L’ “ALGEBRA” di CRISTOFORO CLAVIO S. J.
Gert Schubring1
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Universität Bielefeld, Germany, and Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brazil, [email protected]
Traduzione italiana a cura di padre Sabino Maffeo S. J.2
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Specola Vaticana, [email protected]
•Così Clavio restò fedele al suo modo di vedere: invece di usare gli esponenti
come numeri per caratterizzare l’ordine della radice, restò fedele alla pratica di
nominare il grado della potenza.
5. I numeri negativi e la regola per la moltiplicazione e divisione
Clavio, benché avesse un capitolo espressamente dedicato ai numeri negativi,
introdusse la regola dei segni già in un capitolo precedente sulla moltiplicazione
e divisione. Egli spiegò, senza provare a darne una dimostrazione, ma solo
provando a giustificare con esempi numerici che moltiplicando e dividendo più
per più e meno per meno si ottiene più (p. 29). Così, egli concepì la regola dei
segni nella maniera tradizionale, come stabilita fin dai tempi di Diofanto, per
termini composti - e non per i cosiddetti numeri negativi isolati (o genuini).
Il capitolo seguente aveva il titolo: “Sui numeri fittizi, o inferiori al nulla”. Ecco
come egli giustificava le operazioni con questi numeri: Vari autori affermano
l’esistenza di radici di numeri che in realtà non esistono - come la radice
quadrata o cubica di 20 (assumendo così che la radice debba essere un numero
intero).
1. L’ “Algebra” di Clavio
•Cristoforo Clavio pubblicò la prima edizione di questo suo testo di algebra nel 1608, a
Roma, per l’editore Zanetti, replicata in modo simile nel 1609. È questa edizione che
intendiamo presentare e commentare. Nella prima pagina di copertina c’è il nome del
tipografo - Stephanus Gamonetus - ma non il luogo della pubblicazione. Tuttavia da
ricerche fatte in cataloghi di libri si è scoperto che il luogo fu Aurelianae Allobrogum.
Una seconda ricerca ci dice che questo nome corrisponde a quello della città di
Ginevra: il che è alquanto sorprendente dato che, a quel tempo, Ginevra era quasi la
capitale del Protestantesimo riformato.
Il Catalogo della biblioteca di Leibniz in Hannover ci rivela l’esistenza di un’altra
edizione del 1609 stampata in Francia: Leibniz, nel 1703 scrisse una lettera a Bernoulli
nella quale dice di aver appreso l’algebra dal testo di Clavio; “Da ragazzo, studiai
l’algebra elementare da un certo Lancius e più tardi da Clavio ...” Il libro di algebra di
Clavio fu il testo base in tutte le scuole dei Gesuiti del settecento sia in Europa che
negli altri continenti. Per esempio Cartesio, che frequentò la scuola dei gesuiti di La
Flèche, senza dubbio apprese l’algebra sul testo del Clavio.
2. L’Algebra di Clavio come un testo Cossist
•Infatti, tali radici sono finzioni molto utili e pratiche. Nello stesso modo, gli esperti in algebra non temono la
La tradizione Cossist dell’algebra non è stata studiata molto dalla storiografia. Le sue
finzione di numeri più piccoli del nulla. E in questo c’era già tutta intera la giustificazione. Nel seguito Clavio spiegò
origini sono dovute all’emergenza in Italia di alcuni elementi di algebra dovuti, da un
in modo molto più dettagliato come fare, per esempio, la sottrazione 6-10.
lato, alla trasmissione di conoscenze e notazioni algebriche giunte in Italia e nella
Come applicazione di “questa piacevole arte” egli era orgoglioso di presentare una serie continua di “numeri finti”,
Francia meridionale dal Magreb arabo e da Al-Andalus.a partire dal1200 circa.
passante per lo 0 come termine intermedio, e continuando con gli interi positivi. In realtà questa non era un sua
(Fibonacci è qui un esempio notevole), dall’altro lato, al rapido sviluppo dell scuole
scoperta, ma l’aveva presa dal volume Aritmetica integra di Michel Stifel del 1544. Stifel aveva pubblicato
d’abaco, a cominciare da Firenze.
esattamente questa stessa figura, famosa nella storiografia in quanto viene considerata come il germe da cui è nato
A partire dalla fine del cinquecento queste pratiche arrivarono nelle città mercantili
il concetto dei logaritmi. Di fatto, anche Clavio mise in forte evidenza l’importanza di mettere in relazione con
tedesche e si svilupparono in una forma che prese il nome di Coss: Già i matematici
questa figura una progressione geometrica affiancata ad una aritmetica - il che equivale a stabilire una relazione
arabi avevano dato alla prima potenza di una variabile il nome “shin”, che gli italiani
tra addizione e moltiplicazione (p. 29).
tradussero col nome “cosa”, Da qui derivò il nome Coss usato in Gemania.
Un testo importante di questa tradizione tedesca di algebra cossista, prodotto da un
gruppo specializzato di “maestri calcolatori” fu quello di Christoph Rudolph (14991545), denominato Coss nell 1525, ma il cui titolo più esattamente è: “Behend und
6. Domini di numeri
hubsch Rechnung durch die kunstreichen Regeln Algebra so gemeinicklich die Coss
Finora Clavio aveva preso in esame solo numeri interi. Fu a questo punto che egli introdusse le frazioni dei numeri
genennt werden (Calcolo snello e agile attraverso le regole artificiali dell'algebra, che
cossisti e le operazioni con esse. Come segno per indicare una frazione usò la linea. È assai sorprendente, tuttavia, il
viene generalmente chiamato La COSS ). Adam Ries (1492-1559), il famoso
fatto che Clavio non avesse nessuna idea di numeri immaginari o complessi, benché matematici italiani come
Calcolatore, portò a termine nel 1524 il suo manoscritto “Die Coss”, che però fu
Bombelli se ne erano occupati più di trenta anni prima. Clavio si occupò molto di radici irrazionali, ma mai fece
stampato solo nel secolo 19°.
menzione di quantità complesse.
Clavio fu certamente influenzato da questo contesto tedesco. Ma, contrariamente
7. La regola dell’algebra
alla tradizione dei testi di abaco e Coss che venivano scritti in lingua vernacola, scrisse
Così Clavio, dopo aver preparato i domini dei numeri e le operazioni su essi, passò a spiegare quale fosse il vero
il suo libro in latino.
scopo dell’algebra: cioè quello che egli chiamò la “regola dell’algebra”.
3. I simboli cossisti
Dopo un breve capitolo di carattere storico, che attribuisce ad un astronomo arabo chiamato
“Gebrus” - nome ricavato in realtà in base al titolo dell’opera di Al-Khwarizmi - il capitolo
successivo è dedicato all’introduzione dei simboli cossisti che verranno usati nel testo. Clavio
introdusse i numeri cossisti come numeri “denominati”, costituenti una serie a partire dall’unità.
Il compito dell’algebra, che è risolvere le equazioni, comprende quattro fasi: la prima è tradurre in
Questa serie può essere vista come una serie di potenze della “cosa”, della variabile, a cominciare
equazione il problema espresso in parole, quindi ridurre l’equazione mettendo dalla stessa parte i
dalla potenza zero. Clavio dette la lista delle serie geometriche, cioè delle serie di potenze.
termini omogenei, dividere la potenza più alta dell’equazione per i suoi coefficienti in modo da dare
all’incognita il coefficiente 1 e, finalmente, se necessario, estrarre la rispettiva radice in modo da
ottenere il valore dell’incognita.
Ciò è sorprendentemente semplice. Sostanzialmente quanto detto corrisponde alla regola che era già
•Qui, i simboli successivi rappresentano le potenze di
stata data da Al-Khwarizmi: al-jabr e al-muqabala equivalgono a questo metodo di riduzione. Ne segue
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x, cioè 1, x, x x , e così via . Come indica lo “etc” (&c)
che Clavio non offre un programma teorico per l’algebra, ma dà piuttosto una serie di regole pratiche. In
alla fine della lista, le potenze potevano continuare
fatti da esse non si ricavano sistemazioni di tipi di equazione né procedimenti standard per la loro
senza un limite. Quindi . (vedi figura a destra) egli
soluzione.
spiegò il significato di questi segni, cominciando da N
Il libro continua col presentare e discutere esempi di problemi. Infatti, il grosso di ciò che rimane del
come l’unità, e continuando col segno per indicare
volume, con le sue 383 pagine, comprende quattro capitoli con un enorme numero di problemi e loro
“res” o “coss”. In pratica, lo strano ghirigoro che
soluzioni. È caratteristico il fatto che i titoli di tre capitoli comincino con “Aenigmata”, cioè indovinelli. Il
rappresenta x è un simbolo tipografico di “re(s)”. Il
che ricorda lo stile e i contenuti dei trattati arabi e italiani, da Fibonacci in poi, in particolare quelli dei
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simbolo per x rappresenta una “z” come si usa in
trattati d’abbaco. Problemi esposti a scopo di divertimento.
certe calligrafie, ed è derivato da census, espressione
Ciò che più emerge in questi tre capitoli è il modo sofisticato di operare con la limitazione concettuale e
latina usata per il quadrato. Infine egli dà una lista dei
notazionale imposta dal sistema cossist dei numeri, che permette di calcolare con una sola variabile primi 12 segni, cioè delle prime 12 potenze della
come è evidente dalla sua introduzione e applicazione. Eppure i problemi in generale consistono nella
variabile.
ricerca di parecchi numeri, che sono le incognite. Ciò viene ottenuto trattando le altre incognite come
•È facile notare che la terminologia per queste entità algebriche è derivata da nozioni geometriche come combinazione lineare della sola incognita legittima. È chiaro che ciò vale solo per alcuni determinati
quadrato, cubo, e costruendo potenze più alte, derivandole da forme composte. D’altra parte, questo problemi.
linguaggio geometrico non gli impedì di costruire una serie illimitata di potenze . In realtà, le lettere D, E, 8. Capitolo XXIX - Enigmi di vari numeri astratti, inclusi due di tali numeri che portano ad una
ecc. usate per le potenze più alte, non provengono da un contesto geometrico.
equazione semplice
Questo capitolo contiene la maggior parte dei problemi: 174 problemi/enigmi in 110 pagine. Ecco un
Clavio usò questo linguaggio geometrico per l’algebra nel
esempio tipico:
suo libro, benché lui parlasse di numeri exponentes
progressionis per caratterizzare la posizione di ciascun
termine nella serie. E illustrò ciò anche in modo chiaro
(vedi tabella a destra).
“Dividi un dato numero in due parti secondo una certa proporzione, che moltiplicate tra loro danno un
•È molto interessante vedere questa concettualizzazione
numero che è nella stessa proporzione al quadrato del numero più piccolo”.
di tre serie parallele: gli esponenti, i simboli cossisti e i
Clavio dava numeri specifici nei suoi problemi. Nel problema appena citato il numero dato è 100 e la
valori per x=2. A pag. 12 egli dette anche i simboli cossisti
data proporzione delle due parti è un quarto. Si chiami 1x il più piccolo e 4x il più grande. La somma dei
per gli esponenti numeri primi da 2 al 61 ecc.
due è 5x, così l’equazione è tra 5x e 100. Dividendo l’equazione per 5 si ottiene 20 come numero più
4. Notazioni e Operazioni
piccolo e 80 il più grande. Il risultato è che il numero 100 è anche uguale a un quarto del quadrato (400)
In questo capitolo, Clavio introdusse i segni “+” e “-“ per
del più piccolo (20).
l’addizione e la sottrazione e spiegò come fare queste
operazioni con i segni cossist, cioè in particolare per agire solo
9. Capitolo XXX - Enigmi di vari numeri astratti, in cui l’equazione è tra tre numeri, due dei quali sono
su termini dello stesso grado, su quantità omogenee. Qui è
uguali
illustrato un esempio di sottrazione, effettuata con metodo
Qui c’erano 47 problemi in 34 pagine
simile a quello matriciale:
•La prima espressione equivale a 7x3 + 11x2 + 8x-10.. La prima colonna equivale a (7x3 + 11x2 + 8x-10) 10. Capitolo XXXI - Enigmi su vari numeri riferiti a quantità concrete, con parecchi esempi su radici di
(3x3 + 0x2 + 8x-4) = 4x3 + 11x2 + 0x-6.
secondo grado.
D’altra parte Clavio non introdusse segni per la moltiplicazione e la divisione. In alcuni casi di
In questo capitolo Clavio espose 70 problemi in 50 pagine. L’enigma n. 48 (p. 334) è quello ben noto dei
moltiplicazione di due numeri, usò il punto: 2 . 4, ma in generale espresse le operazioni da fare con
due mercanti con una borsa comune. L’ultimo capitolo, il XXXII, contiene 30 problemi riguardanti figure
parole come: “ductus in ...”, “divisio per ...”. Ugualmente, per esprimere l’uguaglianza non usò segni ma
geometriche.
parole. Per esempio, per esprimere un’uguaglianza, scriveva: “aequatio sit inter 5x +7& 1x”.
A questo riguardo, benché Clavio aderisse allo stile retorico tradizionale, introdusse una notevole
11. Un punto di vista
innovazione: egli spiegò che i segni Rq e Rcu usati al suo tempo per le radici quadrata e cubica
Il matematico francese François Viète (1540-1603) dette per la prima volta un approccio di carattere
potevano indurre in errore, probabilmente a causa del suo modo di esprimere le potenze con l’uso
teorico all’algebra nel suo trattato Zetetiké, pubblicato nel 1591. Egli, benché continuasse ad usare
delle lettere dell’alfabeto. Egli fece presente che alcuni autori recenti già usavano il segnos, che
termini geometrici per dare nome alle potenze della variabile, introdusse notevoli innovazioni, come la
corrisponde al nostro segno moderno della radice. È interessante notare che egli sostituì i segni
distinzione tra numeri e variabili. Alla fine, fu merito di Descartes che trasformò il lavoro di Viète nel
tradizionali per le radici più alte: Rq, Rcu, Rqq, con i simboli cossist usati per queste potenze
1637, se si pose fine all’algebra cossist e si iniziò a saper trattare un numero illimitato di variabili.
