Relazioni fra lati ed angoli di un triangolo - Notebook Italia

RELAZIONI FRA LATI ED ANGOLI DI UN TRIANGOLO
TEOREMA. In ogni triangolo, se due lati sono disuguali, al lato maggiore è opposto
l’angolo maggiore.
Hp
തതതത > ‫ܥܤ‬
തതതത
‫ܥܣ‬
Th
෠
‫ܣ > ܤ‬መ
Dimostrazione
തതതത ≅ ‫ܥܤ‬
തതതത . Il triangolo ‫ ܤܥܦ‬risulta
Sul lato maggiore ‫ ܥܣ‬prendiamo un punto D in modo che ‫ܥܦ‬
෡ ‫ܤܥ ≅ ܤ‬෠ ‫ܦ‬. L’angolo ‫ܦܥ‬
෡ ‫ ܤ‬è un angolo esterno al triangolo ‫ ܦܤܣ‬e quindi
isoscele, quindi ‫ܦܥ‬
෡ ‫ܣܦ > ܤ‬መ‫ܤ‬. Anche ‫ܤܥ‬෠ ‫ܣܦ > ܦ‬መ‫ܤ‬, ma ‫ܤܥ‬෠ ‫ܤܥ > ܣ‬෠ ‫ܣܦ > ܦ‬መ‫ܤ‬, quindi ‫ܤ‬෠ > ‫ܣ‬መ, come volevasi
‫ܦܥ‬
dimostrare.
TEOREMA. In ogni triangolo, se due angoli sono disuguali, all’angolo maggiore è opposto
il lato maggiore.
Hp
‫ܤ‬෠ > ‫ܣ‬መ
Th
തതതത > ‫ܥܤ‬
തതതത
‫ܥܣ‬
Dimostrazione
La dimostrazione di questo teorema è per assurdo, ovvero una dimostrazione che consiste nel
negare la tesi che porta a negare anche l’ipotesi, cosa impossibile perché l’ipotesi è sempre vera.
തതതത ≅ ‫ܥܤ‬
തതതത , ma questo implica che il triangolo ‫ ܥܤܣ‬sia isoscele e che
Negando la tesi, diciamo che ‫ܥܣ‬
መ
തതതത < ‫ܥܤ‬
തതതത , per il teorema precedente, ‫ܤ‬෠ < ‫ܣ‬መ e anche
෠
‫ܣ ≅ ܤ‬, ma ciò è impossibile. Se diciamo che ‫ܥܣ‬
തതതത ≅ ‫ܥܤ‬
തതതത e ‫ܥܣ‬
തതതത < ‫ܥܤ‬
തതതത , allora ‫ܥܣ‬
തതതത > ‫ܥܤ‬
തതതത , come
questo è impossibile. Pertanto non potendo essere ‫ܥܣ‬
volevasi dimostrare.
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TEOREMA. In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due ed è
maggiore della loro differenza.
Th
തതതത < ‫ܤܣ‬
തതതത + തതതത
‫ܥܣ‬
‫ܥܤ‬
തതതത
തതതത
തതതത
‫ ܤܣ < ܥܤ‬+ ‫ܥܣ‬
തതതത < ‫ܥܣ‬
തതതത + ‫ܥܤ‬
തതതത
‫ܤܣ‬
തതതത > ‫ܤܣ‬
തതതത − ‫ܥܤ‬
തതതത
‫ܥܣ‬
തതതത − ‫ܥܣ‬
തതതത
തതതത > ‫ܤܣ‬
‫ܥܤ‬
തതതത > ‫ܥܣ‬
തതതത − ‫ܥܤ‬
തതതത
‫ܤܣ‬
Dimostrazione
Nel triangolo ‫ܥܤܣ‬, per costruzione, il lato ‫ ܤܣ‬è maggiore degli altri. Quindi, le prime due relazioni
തതതത < ‫ܤܣ‬
തതതത e di conseguenza ‫ܥܣ‬
തതതത < ‫ܤܣ‬
തതതത + ‫ܥܤ‬
തതതത e ‫ܥܤ‬
തതതത < ‫ܤܣ‬
തതതത e quindi
della tesi sono ovvie, essendo ‫ܥܣ‬
തതതത < ‫ܤܣ‬
തതതത + ‫ܥܣ‬
തതതത . Ci limitiamo a dimostrare la terza relazione.
‫ܥܤ‬
തതതത ≅ ‫ܤܥ‬
തതതത. Il triangolo ‫ ܤܦܥ‬è isoscele sulla base
Prolunghiamo ‫ ܥܣ‬dalla parte di C di un segmento ‫ܦܥ‬
෡
෠
෡ ‫ܤܣ < ܤ‬෠ ‫ܦ‬
DB e quindi ‫ܦ ܤܥ ≅ ܤܦܥ‬. Consideriamo ora il triangolo ‫ܦܤܣ‬. Di esso sappiamo che ‫ܦܣ‬
෡ ‫ ܤ‬è congruente ad una parte di ‫ܤܣ‬෠ ܲ. Quindi, poiché in un triangolo, all’angolo
perché ‫ܦܣ‬
തതതത > ‫ܤܣ‬
തതതത , ma ‫ܦܣ‬
തതതത ≅ ‫ܥܣ‬
തതതത + ‫ܦܥ‬
തതതത e poiché തതതത
തതതത, avremo
‫ܤܥ ≅ ܦܥ‬
maggiore è opposto il lato maggiore, ‫ܦܣ‬
തതതത ≅ ‫ܥܣ‬
തതതത + ‫ܤܥ‬
തതതത. Da ciò ‫ܤܣ‬
തതതത < ‫ܥܣ‬
തതതത + ‫ܤܥ‬
തതതത , come volevasi dimostrare.
‫ܦܣ‬
തതതത + ‫ܤܥ‬
തതതത > ‫ܤܣ‬
തതതത . A ciascun membro sottraiamo
Quest’ultima relazione la scriviamo al contrario: ‫ܥܣ‬
തതതത e poi ‫ܤܥ‬
തതതത, otteniamo così: ‫ܥܣ‬
തതതത + ‫ܤܥ‬
തതതത − ‫ܥܣ‬
തതതത > ‫ܤܣ‬
തതതത − ‫ܥܣ‬
തതതത E ‫ܥܣ‬
തതതത + ‫ܤܥ‬
തതതത − ‫ܤܥ‬
തതതത > ‫ܤܣ‬
തതതത − ‫ܤܥ‬
തതതത.
prima ‫ܥܣ‬
Dimostriamo così le altre relazioni.
തതതത > ‫ܥܣ‬
തതതത − ‫ܥܤ‬
തതതത è ovvia siccome ‫ܤܣ‬
തതതത > ‫ܥܣ‬
തതതത , quindi ‫ܤܣ‬
തതതത > ‫ܥܣ‬
തതതത − ‫ܤܥ‬
തതതത, come
L’ultima relazione, ‫ܤܣ‬
volevasi dimostrare.
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