Isolanti Topologici 2012

Isolanti Topologici
(Mattia Gaboardi)
Transizioni di fase
 Teoria di Landau (rottura spontanea della simmetria)
 Cristalli : rottura simmetria traslazionale e rotazionale
 FM/AFM : rottura simmetria rotazionale spazio degli spin
 Cristalli liquidi : rotazionale ma non traslazionale (molecole)
 Superconduttori : simmetria di gauge
Transizioni di fase
 1980 (QHE) : possibilità di avere transizioni in cui non viene
coinvolta la rottura di simmetria.
 Indipendenza dalla geometria del sistema.
 Stati topologici della materia:
 Isolanti nel bulk, conduttori all’ “esterno”
 Sugli edge (2D)
 Sulla superficie (3D)
 Separazione tra spin-up e spin-down
 Importanza della struttura a bande (topologia)
 Stati protetti (edge/superficie)
… tazze, ciambelle e nodi
(g = 0)
(g = 1)
(g = 3)
 Topologia (τοπος-λογος): studio dei luoghi
 Studio delle “figure” le cui proprietà non cambiano quando
vengono eseguite deformazioni che non coinvolgono:
 Strappi, Sovrapposizioni, incollature
 Invariante topologica :
 Quantità che non cambia sotto deformazione “continua”
 Cubo e sfera (omeomorfi)
Isolanti di banda
 Stato isolante : il più comune della materia
 Energy-gap tra B.V. e B.C. in un semiconduttore
 Energy-gap nei livelli atomici
 Energy-gap del vuoto (produzione elettroni-positroni)
 Possiamo vedere le superfici elettroniche (funzioni
d’onda) come figure topologiche nello spazio di Fourier
 Da questo punto di vista, tutti gli isolanti convenzionali
sono equivalenti
 Tutti gli stati elettronici che presentano una gap sono
equivalenti al vuoto?
 NO!
Isolanti Topologici ??!
 Il nome inganna:
 Non ha niente a che vedere con la loro forma
 La loro caratteristica interessante non è il fatto che siano isolanti
 Sono materiali isolanti ma diventano conduttori nelle regioni
di confine col vuoto
 Inoltre, la corrente elettronica in queste regioni possiede
proprietà uniche
 Non è una transizione di fase nel senso classico del termine
(rottura di simmetria)
Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE)
 E’ il più semplice sistema topologicamente ordinato
 Elettroni confinati su di una interfaccia 2D tra due
semiconduttori in un campo magnetico intenso (von Klitzing et
al., 1980)
 Forza di Lorentz: livelli di Landau, indipendenti da k
•Temperatura criogenica
• campi magnetico intenso
• campioni ultra-puri
Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE)
h
ρ xy = 2
ne
Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE)
 Livelli di Landau: isolante di banda
 Conducibilità di hall (xy)
 Corrente chirale sugli edge! Non soggetta al back-scattering.
(n=0)
σ xy
e2
=n
h
(n≠0)
edge
superficie
Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE)
 n : interpretabile come invariante topologica (numero di
Chern) : visione topologica dell’effetto Hall
σ xy
e2
=n
h
1
n=
2π
∫
B.Z .

(∇ ∧ A(k x , k y ))d k
2
A = u k − i∇ k u k
 Gli stati responsabili dell’IQHE non rompono nessuna
simmetria, ma definiscono una fase topologica: alcune
proprietà del sistema sono insensibili a variazioni smooth dei
parametri del materiale
Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE)
 n è chiamata invariante TKKN (Thouless, Kohmoto,
Nightingale, Nijis; 1982) e per l’IQHE : n=1.
 L’indice topologico distingue un semplice isolante (n=0) da
uno stato di Hall quantistico (n≠0)
 Il quanto di σxy è un numero topologico quantistico: dipende
solo dalla struttura elettronica del bulk, non dalla superficie!
 Superficie: immagine topologica del bulk
 TKKN dimostrano che σxy ha la stessa forma di n.
 n non può cambiare se l’hamiltoniana cambia in modo smooth.
 Gli stati di edge non possono essere distrutti da difetti o
impurezze perché dipendono unicamente dallo stato topologico
del bulk
Effetto Hall Quantistico Intero (IQHE)
 Tutto molto interessante, ma …
 Cristalli “perfetti”,
 criogenia,
 campi intensi.
 Rottura della simmetria temporale (conducibilità di Hall
dispari rispetto ad una inversione del tempo)
Grafene
Grafene
 Haldane (1988) : campo magnetico fittizio:
 <B(r)>=0
 B(r) con uguale periodicità del reticolo
 B(r)=0 : zero gap (2 punti di Dirac)
 B(r)≠0 : energy-gap
 Particelle di Dirac con gap
 Non è un normale isolante: prototipo di un sistema Spin-
Hall-Quantistico (2D-QHS)
Grafene
 Degenerazione nei punti di Dirac protetta da:
 Parità (invarianza spaziale), P
 Simmetria time-reversal, T
 Posso rimuovere la degenerazione rompendo P o T
 P : 2 differenti atomi per cella
 T : applicando un campo magnetico (Haldane)
 B nullo in media, con la piena simmetria del reticolo
 Energy-gap
 Stato non associato ad un isolante : sistema Hall-quantistico con n=1
 Fermion Doubling Theorem : per un sistema T-invariante, i punti
di Dirac devono andare a coppie
 Teorema di Kramer: i livelli energetici di un sistema con un
numero dispari di elettroni, neutroni e protoni (fermioni) rimane
almeno doppiamente degenere in assenza di campi magnetici
Interazione Spin-Orbita
 Effetto relativistico
 Magnetismo nella materia
(anisotropia magnetica)
 Campo magnetico interno
effettivo (Haldane, 1988)
 Combinazione di 2 campi
magnetici opposti agenti sui
due differenti stati di spin
 Corrente “contropropagante” polarizzata in
spin
Isolanti Topologici
 La conducibilità di Hall è pari sotto inversione temporale
 Quando T è rotta si formano stati topologici non triviali
 Kane, Mele (2005): l’interazione Spin-Orbita permette di
ottenere stati topologici in cui T non viene rotta!
 Simmetria T rappresentata da un operatore antiunitario, Θ




(Θ2=-1)
Teorema di Kramer: tutti gli autostati di una hamiltoniana T-invariante
sono almeno doppiamente degeneri
Una hamiltoniana T-invariante deve soddisfare: ΘH ( k )Θ −1 = H ( − k )
Se ci sono stati legati sugli edge: il teorema di Kramer richiede che siano
doppiamente degeneri nei punti T-invarianti k1=0 e k2=π/2
Lontano dagli edge l’interazione spin orbita rimuoverà questa
degenerazione
Isolanti Topologici
Normale metallo: gli
stati superficiali (o di
edge) attraversano EF un
numero pari di volte
Isolante topologico:
gli stati superficiali (o di
edge) attraversano EF un
numero dispari di volte
Effetto Spin Hall Quantistico (QSHE)
 Isolante topologico 2D : QSHE
 (Kane & Mele; 2005) : predicono l’esistenza del QSHE in films
semiconduttori soggetti a gradienti di strain
 Predetto (Bernevig et al.; 2006) e osservato (König et al.; 2007)
in quantum-well HgCdTe.
 La degenerazione nel punto di Dirac nel grafene è protetta dalla
simmetria di inversione temporale. Ma avevamo ignorato lo
spin degli elettroni! Se lo consideriamo:
 L’hamiltoniana si disaccoppia in 2 hamiltoniane indipendenti per gli spin
up e down
 Ne risulta una teoria identica al modello di Haldane, in cui spin-up e spindown hanno opposto segno nella conducibilità di Hall
 Applicando un campo : la conducibilità di Hall è ancora zero, ma c’è una
conducibilità di spin-Hall quantizzata (σxy s =2e2/h)
Effetto Spin Hall Quantistico (QSHE)
z
x
y
CdTe
HgCdTe
σ xy
e2
=n =0
h
CdTe
n=0
(invariante
topologica)
Gli stati di edge sono “filtrati” in spin: gli elettroni spin-up e spin-down sono contro-propaganti.
Si parla anche di “stati elicoidali”, in analogia con l’elicità di una particella.
Gli elettroni formano un unico liquido di Fermi 1D
Effetto Spin Hall Quantistico (QSHE)
Effetto Spin Hall Quantistico (QSHE)
 In un conduttore ordinario gli elettroni sono soggetti alla
localizzazione di Anderson
 Gli stati di edge dei sistemi QSH non possono venire
localizzati, anche in caso di forte disordine
 Lo scattering coinvolgerebbe il flipping degli spins
 Ne segue che, a meno della rottura di T, un elettrone incidente verrà
trasmesso perfettamente oltre il difetto (T=0K, trasporto balistico)
 Per T>0K, ci saranno effetti di backscattering anelastico permessi.
 Il grafene è fatto di carbonio (spin-orbita debole)
 Energy gap molto piccola (10-3meV)
 Dobbiamo cercare atomi più pesanti!
 (Bernevig, et al.; 2006): quantum well Hg(1-x)CdxTe
Effetto Spin Hall Quantistico (QSHE)
 CdTe: normale S.C. di tipo ZnS
 BV: simmetria p
 BC: simmetria s
 HgTe: : normale S.C. di tipo ZnS
 BV:simmetria s
 BC: simmetria p
 Film di HgTe di spessore d tra 2 layers di
CdTe:
 d<6.3nm: stati elettronici 2D legati alla
quantum well
 d>6.3nm: le bande 2D si invertono.
Transizione quantistica tra normale isolante e
sistema QSH
 d=dc: Eg=0.
Effetto Spin Hall Quantistico (QSHE)
quantum well (d<6.3nm)
(tensione di gate)
Regime inverso
(d>6.3nm)
o campione II : effetti di
scattering (T finita)
o III e IV : conduttanza
quantizzata
Effetto Spin Hall Quantistico (QSHE)
Isolanti Topologici 3D
Isolanti Topologici 3D
 (Fu-Kane; 2007):
 Nuovo tipo di sistemi che non esibiscono QSHE (teoria)
 Numeri di Chern (νi) intesi come “parametri d’ordine”
 Noti i parametri risalgo alla fase
 4 diverse invarianti topologiche (invece di una sola):
 16 diversi tipi di isolanti
 Effetto Spin Hall Quantistico Intero (ν0=ν1=ν2=ν3=0)
 Stati conduttori superficiali (al posto degli edge)
 Gli spin elettronici ruotano attorno alla superficie di Fermi
bulk
Isolanti Topologici 3D
 Gli stati superficiali di un IT3D possono essere indicizzati con
il momento 2D k=(kx,ky).
 Ci sono 4 punti T-invarianti (Γ1,2,3,4) sulla B.Z. della
superficie
 Lontano da questi punti, l’interazione S-O rimuoverà la
degenerazione
 Due coni di Dirac nella struttura a bande superficiale
 Il più semplice IT3D (“weak”) può essere costruito impilando
in serie uno sopra l’altro tanti IT2D
ν0=0 ; (ν1,ν2,ν3)=(h,k,l) :
orientazione del layer.
Isolanti Topologici 3D
 Quando ν0=1 si parla di IT3D-“strong”
 Non si può interpretare come somma di IT2D
 Infatti ν0 determina se un numero pari o dispari di punti di
Kramer è racchiuso dal cerchio della superficie di Fermi
 In un IT3D strong il cerchio di Fermi racchiude un numero
dispari di punti di Dirac degeneri secondo il teorema di Kramer
 Sistema del tutto simile al grafene, ma …
 Nel grafene ci sono 4 punti di Dirac (2+2)
 IT3D-strong : un singolo punto di Dirac!?
 Sembra violare il “fermion doubling theorem”
 In realtà … esiste un punto di Dirac “gemello” sulla superficie opposta
Isolanti Topologici 3D
 Gli stati superficiali di un IT-strong formano un unico metallo
2D
 Metallo ordinario (liquido di Fermi 2D): nessuna distinzione tra
spin-up e down
 IT-strong: stati superficiali non degeneri in spin
 La simmetria temporale richiede che elettroni in k e –k abbiano opposto
momento di spin
 In tal modo, lo spin dovrà ruotare attorno alla superficie di Fermi!
 Si Parla di fase di Berry
 Gli elettroni in superficie non possono venire localizzati, anche
in presenza di forte disordine fintanto che il bulk rimane
isolante
Punto di Kramer
Inversione di
chiralità
Il primo IT3D : Bi1-xSbx
 Bi1-xSbx: lega semiconduttrice
 Bi : semimetallo con forte accoppiamento SO
Tasca di lacune
Tasca di elettroni
La,s: bande derivate da
funzioni d’onda
antisimmetriche/simmetriche
 Quando x=0.04, la gap tra La ed Ls si chiude e si realizza un
punto di Dirac (particelle a massa zero)
 Problema: non è semplice fare esperimenti di conducibilità
negli IT3D.
 Dovrei separare i contributi di superficie da quelli di bulk
Spettroscopia di fotoemissione risolta
in angolo (ARPES)
 Sistema ideale per misurare le superfici
 Un fotone scalza un foto-elettrone dalla superficie del cristallo
 Risoluzione in k ed E (anche lo spin)
Bi1-xSbx
Mappa (k,E) degli stati
elettronici superficiali
occupati
Stati superficiali non degeneri e
polarizzati in spin
5 coni di Dirac!
(D. Hsieh et al.; 2008)
Bi1-xSbx
 La polarizzazione di spin ruota di 360° attorno alla superficie
di Fermi (spin texture)
 Stati superficiali immuni allo scattering non magnetico
Mappa spinARPES
superficie di
Fermi
FFT
Brillouin Zone
Spazio diretto
Seconda generazione di IT3D (Bi2Se,
Bi2Te, Sb2Te)
 Struttura superficiale del Bi1-xSbx complicata e con piccala band-gap
 Ricerca di band-gap maggiori e spettri più semplici
 Composti (no leghe): maggior
controllo su purezza
 Bi2Se3:
 Singolo cono di Dirac
 Band-gap grande
 Comportamento topologico a
temperatura ambiente!
 Anche cristalli “impuri”
Seconda generazione di IT3D (Bi2Se,
Bi2Te, Sb2Te)
 Nei lavori teorici si studia il caso in cui il potenziale chimico
giace sul cono di Dirac in superficie
 Densità di portatori di carica facilmente “tunabile” applicando
un campo elettrico (applicazioni in microelettronica)
 In generale però non è sempre così (il grafene è un caso
particolare)
 Tuttavia, è possibile spostare il livello di Fermi chimicamente
 (Hsieh et al.; 2009): doping del bulk con piccola
concentrazione di Ca per spostare il livello di fermi sul punto
di Dirac
Stati superficiali esotici
 1980: IQHE, plateau interi nell’effetto Hall quantistico
 Spiegazione: elettroni quasi liberi con statistica fermionica “classica”
 1983: FQHE, osservazione sperimentale di plateau frazionari
con denominatore dispari
 Spiegazione: liquido elettronico interagente che ospita quasiparticelle con
statistica non-Abeliana (anyoni)
 1989: osservazione plateau con denominatore pari (5/2)
iϑ
ψ 1ψ 2 = e ψ 2ψ 1
ψ 1ψ 2 = ± ψ 2ψ 1
(+): bosoni
( - ): fermioni
In 2D: fase
 In 3D: la statistica delle particelle è ristretta a bosoni o
fermioni.
 In 2D: si possono osservare quasiparticelle che obbediscono
ad una statistica intermedia tra Bose-Einstein e Fermi-Dirac
(anyoni)
Stati superficiali esotici
 Interfaccia tra un IT3D ed un superconduttore 3D (SPC):
 Quasiparticella emergente: fermione di Majorana (proposal)
 Effetto prossimità (interfaccia metallo-SPC)
 Se una linea di vortice passa dal SPC nell’isolante topologico un
fermione di Majorana viene intrappolato nel core del vortice.
 Stato legato composto da : 1 elettrone + un numero pari di flussoni
 È una particella che è anche la sua stessa antiparticella (a=a†)
 Elettricamente neutro
 Predetto anche in Sr2RuO4 e in strutture 2D che combinano
SPC, FM e forte accoppiamento SO
 Statistica quantistica non-abeliana
 Un passo verso i computer quantistici (protezione da errori)
Stati superficiali esotici
Fermioni di Majorana : topologicamente protetti da sorgenti locali
di decoerenza
Conclusioni
 IQHE :
 Conducibilità di Hall quantizzata e corrente chirale (protetta dai difetti)
 Viola la simmetria di time-reversal a causa del campo
 Effetto Spin-Hall quantistico : IT-2D





Isolante di banda caratterizzato da un numero topologico
Possiede simmetria di time-reversal
Possiede eccitazioni senza gap sugli edge.
Forte interazione Spin-Orbita
Corrente protetta dai difetti
 IT-3D:
 Conduzione sulla superficie (cono di Dirac)
 Elettroni in superficie immuni allo scattering
 Spin-texture
 Fermioni di Majorana
 2 Majorana separati = 2 stati degeneri (1 qubit)
 2N Majorana separati = N qubits
Riferimenti
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Hasane, Kane; Rev. Mod. Phys, vol. 82 (2010)
Kane, Moore; PhysicsWorld (2011)
T.,K.,K.,N.,; PRL, vol. 49, 6 (1982)
Xiao Liang Qi, Physics Today, 33-38 (2010)
Kane, Mele; PRL, vol. 95, 226801 (2005)
König et al.; Science, 318, 766 (2007)
B. Andrei Bernevig, et al.; Science, vol. 314, 1757 (2006);
Stern; Nature, vol. 464, 11 (2010)
Haldane; PRL, vol. 61, 18 (1988)
Kane, Mele; Science, vol. 314 (2006)
WIKIPEDIA!
http://www.youtube.com/watch?v=2kk_CcRXEMY