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CAPACITA’ DI METTERE IN FORMULA E DI INTERPRETARE I RISULTATI
OTTENUTI
L'alternanza delle funzioni algoritmica e simbolica nella risoluzione di un problema
Sovente gli studenti rimangono perplessi di fronte alle modalità con cui l'insegnante trasforma una
formula per arrivare ad un certo risultato, e consolidano l'idea che la pratica matematica consista
nel mettere in atto un insieme di "trucchi" suggeriti da felici e rare intuizioni.
Ma non ci sono trucchi e magie: tutto è legato alla capacità di interpretare una formula e di
riconoscere strutture note in essa. L'esperto sa valutare quando sia il caso di lasciarsi andare alla
"bestia del calcolo" e quando fermarsi a riflettere sui risultati ottenuti, confrontandoli con i dati
iniziali e con le richieste del problema: queste modalità d'azione fanno parte di un'abilità di
controllo che può essere appresa soprattutto in un contesto di apprendistato cognitivo. (cfr. lucido
Lezioni 2.30)
PROBLEMA
Tra tutti i triangoli rettangoli aventi le misure dei lati espresse da numeri interi, trovare quelli che
hanno la misura del perimetro uguale a quella dell'area
Il problema è rivolto a studenti che abbiano già affrontato lo studio delle equazioni irrazionali.
Si può ricorrere, in fase di esplorazione, alla tabulazione numerica delle terne pitagoriche, ma il
lavorare su un numero finito di casi non ci permette di affermare che non ci siano altre soluzioni
oltre a quelle ricavate dalla tabella numerica.
L'insegnante, esaminato il lavoro iniziale degli studenti,
- suggerisce il frame algebrico, osservando che le variabili in gioco sono due [i due cateti, x ed y],
mentre il terzo lato può essere ricavato dalla relazione pitagorica
- invita gli studenti a rileggere bene il testo, sottolineando i dati e le richieste
E' facile a questo punto la messa in formula:
x  y  x2  y2 
xy
2
La presenza di due incognite in un'equazione può creare difficoltà: gli studenti risolvono
abitualmente equazioni con una sola incognita o sistemi di equazioni a più incognite. L'insegnante
richiama il significato di equazione come proposizione aperta; sottolinea inoltre che, in questo caso,
le soluzioni sono coppie di numeri interi positivi, e che possono essere infinite.
Dopo aver lasciato lavorare un po' gli studenti sulla formula, l'insegnante interviene, in caso di
difficoltà, segnalando la necessità di ricavare una relazione fra x ed y più facilmente manipolabile e
che fornisca maggiori informazioni; a questo proposito è più semplice eliminare il radicale, sotto la
condizione xy  2x  2y > 0,
xy  2 x  2 y  2 x 2  y 2
x 2 y 2  8 xy  4 x 2 y  4 xy 2  0
Se gli studenti semplificano l'equazione dividendo entrambi i membri per xy l'insegnante chiede
loro se ciò sia compatibile con i dati del problema [si attiva la funzione simbolica, ritornando al
significato di x e di y che sono numeri interi non nulli, perché il triangolo non è degenere].
A questo punto la manipolazione della formula per ricavare una relazione fra x ed y richiede una
buona abilità di anticipare schemi noti che possono emergere.
In genere gli studenti cercano innanzituttodi esplicitare una delle due variabili, come sono soliti fare
nelle equazioni
xy  4 y  4 x  8
;
y
4( x  2)
x4
Questa operazione conduce alla valutazione numerica della frazione
x2
che deve dare risultato
x4
1/2, 1/4, oppure un numero intero. Non è facile trovare tutte le soluzioni.
Alcuni studenti, abili nell'uso delle calcolatrici grafiche, visualizzano il grafico della funzione.
Combinando le informazioni del grafico con quelle della tabella numerica, osservano che deve
esistere soltanto un numero finito di soluzioni possibili: infatti deve essere x > 4, ma per x > 20 i
valori di y si "assestano" sotto il valore 4.5.
L'insegnante chiede di provare algebricamente queste osservazioni.
Gli studenti provano a manipolare la formula cercando di scomporre in fattori (abilità di
abbandonare una certa rappresentazione simbolica per un'altra);
riportano tutto a primo membro xy  8  4x  4 y  0 ;
osservano che si potrebbe raccogliere a gruppi se al posto di 8 ci fosse 16.
L'insegnante suggerisce di provare a modificare l'equazione aggiungendo 8 ad entrambi
membri xy  16  4x  4 y  8  8 ; ( x  4)( y  4)  8
Si ritorna alla funzione simbolica: l'insegnante chiede di riformulare la domanda sull'ultima
equazione ricavata: trovare due numeri naturali x ed y tali che…. ; osserva che il problema si può
ricondurre alla ricerca dei divisori di 8.
x 4 1
y  4  8
Gli studenti osservano che deve essere 
x  4  2
; le uniche soluzioni possibili
y  4  4
oppure 
sono, a meno dell'ordine, 5 e 12, 6 ed 8. Esse verificano la condizione xy  2x  2y > 0, posta in
precedenza.
L'insegnante evidenzia la simmetria della formula rispetto alle due variabili, e chiede di darne
un'interpretazione legata al contesto del problema.
Al termine dell'attività l'insegnante rivede con gli studenti tutte le fasi risolutive: mette in evidenza
quali strategie sono state abbandonate e perché, e quali sono state attivate in alternativa.
Analizzare i simboli prodotti in retrospettiva
Una delle abilità discusse nelle Lezioni è quella di “analizzare i simboli prodotti in retrospettiva”: il
confronto e la discussione – tra pari e con l’insegnante - permettono di “condividere” il senso dei
simboli usati, favorendone così l’acquisizione consapevole ed evitandone un uso automatico, in
quanto l’uso dei simboli viene fondato sul significato che ad essi è stato concretamente attribuito
durante l’attività di problem solving (cfr. lucidi Lezioni 2.4; 4.11 – 4.13)
PROBLEMA 1
Determinare tutti i triangoli rettangoli con lunghezza dei lati in progressione aritmetica.
(Olimpiadi di Matematica 93, gara junior)
Il quesito è interessante perché a seconda della scelta dei simboli per le terne dei lati (ad esempio l,
l + d, l + 2d; oppure l  d, l, l + d) e a seconda del modo con cui si esprime il risultato (l in
funzione di d, oppure d in funzione di l) si possono ottenere risultati apparentemente diversi, per
cui si pone il problema di reinterpretare la formula che esprime la soluzione.
Infatti se si attribuiscono ai lati le misure l, l + d, l + 2d, l’equazione risolvente il problema è
(l  3d)(l + d) = 0, che si riduce, essendo l e d positivi, all’equazione l = 3d. Da questa forma si
ricavano i tre lati espressi in funzione della ragione, 3d, 4d, 5d, mentre dalla forma equivalente
4 5
d = l/3 si ricavano i lati espressi in funzione di uno di essi l , l , l .
3 3
Invece se si attribuiscono ai lati le misure l  d, l, l + d, l’equazione risolvente il problema è l = 4d.
Da questa forma si ricavano, come prima, i tre lati espressi in funzione della ragione, 3d, 4d, 5d,
3
5
l
ma dalla forma equivalente d  si ricavano i lati l , l , l , che sono ancora espressi in
4
4
4
funzione di uno di essi, ma in maniera formalmente diversa da prima, pur rappresentando lo stesso
insieme di soluzioni.
PROBLEMA 2
Calcolare l’area della delimitata dai tre semicerchi di diametri AB, BC, AC sapendo che il
segmento CH è lungo 3 , dove H è il punto del semicerchio di diametro AB la cui proiezione
ortogonale sul diametro è C.
(Olimpiadi di Matematica 93, gara nazionale)
H
A
C
B
Anche questo problema è interessante perché, dopo l’iniziale perplessità dovuta al fatto che la
misura di CH non è espressa in funzione del raggio di nessuna delle tre semicirconferenze, per cui
sembra che i dati siano insufficienti, si scopre, con qualche manipolazione algebrica, che il
3
risultato,  , non dipende da tali raggi. L’algebra è riconosciuta come necessaria, perché proprio
4
l’apparente insufficienza dei dati rende necessario l’uso dei simboli per indicare quantità non note.
PROBLEMA 3
Siano C’, C’’ due circonferenze esterne l’una all’altra. Detta t la retta congiungente i centri di C’ e
C’’, siano P’ e P’’ i punti su t in figura. Condotte da P’ le tangenti t’, s’ a C’’ e da P’’ le tangenti
t’’, s’’ a C’, si dimostri che i due cerchi tangenti a t’, s’, C’ e a t’’, s’’, C’’, interni rispettivamente a
C’ e a C’’, hanno lo stesso raggio. (Olimpiadi di Matematica 93, Cortona)
La soluzione è più semplice del testo del problema: infatti si può lavorare solo su t’, s’ e C’’ e
determinare, sfruttando la similitudine di due opportuni triangoli, il raggio della circonferenza
interna a C’, che risulta espresso simmetricamente in funzione dei raggi delle circonferenze date.
Quindi solo dalla rilettura e reinterpretazione della formula trovata si deduce la proprietà che si
chiedeva di verificare.
Per le risoluzioni ed altri problemi si rimanda a F. Conti, M. Barsanti, T. Franzoni (a cura di) Le
olimpiadi della Matematica, Zanichelli, 1994
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