Prova di recupero di Matematica Applicata* 21/04/2006 1. Sia Z una variabile casuale Normale standardizzata. Trovare, facendo uso delle tavole: a) P(−0.47 < Z < 0.94) ; b) il valore di Z che corrisponde al 16° percentile; c) la probabilità associata all’insieme dei valori compresi in un intervallo simmetrico intorno alla media di ampiezza σ . Soluzione: P(−0.47 < Z < 0.94) ≈ 0,50, il valore di Z che corrisponde al 16-esimo percentile è – 0.99, la probabilità associata all’insieme dei valori compresi in un intervallo simmetrico intorno alla media di ampiezza σ è P(−1 < Z < 1) ≈ 0,68. 2. In 265 campioni di 10 unità, ciascuno esaminati in una fabbrica di strumenti di precisione, si è trovata la seguente distribuzione di pezzi difettosi n. pezzi difettosi n. campioni 0 93 1 108 2 49 3 12 4 2 5 1 Sottoporre a test l’ipotesi che si tratti di una distribuzione di Poisson facendo uso del test del χ 2 con livello di significatività del 5%. Soluzione: Risulta Oss. 0 1 2 3 4 5 Freq. Oss. 93 108 49 12 2 1 265 Freq. Emp. 101,4666 97,40795 46,75582 14,96186 3,590847 0,816911 265 e poiché la statistica test è inferiore al quantile di riferimento, l’ipotesi che il campione segue una distribuzione di Poisson non va rigettata. 3. Una cavia può scegliere due strade: quella a destra (D) porta al cibo, quella a sinistra (S) porta ad una scarica elettrica. Da passate esperienze è noto che la prima volta la cavia sceglie D o S con probabilità pari a ½ . Sottoponendo la cavia ad una seconda prova, si è inoltre osservato che: se la prima volta è andata a D, la seconda va ancora a D con probabilità 8/10; se la prima volta è andata a S, la seconda va a D con probabilità 6/10. Calcolare la probabilità che la cavia va a destra nella seconda prova. Soluzione: Sia D1 l’evento “la cavia va a destra la prima volta” e S1 l’evento “la cavia va a sinistra la prima volta”, P( D1 ) = P( S1 ) = 0,50. Sia D2 l’evento “la cavia va a destra la seconda volta” e S 2 * Correzione dei compiti: 27 Aprile ore 11.30. l’evento “la cavia va a sinistra la seconda volta”. Si ha P( D2 | D1 ) = 8 / 10, P( D2 | S1 ) = 6 / 10. Per calcolare la probabilità che la cavia va a destra nella seconda prova si tratta di calcolare P( D2 ) = P( D2 | D1 ) P( D1 ) + P( D2 | S1 ) P ( S1 ) . 4. In un esperimento condotto per verificare l’efficacia della corsa nel controllo della pressione diastolica, 10 individui sono stati sottoposti ad un programma di esercizi per un mese. I valori della pressione dei dieci individui prima e dopo l’esperimento sono i seguenti: Soggetti PRIMA DOPO 1 106 91 2 94 97 3 118 96 4 109 107 5 118 115 6 95 97 7 99 93 8 97 79 9 109 85 10 106 95 Supponendo che le popolazioni di riferimento siano distribuite normalmente, si sottoponga a test l’ipotesi H 0 di non efficacia della corsa nel controllo della pressione a livello di significatività α = 0,01 . Soluzione: Si tratta di effettuare un T-paired test, ossia Test t: due campioni accoppiati per medie Media Varianza Osservazioni Correlazione di Pearson Differenza ipotizzata per le medie gdl Stat t P(T<=t) una coda t critico una coda P(T<=t) due code t critico due code L’ipotesi che la differenza tra medie è nulla va rigettata. Prima Dopo 105,1 95,5 76,98888889 102,9444 10 10 0,467405512 0 9 3,086974533 0,006496393 1,833113856 0,012992786 2,262158887