenere la funzione di ripartizione:
∫ x
∫ x
x
F (x) =
f (t)dt =
3y −4 dy = −y −3 = 1 − x−3
−∞
1
1
per x ≥ 1, mentre F (x) = 0 per x < 1. Da cui si deriva che P (X > 2) =
1 − (1 − 2−3 ) = 0, 125.
2.
La probabilitá richiesta é P (1, 5 < X < 2) = F (2) − F (1, 5) = (1 − 2−3 ) − (1 −
1, 5−3 ) = 0, 17.
3. Per calcolare la media del reddito di X, ossia E(X), dobbiamo integrare xf (x)
su tutto l’insieme di valori assumibili dalla variabile X:
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
−4
E(X) =
xf (x)dx =
x3x dx =
3x−3 dx =
−∞
1
1
∞
3
3
= − x−2 = = 1, 5 migliaia di euro
2
2
1
Per la varianza, calcoliamo innanzitutto il momento secondo
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
∞
E(X 2 ) =
x2 f (x)dx =
x2 3x−4 dx =
3x−2 dx == −3x−1 = 3
−∞
1
1
1
da cui,
D2 (X) = 3 − 1, 52 = 0, 75
4. Sia N la variabile aleatoria che descrive il numero di soggetti con un reddito
superiore a 2 mila euro, tra i 5 estratti a sorte. Allora, N ∼ Bin(5, P (X ≥ 2) =
0, 125), usando per la probabilitá di successo della binomiale, il risultato del primo
punto. Allora, la probabilitá richiesta é
P (N ≥ 1) = 1 − P (N < 1) = 1 − P (N = 0) =
( )
5
=1−
0, 1250 (1 − 0, 125)5 = 0, 487.
0