Serie di Fourier Giovanni Torrero

Serie di Fourier
Giovanni Torrero
E-mail address: [email protected]
Figura 0.0.1. Giovanni Torrero - Serie di Fourier
Teorema 0.0.1.
Indice
Capitolo 1. Analisi armonica
1.1. Ortogonalità delle funzioni trigonometriche
1.2. Approssimazione di una funzione
1.3. Serie di Fourier
4
4
8
11
Indice analitico
16
Bibliografia
17
3
CAPITOLO 1
Analisi armonica
1.1. Ortogonalità delle funzioni trigonometriche
Consideriamo due insiemi, S e C, i cui oggetti sono le seguenti funzioni trigonometriche:
S
C
(1.1.1)
= {sn (x) | sn (x) = sin (n · x)
= {cn (x) | cn (x) = cos (n · x)
n ∈ N}
n ∈ N}
Unendo i due insiemi definiti in 1.1.1 si ottiene la famiglia F di funzioni trigonometriche
F =S∪C
(1.1.2)
Vogliamo dimostrare il seguente teorema[2, a pagina 466 ]
Teorema 1.1.1. L’integrale esteso tra c e c + 2 · π del prodotto di due
elementi distinti della famiglia F è nullo, mentre il medesimo integrale del quadrato
di uno qualunque degli elementi di F è uguale a π .
Dimostrazione. Ricordiamo le formule di Werner[1]
(1.1.3)
sin α · sin β
=
cos α · cos β
=
sin α · cos β
=
1
[cos(α − β) − cos(α + β)]
2
1
[cos(α + β) + cos(α − β)]
2
1
[sin(α + β) + sin(α − β)]
2
Calcoliamo il seguente integrale:
c+2π
ˆ
2
sin (nx) dx =
1
n
c+2π
ˆ
sin2 (nx) dnx =
c
c
=
1
n
nc+2nπ
ˆ
sin2 z dz =
nc
=
(1.1.4)
=
1 nc + 2nπ sin(2nc + 4nπ) nc sin(2nc)
−
−
+
=
n
2
4
2
4
1 2nπ
=π
n 2
4
1.1. Ortogonalità delle funzioni trigonometriche
si ha, supponendo
Capitolo 1. Analisi armonica
n 6= m
c+2π
ˆ
sin(nx) · sin(mx) dx =

 c+2π
c+2π
ˆ
ˆ
1
cos(n + m)x dx
cos(n − m)x dx −
2
c
c
c
=
1
2(n − m)
(n−m)(c+2π)
ˆ
1
cos z dz −
2(n + m)
(n−m)c
(n+m)(c+2π)
ˆ
cos z dz =
(n+m)c
1
{sin [(n − m)c + (n − m) · 2 · π] − sin [(n − m)c]} +
2(n − m)
1
−
{sin [(n + m)c + (n + m) · 2 · π] − sin [(n + m)c]} =
2(n + m)
= 0+0=0
=
(1.1.5)
Sempre considerando
n 6= m
c+2π
ˆ
cos(nx) · cos(mx) dx =
 c+2π

c+2π
ˆ
ˆ
1
cos(n + m)x dx +
cos(n − m)x dx
2
c
c
=
1
2(n + m)
c
(n+m)(c+2π)
ˆ
1
cos z dz +
2(n − m)
(n+m)c
(1.1.6)
∀n ∈ N e ∀m ∈ N
cos z dz =
(n−m)c
1
{sin [(n + m)c + (n + m) · 2 · π] − sin [(n + m)c]} +
=
2(n + m)
1
+
{sin [(n − m)c + (n − m) · 2 · π] − sin [(n − m)c]} =
2(n − m)
= 0+0=0
si ha
c+2π
ˆ
sin(nx) · cos(mx) dx =
c
 c+2π

c+2π
ˆ
ˆ
1
sin(n + m)x dx +
sin(n − m)x dx
2
c
=
1
2(n + m)
c
(n+m)(c+2π)
ˆ
1
sin z dz +
2(n − m)
(n+m)c
(1.1.7)
(n−m)(c+2π)
ˆ
(n−m)(c+2π)
ˆ
sin z dz =
(n−m)c
1
=
{− cos [(n + m)c + (n + m) · 2 · π] + cos [(n + m)c]} +
2(n + m)
1
+
{− cos [(n − m)c + (n − m) · 2 · π] + cos [(n − m)c]} =
2(n − m)
= 0+0=0
Calcoliamo due integrali indefiniti che ci serviranno per completare la dimostrazione.
Innanzitutto ricordiamo alcune formule trigonometriche: cos(2x) = 1 − 2 sin2 x
1 − cos(2x)
dalla quale di deduce:
sin2 x =
, mediante quest’ultima formula
2
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
5
1.1. Ortogonalità delle funzioni trigonometriche
abbiamo che:
ˆ
Capitolo 1. Analisi armonica
ˆ
1 − cos(2x)
dx =
2
ˆ
ˆ
1
1
dx −
cos(2x) d2x =
=
2
4
x sin(2x)
=
(1.1.8)
−
2
4
Utilizzando la formula trigonometrica cos(2x) = 2 · cos2 x − 1
1 + cos(2x)
che cos2 x =
, avremo quindi che:
2
ˆ
ˆ
1 + cos(2x)
dx =
cos2 x dx =
2
ˆ
ˆ
1
1
=
dx +
cos(2x) d2x =
2
4
x sin(2x)
(1.1.9)
=
+
2
4
Calcoliamo il seguente integrale:
sin2 x dx =
c+2π
ˆ
sin2 (nx) dx =
1
n
c
otteniamo
c+2π
ˆ
sin2 (nx) dnx =
c
=
1
n
nc+2nπ
ˆ
sin2 z dz =
nc
=
(1.1.10)
=
In modo analogo si può
c+2π
ˆ
cos2 (nx) dx =
1 nc + 2nπ sin(2nc + 4nπ) nc sin(2nc)
−
−
+
=
n
2
4
2
4
1 2nπ
=π
n 2
calcolare quest’ultimo integrale:
c+2π
ˆ
1
cos2 (nx) dnx =
n
c
c
=
1
n
nc+2nπ
ˆ
cos2 z dz =
nc
1 nc + 2nπ sin(2nc + 4nπ) nc sin(2nc)
=
+
−
−
=
n
2
4
2
4
1 2nπ
(1.1.11)
=
=π
n 2
il teorema è così completamente dimostrato.
Consideriamo le funzioni:
(1.1.12)
trigk (x) = a · sin(kx) + b · cos(kx)
Teorema 1.1.2. Le funzioni di equazione 1.1.12 sono periodiche con periodo
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2π
k
6
.
1.1. Ortogonalità delle funzioni trigonometriche
Capitolo 1. Analisi armonica
Dimostrazione. Come è noto il seno e il coseno sono funzioni periodiche di
periodo 2π ,quindi, indicando con P il periodo di trigk (x) , deve essere:
k(x + P ) = kx + 2π
kx + kP = kx + 2π
kP = 2π
2π
P =
k
Teorema 1.1.3. Qualunque siano a e b esistono due numeri reali M e
φ
tali
che:
(1.1.13)
a · sin(kx) + b · cos(kx) = M · sin(kx + φ)
Dimostrazione. .
M · sin(kx + φ)
= M [sin(kx) cos φ + sin φ cos(kx)] =
= M · cos φ sin(kx) + M · sin φ cos(kx)
(1.1.14)
É quindi sufficiente porre
(
M · cos φ = a
M · sin φ = b
(
tan φ = ab
√
M=
a2 + b2
(1.1.15)
Grazie al teorema precedente possiamo scrivere:
(1.1.16)
trigk (x) = M · sin(kx + φ)
Corollario 1.1.4. Ogni funzione trigk (x) è una funzione periodica con
2·π
che oscilla tra i valori +M e -M.
periodo
k
Dimostrazione. Ovvia
Consideriamo delle funzioni del tipo
(1.1.17)
Tn (x) =
n
X
[ak sin(kx) + bk cos(kx)]
k=0
dove ak e bk sono dei numeri reali scelti a piacere. Ovviamente variando
i parametri ak e bk
la 1.1.17 definisce tutta una famiglia di funzioni che
hanno in comune la struttura con la quale sono state costruite. Vediamo alcune
proprietà di questo tipo di funzioni.
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7
1.2. Approssimazione di una funzione
Teorema 1.1.5. I coefficiente
dalle seguenti relazioni:
ak
bk
(1.1.18)
=
=
1
π
1
π
Capitolo 1. Analisi armonica
ak
e
bk
sono legati alla funzione
Tn (x)
ˆπ
Tn (x) · sin(kx) · dx
−π
ˆπ
Tn (x) · cos(kx) · dx
−π
Dimostrazione. .
ˆπ
1
Tn (x) · sin(kx) · dx =
π
−π


ˆπ
ˆπ
n
n
X
X
1
ai
sin(ix) · sin(kx) · dx +
bi
cos(ix) · sin(kx) · dx =
π i=0
i=0
−π
−π
1
(1.1.19) =
[ak · π] = ak
π
per questa dimostrazione abbiamo usato il teorema 1.1.1 a pagina 4. In modo
analogo si dimostra la 1.1.18
1.2. Approssimazione di una funzione
In questa sezione vogliamo approssimare una funzione f (x) mediante un
polinomio trigonometrico tipo quello definito nella 1.1.17 nella pagina precedente.
Supponiamo di avere
Pn una funzione y = f (x) e un polinomio trigonometrico del
tipo Tn (x) = k=0 [ak sin(kx) + bk cos(kx)] , diamo la seguente definizione:
Definizione 1.2.1. Si chiama errore quadratico medio tra la funzione y =
n
X
f (x) e il polinomio trigonometrico Tn (x) =
[ak sin(kx) + bk cos(kx)] la
k=0
grandezza definita dalla seguente uguaglianza:
1
∆n (a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn ) =
2π
(1.2.1)
ˆπ
2
[f (x) − Tn (x)] dx
−π
Osservazione 1.2.2. Affinché la definizione precedente abbia senso è necessario che l’integrale che compare nella definizione si possa calcolare, ciò è sicuramente vero se ammettiamo che nell’intervallo [−π ; π] la funzione ammetta
un numero finito di discontinuità di prima specie1. L’approssimazione vale soltanto per l’intervallo [−π ; π] , quindi soltanto le funzioni periodiche di periodo
2π vengono approssimate ovunque, mentre per le altre bisogna considerare la loro
restrizione a detto intervallo.
Teorema 1.2.3. (dei minimi quadrati) Sia y = f (x) una funzione periodica con periodo 2π
continua nell’intervallo [−π; π] tranne in al più
un numero finito di punti nei quali ha una discontinuità di prima specie, e sia
ˆπ
n
X
1
f (x) sin(kx)dx
Tn (x) =
[ak sin(kx) + bk cos(kx)] un polinomio trigonometrico, se ak =
π
k=0
−π
1Una funzione y = f (x) ha una discontinuità di prima specie in un punto x se i due limiti
0
lim
x→x0−
f (x) e
lim
x→x0+
f (x) esistono, sono entrambi finiti, ma sono diversi tra loro
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8
1.2. Approssimazione di una funzione
e
bk =
1
π
Capitolo 1. Analisi armonica
ˆπ
f (x) cos(kx)dx
allora l’errore quadratico medio definito dalla 1.2.1
−π
nella pagina precedente assume il valore minimo.
Dimostrazione. Sviluppiamo il quadrato della 1.2.1 nella pagina precedente
ed otteniamo:
∆n (a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn )
1
2π
=
1
2π
=
ˆπ
2
[f (x) − Tn (x)] dx =
−π
ˆπ
f (x)2 + Tn (x)2 − 2f (x)Tn (x) dx =
−π
 π

ˆ
ˆπ
ˆπ
1 
f (x)2 dx +
Tn (x)2 dx − 2 f (x)Tn (x)dx
2π
=
(1.2.2)
−π
−π
−π
Analizziamo, separatamente, ciascuno dei tre integrali che compaiono nella 1.2.2
ˆπ
L’integrale
f (x)2 dx è indipendente dai parametri a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn
,
−π
quindi assumerà un valore costante.
ˆπ
Il secondo integrale
Tn (x)2 dx
, tenendo conto della 1.1.17 a pagina 7 e
−π
applicando la regola del quadrato di un polinomio, diventa:
ˆπ
Tn (x)2 dx =
−π
ˆπ (X
n
−π
=
k=n
X
)2
[ak sin(kx) + bk cos(kx)]
dx =
k=0
ˆπ
2
[ak sin(kx) + bk cos(kx)] dx +
k=0 −π
+
2
k=n
; h=n
X
ˆπ
[ak sin(kx) + bk cos(kx)] [ah sin(hx) + bh cos(hx)] dx =
k=0 ; h=0 −π
=
n
X
k=0
+
2
ˆπ
sin2 (kx)dx +
a2k
k=0
−π
k=n
; h=n
X
+
2
k=0 ; h=0
ˆπ
b2k
cos2 (kx)dx + 2
ak ah
−π
sin(kx) sin(hx)dx + ah bk
−π
ˆπ
−π
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
sin(kx) cos(kx)dx +
−π

cos(kx) sin(hx)dx +
ˆπ
ak bh
ˆπ
ak bk
ˆπ
−π

n
X
k=0
ˆπ

k=0 ; h=0
k=n
; h=n
X
n
X
sin(kx) cos(hx)dx + bk bh

cos(kx) cos(hx)dx
−π
9
1.2. Approssimazione di una funzione
Capitolo 1. Analisi armonica
Applicando i risultati ottenuti nel teorema 1.1.1 a pagina 4 la relazione precedente diventa:
ˆπ
n
X
Tn (x)2 dx = π
a2k + b2k
k=0
−π
Infine ci occupiamo dell’integrale:
ˆπ
ˆπ
n
X
f (x)Tn (x)dx =
f (x)
[ak sin(kx) + bk cos(kx)] dx =
−π
k=0
−π
=
(1.2.3)
n
X
ˆπ

ak
k=0
ˆπ
f (x) sin(kx)dx + bk
−π

f (x) cos(kx)dx
−π
Poniamo:
a∗k
(1.2.4)
b∗k
(1.2.5)
1
π
=
1
π
=
ˆπ
f (x) sin(kx)dx
−π
ˆπ
f (x) cos(kx)dx
−π
Di conseguenza la 1.2.3 diventa:
ˆπ
n
X
(1.2.6)
f (x)Tn (x)dx = π
[ak a∗k + bk b∗k ]
k=0
−π
Sostituendo nella 1.2.2 nella pagina precedente i risultati ottenuti, abbiamo:
ˆπ
1
2
∆n (a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn ) =
[f (x) − Tn (x)] dx =
2π
−π
 π

ˆ
ˆπ
ˆπ
1 
=
f (x)2 dx +
Tn (x)2 dx − 2 f (x)Tn (x)dx =
2π
−π
−π
−π
 π

ˆ
n
n
X
X
1 
f (x)2 dx + π
a2k + b2k − 2π
[ak a∗k + bk b∗k ] =
=
2π
k=0
−π
=
1
2π
ˆπ
f (x)2 dx −
n h
X
k=0
2
2
(a∗k ) + (b∗k )
i
+
k=0
−π
|
(1.2.7)
+
{z
}
parte negativa
" n
#
n
X
1 X
∗ 2
∗ 2
(ak − ak ) +
(bk − bk )
2
k=0
k=0
|
{z
}
parte non negativa
Affinché ∆n (a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn )
assuma il valore minimo è necessario che la parte non negativa della 1.2.7 si annulli, e quindi deve succedere, per
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
10
1.3. Serie di Fourier
Capitolo 1. Analisi armonica
le 1.2.4 nella pagina precedente e 1.2.5 nella pagina precedente, che
ˆπ
1
(1.2.8)
f (x) sin(kx)dx
ak
=
π
−π
ˆπ
bk
(1.2.9)
=
1
π
f (x) cos(kx)dx
−π
1.3. Serie di Fourier
Data una funzione y = f (x) , periodica con periodo 2π , che ammette
nell’intervallo [−π; π] al più un numero finito di discontinuità di prima specie,
poniamo l’attenzione sulla seguente serie:
∞
X
[ak sin(kx) + bk cos(kx)]
k=0
ˆπ
1
ak =
π
(1.3.1)
bk =
1
π
f (x) sin(kx)dx
−π
ˆπ
f (x) cos(kx)dx
−π
poniamoci la seguente domanda:
Domanda 1.3.1. Che cosa possiamo dire circa la convergenza della 1.3.1?
Su [3, a pagina 365] è riportato il seguente criterio di uniforme convergenza per
le serie di funzioni:
Teorema 1.3.2. (criterio di uniforme convergenza ) La serie di funzioni definite nell’intervallo (a; b)
u1 (x) + u2 (x) + · · · · · · + un (x) + · · · · · ·
(1.3.2)
converge uniformemente nell’intervallo (a; b) se è verificata una delle seguenti condizioni:
(A) Si può trovare una successione di costanti positive
M1
M2
·········
Mn
·········
tali che
|un (x)| ≤ Mn
(1.3.3)
nell’intervallo (a,b)
e la serie
(1.3.4)
M1 + M2 + · · · · · · + Mn + · · · · · ·
risulti convergente (criterio di Weierstrass)
(B) le funzioni un (x) si possono rappresentare nella forma
un (x) = an vn (x)
(1.3.5)
dove
(1.3.6)
a1 , a2 , · · · · · · , an , · · · · · ·
sono costanti tali che la serie
a1 + a2 + · · · · · · + an + · · · · · ·
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
11
1.3. Serie di Fourier
Capitolo 1. Analisi armonica
converge; e le funzioni v1 (x), v2 (x), · · · · · · , vn (x), · · · · · · sono non negative,
minori di una costante positiva M e tali che, per ogni valore di x nell’intervallo
(a;b), risulti
v1 (x) ≥ v2 (x) ≥ · · · · · · ≥ vn (x) ≥ · · · · · ·
0 ≤ vn (x) ≤ M
(1.3.7)
(criterio di Abel)
Osserviamo che la 1.3.1 nella pagina precedente, grazie alle 1.1.16 a pagina 7 e
alle 1.1.15 a pagina 7 si può scrivere:
∞
X
(1.3.8)
Mk · sin(kx + φk )
k=0
dove
p
a2k + b2k
bk
tan φk =
ak
Mk =
(1.3.9)
Tenendo conto che
(1.3.10)
∀x |sin(kx + φk )| ≤ 1
∀x ∈ [−π; π] ∧ ∀k ∈ N+
si ha che
|Mk · sin (kx + φk )| ≤ Mk
se riusciamo a dimostrare che la serie
∞
X
(1.3.11)
Mk
k=0
è convergente allora possiamo applicare il criterio di Weierstrass riportato nel
teorema 1.3.2 nella pagina precedente.
Essendo
q
a2k + b2k
(1.3.12)
Mk =
ak
bk
=
=
1
π
1
π
ˆπ
f (x) sin(kx)dx
−π
ˆπ
f (x) cos(kx)dx
−π
Se la funzione y = f (x) ammette un numero finito di discontinuità di
prima specie essa è limitata nell’intervallo [−π; π] , per rendere l’analisi più
semplice supponiamo che f (x) sia positiva nell’intervallo [−π; π] , allora
gli integrali che compaiono nelle 1.3.12 sono dati dalla differenza tra l’area arancio
e quella grigio-celeste della figura 1.3.1 nella pagina seguente e della figura 1.3.2
nella pagina successiva.
Dall’analisi di queste due figure si intuisce che i parametri
ak e bk
tendono a 0 quando k tende all’infinito.
Non è facile lavorare direttamente su ak e bk
, osserviamo la 1.2.7 a
pagina 10, se si riesce a dimostrare che
(1.3.13)
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
lim ∆n = 0
n→∞
12
1.3. Serie di Fourier
Capitolo 1. Analisi armonica
Figura 1.3.1.
Figura 1.3.2.
´π
−π
´π
−π
f (x) sin(kx)dx
f (x) cos(kx)dx
siccome, per la 1.2.1 a pagina 8 si ha
(1.3.14)
1
∆n (a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn ) =
2π
ˆπ
2
[f (x) − Tn (x)] dx
−π
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
13
1.3. Serie di Fourier
Capitolo 1. Analisi armonica
se vale la 1.3.13 a pagina 12, essendo la funzione integranda della 1.3.14 nella pagina
precedente positiva, si potrebbe tentare di dimostrare che ∀x ∈ [−π; π] si ha:
2
lim [f (x) − Tn (x)]
n→∞
lim [f (x) − Tn (x)]
n→∞
lim Tn (x)
(1.3.15)
n→∞
=
0
e quindi:
= 0
= f (x)
osservando che Tn (x) , per la 1.1.17 a pagina 7, altro non è che la ridotta
ennesima della serie di Fourier 1.3.1 a pagina 11, avremmo dimostrato che, nell’intervallo [−π; π] , detta serie converge (magari uniformemente) e f (x) è la
sua somma, raggiungendo così il miglior risultato possibile. Per fare questo sono
necessari maggiori approfondimenti, ci limitiamo ad ad analizzare la 1.3.14 nella
pagina precedente
Tenendo conto che abbiamo scelto le 1.2.8 a pagina 11 e le 1.2.9 a pagina 11
in modo che l’errore quadratico medio sia il minore possibile, la 1.2.1 a pagina 8
diventa
∆n (a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn )
1
2π
=
1
2π
=
ˆπ
2
[f (x) − Tn (x)] dx =
−π
ˆπ
f (x)2 dx −
=
per la 1.3.9 a pagina 12
k=0
−π
ˆπ
(1.3.16)
n
X
2
ak + b2k
n
X
1
f (x)2 dx −
Mk2
2π
k=0
−π
| {z }
|
{z
}
parte
negativa
parte positiva
Osserviamo che le ∆n
definite dalle 1.3.16 sono delle costanti positive che
dipendono, oltre che dal numero naturale n, soltanto dalla funzione f (x) , esse
formano una successione non crescente perché la parte positiva della 1.3.16 rimane
fissa mentre la parte negativa sicuramente non diminuisce, una successione di termini positivi non crescente ammette necessariamente un estremo inferiore ∆
ed inoltre si ha
lim ∆n = ∆
n→∞
Dalla 1.3.16 ricaviamo che
∆
≤ ∆n =
ˆπ
n
X
1
=
f (x)2 dx −
Mk2
2π
k=0
−π
e pertanto
(1.3.17)
n
X
Mk2
≤
k=0
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
1
2π
ˆπ
f (x)2 dx − ∆
−π
14
1.3. Serie di Fourier
Capitolo 1. Analisi armonica
La successione delle ridotte della serie
∞
X
(1.3.18)
Mk2
k=0
è superiormente limitata, quindi detta serie di termini positivi converge. Se questa
serie converge si ha che
(1.3.19)
lim Mk2 = 0
k→∞
ma allora
lim Mk = 0
(1.3.20)
k→∞
e quindi per le 1.3.12 a pagina 12 abbiamo che
lim ak
=
0
lim bk
=
0
k→∞
(1.3.21)
k→∞
abbiamo così dimostrato ciò che avevamo intuito dalle figure 1.3.1 a pagina 13
e 1.3.2 a pagina 13
Serie di Fourier - Giovanni Torrero
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Indice analitico
criterio di Abel, 12
criterio di uniforme convergenza, 11
criterio di Weierstrass, 11
formule di Werner, 4
minimi quadrati, 8
16
Bibliografia
[1] G. Zwirner L. Scaglianti. Funzioni in R, Analitica e Trigonometria, volume 1A. CEDAM, Via
Jappelli 5/6 - 35121 PADOVA, 1998.
[2] Vladimir Ivanovic Smirnov. Corso di matematica superiore - volume secondo, volume II◦ of
Scientifica. Editori Riuniti, Via Serchio 9/11 - 00198 Roma, 1981.
[3] Vladimir Ivanovic Smirnov. Corso di matematica superiore - volume primo, volume I◦ of
Scientifica. Editori Riuniti, Via Serchio 9/11 - 00198 Roma, 1983.
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