Matematica

Compiti delle vacanze
Classi: IV B prof. Antonella Zenobi, IV D prof. Paola Carcano, IV G prof. Paola Carcano
Anno scolastico 2008/2009
Matematica
Gli studenti con sospensione di giudizio che dovranno affrontare la verifica di recupero prima
dell’inizio dell’anno scolastico 2009/2010 devono:
 ripassare tutto il programma
 svolgere tutti gli esercizi delle verifiche allegate
 svolgere i test on-line riportati sul sito www.liceomeda.it nella sezione didattica
Gli studenti promossi devono
 svolgere come ripasso gli esercizi delle verifiche 1,4,7, 10, 14
 svolgere i test on-line riportati sul sito
All’inizio dell’anno scolastico 2009/2010 tutti gli studenti svolgeranno una verifica volta a valutare
il lavoro svolto durante le vacanze; tale verifica costituirà per tutti la prima valutazione.
COMPITI DI MATEMATICA
VERIFICA 1
1) 9senxtgx 
4 cos x
1  tg 2 x
2) 3  cos x  5sen
x
2




sen  x   3sen x    1
3
6


0
3)
cos 2 x  cos x  1


2 3
4senx cos x  2 cos    x   1  0
4) 
2


tgx

3

VERIFICA 2
1) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche:
x


a) cos 2 x    senx  0 b) senx  3sen  0 c) 8sen 3 4 x   1  0
2
3

2)Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:




sen  x   3sen x    1
2senx(1  2 cos x)
3
6


0
0
a)
b)
cos 2 x  cos x  1
senx  cos x  1
3)Traccia il grafico della funzione y  sin x  3 cos x  3 e determina:
a) le intersezioni con gli assi cartesiani;
b) il periodo
4) Risolvi i seguenti problemi :
 Condurre in una circonferenza avente centro O e raggio r una corda AB tale che
7
cos AOˆ B   . Determinare la misura di AB. Tracciate poi le semirette tangenti all’arco
25
AB nei suoi estremi, indicare con C il loro punto di intersezione, calcolare i segmenti di
tangente e l’area del quadrilatero AOBC
 Dal vertice A di un triangolo ABC equilatero di lato l si conduca una semiretta che
intersechi il triangolo e tale che la somma dei quadrati delle distanze dai vertici B e C sia
1/2l2.
VERIFICA 3
1. In una semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r è inscritto il quadrilatero ACDB del
quale si conosce il lato CD = r. Determinare l’angolo AOC in modo che il perimetro del
quadrilatero sia 5r. Generalizzare il problema e discutere il numero di soluzioni ponendo il
perimetro uguale a kr, con k numero reale positivo.
2. In un triangolo acutangolo ABC si tracci l’altezza AH. Sapendo che BAˆ H  45 , che
4
cos(CAˆ H )  e che l’ortocentro O di ABC dista 1 da A, si determinino il cos( BAˆ C ) e le
5
misure dei lati del triangolo.
3. Data la semicirconferenza di centro O e di diametro AB=2r, si tracci la retta s tangente ad
essa in A e sia C il punto medio dell’arco AB. Sia M è un punto appartenente all’arco BC e
P il punto di intersezione tra s e la retta passante per O ed M.
a. Esprimere in funzione dell’angolo MOˆ B la differenza 2OP  OM e rappresentare la
funzione ottenuta mettendo in evidenza il tratto relativo al problema (1 pto)
b. Determinare l’angolo MOˆ B in modo che l’area del triangolo AMB sia maggiore di
2
3
MB
4
c. Discutere la relazione Area(AOP)=2kr( 2OP  OM ) , con k numero reale positivo
4. Considerare il quadrato ABCD di lato 2r e costruire internamente ad esso una
semicirconferenza di diametro AB. Sia P un punto variabile sulla semicirconferenza:
indicare con x l’angolo PAˆ B .
PK 3

 Determinare le soluzioni dell’equazione
PQ 4
 Esprimere la funzione: y  PK  PQ e dire per quale posizione di P la funzione ha valore
minimo o massimo.
VERIFICA 4
3
1. Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, è cos BAˆ C  . Condurre per A e internamente
5
all’angolo CAˆ B una semiretta in modo che, indicato con D il punto di intersezione di essa
6
con il lato BC, si abbia: AD  BD  k CA , dove k è un numero positivo.
5
2. Sulla semicirconferenza di diametro AB =2r considerare il punto C tale che ABˆ C  30 e
sull’arco CB un punto D con DBˆ C  x . Sia T il punto di intersezione di DA e BC.
DT
Esprimere la funzione: f(x)=
e rappresentarla graficamente indicando il tratto relativo al
TC
problema. Calcolare per quale valore di x si ha f(x)= 2 . Generalizzare il problema
discutendo le soluzioni dell’equazione f(x)=k, con k numero reale.
3. Presi i punti D e C rispettivamente sulle tangenti in A e B a una semicirconferenza Di
diametro AB =2r, si abbia AD  CB  r . Sia P un punto sulla semicirconferenza. Discutere
2
2
2
l’equazione: PC  2 PD  2 AP  kr 2 , con k numero reale.
x
senx  cos
2
4.
0
cos x  3senx  3
5.
sen 2 x  cot x
0
2 3 cos 2 x  sen 2 x  3
VERIFICA 5
Risolvere le seguenti disequazioni :
4 x  2 x2  3
1
 0 2.
1.
2. log 3 ( x  2)  2 log 1 x 
log 1 log 1 ( x  2)
log 2 3
3
5
5
3. 3 senx 2  33 senx  12  8  3 senx
4.
ln( senx)  ln( senx  3)
2
ln( senx  1)
x
5. Risolvere graficamente:
1
1
   1   log 2 x
2
2
6. Dato un semicerchio di centro O e diametro AB=2r, determinare una corda CD, in modo che
COˆ D sia retto e che l’area della superficie generata dalla corda CD, ruotando di un giro
completo intorno alla retta AB, sia   k 2r 2 . Discussione. (2.5 punti)
VERIFICA 6
1) Dato il triangolo rettangolo isoscele ABC, retto in C, si descriva la semicirconferenza di
diametro AC esterna al triangolo. Sia P un punto di tale circonferenza. Si ponga l’angolo
2
2
PAˆ C  x e si rappresenti la funzione: y  3 AP  PB
2) Indicare il dominio della funzione seguente, trovare le intersezioni con gli assi cartesiani e
1
y
rappresentarla graficamente:
1
1 2x
3) Risolvere graficamente:
1
ln( 1  x )  1   
2
x 1
2
2senx  1
determina:
cos 2 x  1
 il periodo, il dominio e il segno della funzione
 gli eventuali asintoti
Disegna il grafico della funzione e deduci da tale grafico quello delle funzioni:
4) Data la funzione: y 
y  log 1 f ( x)
3
3
e  
2
f ( x)
VERIFICA 7
1) log 2 log 1 x  1
2) 4 2 x 1 
2
7 x
 9  7  3 2 x  16 x 1
3
3)
ln x
ln x  1
2

1
2
log 4 cos x  log 2 cos x  0

4)  log ( 1  1  1)  0
1

32 x 3 x
2

5) Studiare, al variare di k, il dominio della funzione: y  log k ( x  1)  1 .
6) Risolvere graficamente la disequazione seguente: ln x  1  ln  x  1
7) Per ognuna delle seguenti funzioni determina il dominio, traccia il grafico:
log x ( x  1)
a) y 
b) y  [log x 2 2 x1 (4)] 1
1
log x
2
VERIFICA 8
Rappresentare (come funzione composta):
1) y  log 1 ( senx  3 cos x)
y
2)
2
1
1 2
x 2 2 x
3) 1  ln( x 2  1)
4) Rappresentare (Determinare il dominio, il segno, le intersezioni con gli assi, gli eventuali
asintoti) la funzione seguente:
y
x2  2
x2  x
5) Rappresentare (Determinare il dominio, il segno, le intersezioni con gli assi, gli eventuali
1
asintoti) la funzione seguente: y 
log 1 ( x 2  x )
2
VERIFICA 9
1) Rappresentare la funzione: y  tg
1
y  log f ( x) e y   
2
x
 1  1 e successivamente le funzioni:
2
f ( x)
2) Rappresentare la funzione: y  3senx  cos x e successivamente le funzioni:
1
e y  f (x)
y
f ( x)
3) Rappresentare (Determinare il dominio, il segno, le intersezioni con gli assi, gli eventuali
x 1
asintoti) la funzione seguente: y 
x 2
4) Rappresentare (Determinare il dominio, il segno, le intersezioni con gli assi, gli eventuali
1

y  log 1   2 x 
asintoti) la funzione seguente:
2

2
VERIFICA 10
Problema
Un cono circolare retto è circoscritto ad una semisfera di raggio noto r il cui
cerchio di base giace sulla base del cono.
a) Esprimi il volume del cono in funzione dell’angolo x che il suo apotema
forma col piano di base.
r
b) Determina (senza tener conto delle limitazioni geometriche del problema)
il dominio della funzione ottenuta, la periodicità il segno e gli eventuali
asintoti e traccia un grafico probabile.
c) Determina il valore di x affinché l’area laterale del cono sia doppia di quella di base.
Quesiti
1) Determina il dominio della funzione y 
x  x e tracciane il grafico. La funzione è iniettiva?
2) Risolvi graficamente la seguente disequazione: ( x  1)e x  1
3) Per ciascuna richiesta scrivi una funzione che la soddisfi:
a) funzione periodica di periodo 4
b) funzione non periodica limitata inferiormente e superiormente
c) funzione con massimo uguale a 3 e illimitata inferiormente
4) Dimostra che il volume di un tronco di cono di raggi R e r ed altezza h è:

V  h(r 2  R 2  rR )
3
5) Indica quali sono le forme di indecisione e risolvi i seguenti limiti (giustificando tutti i
passaggi):
lim
x 2
1
2

(3 x  1)e x
lim
x 2
1
2

(3 x  1)e x
2
lim log 2 (3x  1)
x
3
2 x
lim ( x  1)
x
6) Dai la definizione di asintoti (orizzontale, verticale e obliquo) di una funzione.
Determina le equazioni degli asintoti per le seguenti funzioni:
1  2x 2
b) y 
5x  3
a) y  ln  x  1
c) y 
x
x
e 1
VERIFICA 11
Disequazioni


1) 2 sin  2 x    1  0
3

3)
2)
2  3 sin x cos x
0
2 cos x  3
sin 2 x  3 sin x cos x
0
2 sin x  3 cos x


Grafici
Per ciascuna delle seguenti funzioni traccia il grafico e determina massimo e minimo (quando
esistono)
1) y 
tan 2 x  3 tan x  2
tan x  2
2) y  2 sin 2 x  3
3) y  3 cos( 2 x)  sin( 2 x)  1
Problemi

7
1) Dato il trapezio ABCD tale che: Aˆ  Dˆ  , AB  56a , BC  50a e cos ABˆ C 
determina
2
25
le misure dei restanti lati.
2
 considera rispettivamente i punti A e B tali che OA  a e
3
OB  2a . Sia P un punto interno all’angolo tale che OP  2a ; posto AOˆ P  x , determina
2) Sui lati OX e OY dell’angolo XOˆ Y 
2
2
2
l’espressione di f ( x)  AP  2 AM  PB , essendo M il punto medio del segmento OP . Qual è il
valore minimo di tale funzione, tenendo conto delle limitazioni del problema ?
3) Data la semicirconferenza di diametro
che: BAˆ C  2DBˆ A  2x
AB  2r , conduci le corde AC e BD tali
e indica con M il loro punto di intersezione. Determina l’espressione di f ( x) 
AB
DB
e
3
2 AM
MB
tracciarne il grafico.
4) Sia M il punto medio del segmento AB  2a . In uno dei due semipiani da AB, si fissi un punto P
3
tale che cos( APˆ M )  . Posto PAˆ M  x , determina per quali valori 5 AP  PM  5a .
5
VERIFICA 12
1) Calcola il valore delle seguenti espressioni: (punti: 2)

 1 
a) sin  2 arccos  
 3 


 1 
b) cos  arcsin    
 3 
3

 1 
c) tg  arccos   
 3 
2
1

d) sin  arctan 4 
2

2) Considera la funzione f ( x)  sin x  3 cos x  1 :
a) determina le intersezioni con gli assi cartesiani;
b) traccia il grafico e specifica se è una funzione invertibile (motiva la risposta)
c) Deduci il grafico di g ( x) 
3) Considera la funzione y 
(punti: 1.75)
3 cos x  sin x  1
sin 2 x
 x
cos 2  
2
a) determina il dominio
b) traccia il grafico
(punti: 1.25)
4) Risolvi le seguenti equazioni (punti: 2)
a) sin 2 x  3 sin x cos x  2  0
b) 5 sin x  5 cos x  1  0


x 3 
c) sin 2 x   sin  x    0
d) tan      1
6

2 4 
5) Risolvi le seguenti disequazioni (punti: 1.5)
1  3 tan x
3 cos x
0
0
a)
b)
1  2 sin x
2 cos x  1
4 cos 2 x  3
0
c)
sin x
6) Scrivi l’equazione della parabola p che è tangente all’asse delle ascisse nel suo punto V di ascissa -5 e
passa per A(0;10). Determina sull’arco AV il punto P per cui l’area del triangolo PAO vale 10. (punti: 1.5)
VERIFICA 13
A)
Traccia i grafici delle seguenti funzioni:
1
1
1) y  arccos x  2
2) y   arctan( x)
3) y  sin x 
4
2


4) y  cos 3x  
5) y  tan x  1
6) y  2 arcsin(  x)
4

B) Calcola i valori delle seguenti espressioni:

3
 1 3 
1) sin(   arctan  )
2) cos arcsin      
2
 3 2 


 1 
3) tan    arccos   
4) cos(arctan 7  3)
 3 

2
3
5) Calcola sin  , sapendo che tan   e che     
7
2
1

e che     0
5
2
C) Risolvi le seguenti disequazioni elementari
6) Calcola cos  , sapendo che sin   
3
2
1
4) sin x  
2
2
7) cos x  
5
1) cos x 
2) cos x  
5) tan x  
8) sin x  
2
2
1
3) sin x  
3
2
6) tan x  1
3
2
5
D) Scrivi gli angoli corrispondenti agli archi individuati nelle seguenti figure:
2
5

4

5
1
1
2
4
5
2
2

4
5
7
12
3
2
1
3

6
1
2
1
2
VERIFICA 14
Funzioni
1  ln( x  1)
3x  1  2
a) determina il dominio
b) determina l’intersezione con gli assi
c) studia il segno
d) Riporta tutte le informazioni ottenute in su sistema di riferimento cartesiano
2  ln( x  1) 4
2) Traccia il grafico della funzione y 
4
a) determina il dominio
b) deduci dal grafico i limiti agli estremi del dominio
c) indica, fornendo una esauriente motivazione, se la funzione è invertibile
1) Data la funzione: y 
Disequazioni
Risolvi le seguenti disequazioni
2 cos x  3
1)
0
cos x(2 sin x  1)
2) sin x  2 cos x  1  0
3) 3 2 sin x  2  3sin x 1  5  0
4) log 32 x  log 3 (3x)  3
5) 4 x  3  2 x  1  0
6) log 3 ( x  2)  arcsin x  0
Problemi
1) Considera i punti C e D appartenenti alle semicirconferenze opposte rispetto al diametro AB di
una circonferenza di raggio r, tali che CBˆ A  2 ABˆ D . Posto ABˆ D  x esprimi la funzione
CD
f ( x) 
, tracciane il grafico e determinane, se esiste, il valore massimo.
AD
2) Condurre in una circonferenza avente centro O e raggio r una corda AB tale che
7
cos AOˆ B   . Determinare la misura di AB. Tracciate poi le semirette tangenti all’arco AB
25
nei suoi estremi, indicare con C il loro punto di intersezione, calcolare i segmenti di tangente e
l’area del quadrilatero AOBC.
9