PROGRAMMA ANALISI I - MODULO B VITTORIO COTI ZELATI Complementi sulla derivazione Teorema di Cauchy e teoremi di L’Hôpital. Formula di Taylor con il resto di Peano. Condizioni sufficienti per l’esistenza di minimi e massimi. L’integrazione di funzioni reali di variabile reale Partizioni, somme integrali, funzioni integrabili e definizione dell’integrale definito. Condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità, Additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione, linearità dell’integrale. Integrabilità delle funzioni monotone. Uniforme continuità, teorema di Cantor e integrabilità delle funzioni continue. Teoremi della media. Integrali indefiniti Definizione di primitiva. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti, per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di Taylor con il resto integrale e di Lagrange. Integrali impropri Definizione di integrale improprio. Criterio del confronto. Serie Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza, criterio di Cauchy. Serie a termini non negativi: convergenza, criterio del confronto (e degli infinitesimi), del rapporto, della radice. La serie geometrica, la serie armonica e armonica generalizzate. Serie a segni alterni: criterio di convergenza. Convergenza assoluta, proprietà commutativa delle serie. Serie di Taylor. Successioni di funzioni Definizione di convergenza puntuale e uniforme. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Convergenza uniforme e continuità, Passaggio al limite sotto il segno di integrale e sotto il segno di derivata. 1 2 VITTORIO COTI ZELATI Serie di funzioni Definizione di convergenza puntuale, uniforme e totale. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Convergenza totale e convergenza uniforme. Integrazione per serie e derivazione per serie. Serie di potenze: definizione e caratterizzazione del raggio di convergenza. Derivabilità e integrabilità delle funzioni definite tramite serie di potenze. Testo adottato [3]. Testi Consigliati [1] J. P. Cecconi and G. Stampacchia, Analisi matematica 1o volume, Liguori, Napoli, 1974. [2] E. Giusti, Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri, 1983. [3] P. Marcellini and C. Sbordone, Analisi matematica uno, Liguori, Napoli, 1998. [4] G. Prodi, Analisi matematica, Programma di Matematica, Fisica, Elettronica, Bollati Boringhieri, Torino, 1970. [5] W. Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 1991.