Distribuzione binomiale In una famiglia con tre figli, qual è la probabilità di avere un solo figlio maschio? Indichiamo con M una nascita maschile e con F una femminile, consideriamo P(M) =0.515 e P(F) =0.485. L’evento richiesto si può realizzare nei seguenti modi: MFF, FMF, FFM. Se ipotizziamo che il risultato di ogni nascita sia indipendente dal risultato delle precedenti, ciascuno di loro avrà probabilità (0.515)·(0.485)2 Distribuzione binomiale Dunque la probabilità 3·(0.515)·(0.485)2 richiesta sarà In una famiglia con 5 figli, qual è la probabilità di avere 2 maschi? La famiglia sarà composta da 2 M e 3 F, ogni evento, sempre nell’ipotesi di indipendenza tra nascite, avrà probabilità (0.515)2 ·(0.485)3 Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli? Distribuzione binomiale Ma in quanti modi si possono avere 2 M su 5 figli? # & 5 " % " % !2$ Dunque la probabilità richiesta è # & "5% 2 " % 3 (0.515) (0.485) !2$ Distribuzione binomiale Generalizziamo ad un famiglia con n figli, indichiamo con p la probabilità di una nascita maschile e con q = 1-p la probabilità di una nascita femminile. Calcoliamo quindi la probabilità che in una famiglia con n figli, k siano maschi (0≤ k ≤ n ). # & "n% " % k n-k p q !k$ Distribuzione binomiale Ancor più in generale sia A un evento e ¬A la sua negazione (evento contrario). Poniamo P(A) = p, P(¬A ) = q = 1-p. Ripetiamo l’esperimento n volte in modo tale che ogni risultato consecutivo sia indipendente da tutti i precedenti risultati. Allora la probabilità che A si verifichi esattamente k volte (0≤ k ≤ n ) è # & "n% k n-k " % p q !k$ Distribuzione binomiale ESEMPIO: Cinque cavie appartenenti ad una stessa figliata sono sofferenti di una deficienza di vitamina A. Essi vengono nutriti di una certa dose di carote. Sia p=0.73 la probabilità di guarigione. Ci domandiamo: a) Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie guariscano? b) Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca c) Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca? Distribuzione binomiale Qual è la probabilità che tre delle cinque cavie guariscano? # & "5% " %(0.73)3(0.27)2 !3$ Distribuzione binomiale Qual è la probabilità che almeno una cavia guarisca? …almeno una cavia guarisce, significa una oppure due, oppure tre, oppure quattro oppure cinque. Conviene negare questo evento, otteniamo: nessuna cavia guarisce. Quest’ultimo evento ha probabilità (0.27)5 Quindi l’evento “almeno una cavia guarisce” ha probabilità 1- (0.27)5 Distribuzione binomiale Qual è la probabilità che al più una cavia guarisca? Significa che o nessuna cavia guarisce oppure una sola cavia guarisce (0.27)5 +5· (0.73)·(0.27)4