CONTRIBUTI DI P. CRISTOFORO CLAVIO ALLA MATEMATICA
Paul Schweitzer, S.J.
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Brazil, [email protected]
Poster impaginato da Ricardo Martins Campos
Universidade Federal do Rio de Janeiro - COPPE , Brazil, [email protected]
Magistrale insegnante di scienza
Secondo George Sarton, famoso storico della scienza, Clavio è stato “il più influente insegnante
del rinascimento.” Egli ideò e istituì un eccezionale corso di matematica al collegio romano,
dove molti gesuiti nel tardo XVI secolo si formarono e diventarono studiosi di matematica e
scienziati. In questo modo, egli lavorò per l’istituzione di “un’accademia di matematici”.
Il commentario degli Elementi di Euclide di Clavio (prima edizione: 1574)
Non era solo gli Elementi di Geometria di Euclide, ma un attento commentario;
Un compendio di tutta la geometria allora nota;
Conteneva molti teoremi originali e parimenti molti assiomi che Euclide aveva omesso (J.
MacDonnell, S.J.);
“Clavio raggruppò insieme in un solo volume le osservazioni sparse di precedenti editori e
commentatori.” (Moritz Cantor, un valente storico della matematica).
Diverse edizioni del “Commentario agli Elementi di Euclide” di Clavio
nuove edizioni nel 1589, 1591, 1603, 1607 e 1612;
“Il grande numero di edizioni dei suoi Elementi di Euclide, che erano necessarie per sodisfare
la domanda, dimostra la grande reputazione che questo lavoro aveva raggiunto. Raramente
una così grande reputazione è stata così ben guadagnata…Clavio dimostra un acuta capacità
critica. Non c’è alcun tipo di difficoltà che egli cerchi di evitare…Il lavoro di Clavio è
indispensabile perfino oggi per ragioni storiche.” (M. Cantor).
Clavio è stato chiamato “l’Euclide del XVI secolo” dagli scienziati contemporanei.
Tavole di seni e coseni nell’”Astrolabium”
Libri di testo scritti da Clavio
“L’Euclide di Clavio” divenne il manuale ordinario di geometria nel XVII secolo. I suoi libri di
aritmetica, geometria, algebra, serie armoniche e astronomia furano usati in tutti i collegi dei
gesuiti in Europa.
Clavio fu “ l’insegnante di matematica dell’Europa cattolica e, allo stesso modo, della maggior
parte dell’Europa protestante.
Leibniz e Cartesio impararono l’algebra sui libri di Clavio.
Correzioni nel Commentario su Euclide
Clavio corresse due errori di due informazioni che comunemente
erano credute vere:
Gli elementi furono scritti da Euclide di Alessandria (secolo 300 A.C.)
e non dal filosofo socratico Euclide di Megara (secolo 400 A.C.).
Le dimostrazioni dei teoremi negli elementi erano da attribuire a
Euclide stesso, e non a Teone di Alessandria.
Per quanto concerne la spinosa questione del quinto postulato di
Euclide sulle rette parallele -che fu risolto solo nel XIX secolo con la
scoperta della geometria non-euclidea- Clavio mostrò che il
contenuto del postulato era equivalente a dire che il luogo dei punti
equidistanti da una linea retta formavano un retta.
Il libro di Clavio sulla “Geometria Pratica”
“Un manuale esemplare di geometria pratica, perfetto per quei
tempi.” (Abraham Kaster) fu tradotto anche in Cinese da Matteo
Ricci S. J. ed ebbe un grande successo: da allora
克拉维 乌 斯
斯 «KeLaWeiWuSi»
è il nome di Clavio in Cinese.
•Clavio diede una prova geometrica che l’equazione
x² + a= bx ha due soluzioni per alcuni valori positivi di a e b. (A quel
tempo, i numeri negativi non erano considerati numeri nel senso
stretto di questo termine!)
•Clavio enunciò e mostrò come risolvere dozzine di problemi come:
•Problema 20 (p. 214): calcolare le dimensioni della terra (il suo raggio BF=DF=CF, nella
figura di sopra) dalle osservazioni su una cima di una montagna la cui altezza (AB) è nota;
•Ancora: come calcolare radici quadrate, radici cubiche, e radici quartiche e quintiche;
•E ancora un metodo analogo per ottenere radici di ordine superiore.
Clavio calcolò e pubblicò nel suo libro “Astrolabio” una tavola di seni e coseni con sette cifre
decimali. Per ciascun valore in gradi e minuti, la tavola fornisce il valore del relativo seno e
coseno con una precisione di uno su dieci milioni. Dissimilmente da altre tavole allora in
circolazione, egli fu molto attento a evitare errori. Egli mostrò come interpolare per ottenere
un valore preciso in secondi di arco! Ciò abbreviò significativamente i calcoli laboriosi in
astronomia e geometria sferica.
Egli spiegò il metodo di interpolazione tra due angoli. Dalla tavola,
sen(16°12')=0.2789911 e sen(16° 13')=0.2792704,
così ogni incremento dell’angolo di 16°12' di un secondo d’arco corrisponde (in
interpolazione lineare) ad un incremento del valore della relativa funzione seno di
0.00000465, che è un sessantesimo di 0.2792704-0.2789911, poiché ci sono 60 secondi
d’arco in ogni minuto. Per esempio, sen(16°12' 01” )= 0.27899575.
Semplificazione dei Calcoli usando seni e coseni
Nei venti anni prima della scoperta dei logaritmi da parte di Giovanni Nepero nel 1614, Clavio
spiegò il metodo detto di “prostaferesi,” che era simile ai logaritmi, ma meno efficiente.
Consisteva nell’uso dell’omonima formula di trigonometria per calcolare il prodotto di grandi
numeri mediante tre addizioni o sottrazioni e quattro consultazioni delle tavole. La formula
che Clavio usò era:
2 sin a sin b=cos(a-b)-cos(a+b),
così dati due numeri x e y tra 0 e 1 ( con x maggiore di y ), si determinano dalle tavole a e b in
modo tale che x=sin a e y=sin b; si calcolano a – b e a + b, e di nuovo si consulta la tavola per
determinare il coseno nel membro di destra dell’equazione di sopra. Quindi il prodotto xy è la
metà della loro differenza. Per numeri con sette cifre decimali, questo procedimento è
considerevolmente più corto che fare direttamente la moltiplicazione. L’idea alla base del
metodo di prostaferesi può aver ispirato l’invenzione dei logaritmi.
La Trisezione di un angolo
E` impossibile trisecare un angolo arbitrario avendo a disposizione solo un segmento e un
compasso, tuttavia Clavio, nella sua “Geometria Pratica”, fornisce una costruzione usando la
curva concoide di Nicomede. Ecco la costruzione, usando il diagramma di sotto. Sia dato
l’angolo ABC, si costruisca AD perpendicolare a BC. Utilizzando la concoide di Nicomede, si
trova il punto E sulla linea passante per A e parallela al segmento BC in modo tale che la
lunghezza di GE è il doppio della lunghezza di AB, dove G è il punto di intersezione del
segmento AD con BE. Sia ora F il punto medio di GE. Ora è facile vedere che AB=GF=FE=AF.
Quindi l’angolo FBC è un terzo dell’angolo ABC, poiché ABF=AFB, che è la somma degli angoli
FAB e FEA, ognuno di essi rispettivamente uguali all’angolo FBC.
“Aritmetica Pratica”
Clavio si dilungò, nel suo libro Aritmetica Pratica, sul come formulare matematicamente il
testo dei problemi e diede molti esempi di come risolverli.
Contributi di Clavio alla notazione matematica
Il primo a usare un punto decimale, venti anni prima che diventasse una prassi comune;
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Il primo ad aver usato parentesi per raggruppare termini;
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Il primo ad usare il segno più e meno, + e - , e il segno = in Italia;
Le buone notazioni sono estremamente importanti per il progresso della matematica!
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