PROGRAMMA ANALISI I - MODULO B Complementi sulla

PROGRAMMA ANALISI I - MODULO B
VITTORIO COTI ZELATI
Complementi sulla derivazione
Teorema di Cauchy e teoremi di L’Hôpital. Formula di Taylor con
il resto di Peano. Condizioni sufficienti per l’esistenza di minimi e
massimi.
L’integrazione di funzioni reali di variabile reale
Partizioni, somme integrali, funzioni integrabili e definizione dell’integrale definito. Condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità,
Additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione, linearità dell’integrale. Integrabilità delle funzioni monotone. Uniforme
continuità, teorema di Cantor e integrabilità delle funzioni continue.
Teoremi della media.
Integrali indefiniti
Definizione di primitiva. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti, per sostituzione. Integrazione
delle funzioni razionali. Formula di Taylor con il resto integrale e di
Lagrange.
Integrali impropri
Definizione di integrale improprio. Criterio del confronto.
Serie
Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza, criterio
di Cauchy. Serie a termini non negativi: convergenza, criterio del confronto (e degli infinitesimi), del rapporto, della radice. La serie geometrica, la serie armonica e armonica generalizzate. Serie a segni alterni:
criterio di convergenza. Convergenza assoluta, proprietà commutativa
delle serie. Serie di Taylor.
Successioni di funzioni
Definizione di convergenza puntuale e uniforme. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Convergenza uniforme e continuità,
Passaggio al limite sotto il segno di integrale e sotto il segno di derivata.
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VITTORIO COTI ZELATI
Serie di funzioni
Definizione di convergenza puntuale, uniforme e totale. Criterio di
Cauchy per la convergenza uniforme. Convergenza totale e convergenza uniforme. Integrazione per serie e derivazione per serie. Serie di potenze: definizione e caratterizzazione del raggio di convergenza. Derivabilità e integrabilità delle funzioni definite tramite serie di
potenze.
Testo adottato [3].
Testi Consigliati
[1] J. P. Cecconi and G. Stampacchia, Analisi matematica 1o volume, Liguori,
Napoli, 1974.
[2] E. Giusti, Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri, 1983.
[3] P. Marcellini and C. Sbordone, Analisi matematica uno, Liguori, Napoli, 1998.
[4] G. Prodi, Analisi matematica, Programma di Matematica, Fisica, Elettronica,
Bollati Boringhieri, Torino, 1970.
[5] W. Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 1991.