Grafene e fermioni di Dirac
M. Riccò
Grafite cella unitaria
C=C = 1.42 Å
Produzione di grafeni
Scissione micromeccanica della HOPG
(A.Geim & K. Novoselov, Manchester University 2004)
Stabilità meccanica
Teorema di Mermin-Wagner → Nessun ordine a
lungo range in 2D
Dinamica → in 2D il nr. di fononi a grossa
lungh. d’onda diverge
Criterio di Lindemann <u> ~ 0.1d fusione
Termini anarmonici di accoppiamento tra modi di bending e stretchnig
sopprimono queste fluttuazioni distruttive.
Il grafene presenta “ripples”
Grafite: Proprietà elettroniche
Nel piano
Pz fuori dal piano
Pz =
1
2 6a 5
re
−
r
2a
3
cosθ
8π
Grafite: Proprietà elettroniche
Grafene
Reticolo reciproco (I zona di B.)
Tight Binding (LCAO)
Condizione di Bloch
Grafene: Proprietà elettroniche
Tight Binding (Wallace 1946)
Grafene: Proprietà elettroniche
ponendo
+ fuori, - dentro la zona
di B. esagonale
Vettore che congiunge primi vicini A
Grafene: Proprietà elettroniche
Hamiltoniana di un atomo
di C isolato
Potenziale periodico del reticolo
Potenziale di un atomo di C
Reticoli contigui
Grafene: Proprietà elettroniche
Multigrafene (2 strati)
A-A
A-B
Grafene: Trasporto
0<n<1013cm-2 sia e che h
Mobilità:
15000 cm2V-1s-1 (indip. da T e da n)
Fermioni di Dirac
Meccanica quantistica relativistica → Eq. di Dirac
1- A particelle di spin ½ sono associate antiparticelle
2- Simmetria di coniugazione di carica (stesso spinore
per e- e e+)
3- Lo spettro di energia di particelle con massa ha una
gap 2E0= 2mc2
4- Quando E>>E0 E=c(h/2π) k
5- Quando m=0 E~k per ogni energia.
L’elicità (chiralità) è definita
Spettro di energia conico
E=(h/2π) k vF
Fermioni di Dirac
Nella materia elettroni e buche si comportano in genere diversamente
Nel grafene mostrano una perfetta simmetria rispettando la regola della
simmetria di coniugazione di carica
La funzione d’onda di spinore in QED è rimpiazzata dallo pseudospin σ che
identifica il sottoreticolo (A o B) → chiralità
Effetto Hall
Semiconduttori
Effetto Hall Quantistico
eB
ωc = ∗
m
1
E = Ei + ( N + ) ωc
2
eB 2
ν= L
h
Nr. di stati per ogni
livello di Landau
Effetto Hall Quantistico
eB 2
ν= L
h
Nr. di stati per ogni l.d.L.
Effetto Hall Quantistico con elettr. di Dirac
Fermioni di Dirac →
1 1
Eνσ = ± 2eBv (ν + ± )
2 2
2
F
Effetto Hall Quantistico Anomalo
Fermioni di Dirac →
1 1
Eνσ = ± 2eBv (ν + ± )
2 2
K. S. Novoselov et al. Nature 438 (2005) 197
2
F
(QED)
Singolo layer vs. bilayer
L’origine dei plateau
quantistici frazionari è
nell’esistenza di uno stato ad
E=0
Singolo
Bilayer
Eν ∼ ν (ν − 1)
Effetto dei ripples?
Teorema di Atiyah-Singer (T. delle superstringhe)→
I ripple (inomogeneità
di B fino a 1T) NON
inibiscono l’EHQ
anomalo
Essendo gli stati ad E=0
chirali, sono stabili per
campi di gauge e
curvature dello spazio
Quantum Tunneling
Nei semiconduttori la probabilità di tunnel
con l’altezza e la larghezza della barriera
(quando ΔE<e-h).
Tunnel risonante: quando E(e)=E(h) nella
barriera
Nel grafene T=1
Paradosso di Klein (QED)
Una barriera alta 2mec2 permette la trasmissione dell’el. Attraverso la
formazione di una coppia e-p.
Riformulazione del principio di Heisemberg in QED
