la frazione e le operazioni con essa

LA FRAZIONE
Una frazione è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa
dimensione.
ES:
Il denominatore: indica il numero totale di parti uguali che compone l’intero.
Il numeratore: indica il numero di parti che è stato considerato.
Una frazione può essere:
•
propria: se il numeratore è minore del denominatore;
Es:
•
impropria: se il numeratore è maggiore del denominatore;
Es:
•
8
4
unitaria: se ha numeratore 1;
Es:
•
8
7
apparente: se il numeratore è multiplo o uguale al denominatore e il valore della frazione è un numero intero;
Es:
•
3
5
1
5
mista: una frazione scritta come un intero più una frazione propria.
Es: 3 +
•
2
5
ridotta ai minimi termini – o irriducibile – se il numeratore e il denominatore sono numeri primi fra loro (cioè
il loro M.C.D. è 1);
Es:
8
9
Casi particolari:
1.
0
=0
n
O PERARE
CON LA FRAZIONE
Si può calcolare una frazione in 2 modi:
1. operatore diretto sull’intero
Es:
3
di 35 = 35 : 5 ⋅ 4 = 28
5
2. operatore inverso sull’intero
Es:
4
cioè 8 = 8 : 4 ⋅ 7 = 14
7
2.
n
= impossibile
0
3.
0
= in det er min ata
0
F RAZIONI E QUIVALENTI
Una frazione definisce sempre un numero razionale (sia esso intero che decimale). Due frazioni diverse possono però definire lo
stesso numero.
Es: 3
2
=
6 9
= = ...... = 1, 5
4 6
Le frazioni che rappresentano lo stesso numero fanno parte della stessa CLASSE (con lo stesso valore) e sono dette EQUIVALENTI.
La frazione che tra tutte quelle di una stessa classe ha il numeratore e il denominatore primi fra loro è detta CAPOCLASSE poiché è la
più piccola ottenibile, cioè è ridotta ai minimi termini.
Ogni numero razionale può essere espresso unicamente tramite una frazione capoclasse o ridotta ai minimi termini.
Le altre frazioni della classe sono dette RIDUCIBILI e sono infinite, poiché se si divide il numeratore e il denominatore per una stessa
quantità si ottiene sempre una frazione equivalente e della stessa classe.
Le frazioni riducibili infatti si ottengono moltiplicando la capoclasse per un certo fattore:
3 15 ⎛ 3 ⋅ 5 ⎞
=
=⎜
⎟
2 10 ⎝ 2 ⋅ 5 ⎠
ES:
Le frazioni possono essere posizionate su una retta dei numeri Reali (R) in base al loro valore. Per ogni valore della retta esistono
infinite frazioni e tra un valore e l’altro ci sono infiniti numeri decimali. Tale situazione definisce l’insieme delle frazioni DENSO.
4
10
6
5
13
5
2
5
S EMPLIFICAZIONE CON RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI
Le frazioni possono essere riportate alla propria capoclasse in modo da utilizzare numeri (al numeratore e al denominatore) molto
bassi. Questo è possibile perché il valore della frazione non cambia anche se si utilizza la frazione equivalente a quella di partenza.
Per far ciò esisstono 3 metodi:
1.
SEMPLIFICAZIONI SUCCESSIVE:
si dividono sia il numeratore che il denominatore per un divisore comune, fino a che non
esistono più divisori comuni.
Es: 288
252
2.
=
288 : 2 144 : 2 72 : 3 24 : 3 8
=
=
=
=
252 : 2 126 : 2 63 : 3 21 : 3 7
SEMPLIFICAZIONE PER IL M.C.D.: si
Es:
288 = 2 5 ⋅ 32
252 = 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7
MCD = 2 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36
3.
utilizza l’MCD dei due numeri in un’unica divisione.
288 288 : 36 8
=
=
252 252 : 36 7
SEMPLIFICAZIONE TRA FATTORI COMUNI:
E S:
288 = 2 ⋅ 3
5
2
252 = 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7
si scompongono i numeri in fattori primi e si semplificano i fattori corrispondenti.
288 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 8
=
=
252
2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3⋅ 7
7
T RASFORMAZIONE AL MINIMO COMUNE DENOMINAOTRE (mcd)
Per trasformare le frazioni in modo tale che abbiano lo stesso denominatore possiamo trovare il minimo comune multiplo dei
denominatori.
Es:
3 5 2
; ;
4 6 3
mcm(4; 6; 3) = 12
Ogni frazione si trasformerà trovando il multiplo con cui moltiplicare il numeratore di ciascuna:
3
3⋅ 3 9
→
=
→ ↑=
=
4
12 12 : 4
3
12
5
5 ⋅ 2 10
→
=
→ ↑=
=
6
12 12 : 6
2
12
2
2⋅4 8
→
=
→ ↑=
=
3 12 12 : 3
4
12
C ONFRONTO DI 2 FRAZIONI
Abbiamo 4 casi possibili e la dimostrazione si ottiene moltiplicando i denominatori per un fattore comune
1.
una propria e l’altra impropria - è maggiore quella impropria
Es: 7 2
infatti quella impropria è data dall’intero con aggiunta di una parte, mentre quella propria non
>
rappresenta neanche un’intero.
4 3
2.
stesso denominatore - è maggiore quella con numeratore maggiore
Es: : 4 2
infatti quella con numeratore maggiore considera più parti dell’intero rispetto a quella con numeratore
>
minore.
5 5
3.
stesso numeratore - è maggiore quella con denominatore minore
Es: 5 5
infatti se si trasformano in frazioni con lo stesso denominatore, quella con denominatore minore è
>
maggiore
7 8
5⋅8 5⋅7
>
7⋅8 8⋅7
40 35
>
56 56
4.
differenti - devono essere trasformate con il metodo del mcd, in modo da ricondurle al primo caso
Es: 3 5
7
>
8
3⋅ 8 5 ⋅ 7
>
7⋅8 8⋅7
24 35
<
56 56
O PERAZIONI CON LE FRAZIONI
1. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Per poter addizionare due frazioni esse devono avere lo stesso denominatore. La frazione risultante si ottiene sommando i
numeratori e mantenendo lo stesso denominatore perché si considerano le parti di uno stesso intero.
Es:
3 2 2+3 5
+ =
=
7 7
7
7
7 5 3 7−5+3 5
− + =
=
8 8 8
8
8
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore devono essere trasformate in frazioni equivalenti con o stesso denominatore:
2. MOLTIPLICAZIONE
Per moltiplicare due frazioni basta moltiplicare i numeratori tra loro e i denominatori tra loro, siano essi due o più.
Se moltiplichiamo una frazione per una certa quantità otteniamo:
Es:
3⋅
3 3 3 9
= ⋅ =
4 1 4 4
infatti
3 3 3 3+ 3+ 3 9
+ + =
=
4 4 4
4
4
È possibile che il numeratore di una frazione e il denominatore dell'altra abbiano un fattore comune: in questo caso è possibile
(prima di avere eseguito i due prodotti) semplificare il risultato, con un metodo chiamato SEMPLIFICAZIONE IN CROCE :
Se calcoliamo una catena di moltiplicazioni è possibile semplificare in croce un qualsiasi denominatore con un qualsiasi numeratore.
MAI semplificare due numeratori o due denominatori fra loro.
IL RECIPROCO ( O INVERSO ): data una frazione, il suo reciproco è una frazione che si ottiene invertendo il numeratore con il
denominatore.
Il prodotto di una frazione con il suo reciproco è uguale a 1.
Es:
IMP: il reciproco di un numero intero è l’unità frazionaria
3⋅
1 3 1
= ⋅ =1
3 1 3
LA POTENZA : è una moltiplicazione con i fattori tutti uguali, per cui la potenza di una frazione si calcola elevando all’esponente
dato sia il numeratore che il denominatore.
Es:
2
32
9
⎛ 3⎞
=
=
⎜⎝ ⎟⎠
2
4
4
16
Ci sono delle differenze di scrittura:
3. DIVISIONE
Per dividere due frazioni tra di loro si deve moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda.
Es:
5 20 5 9
:
= ⋅
=
6 9 6 20
Se calcoliamo una catena di divisioni è possibile trasformare tutte le divisioni in moltiplicazioni facendo il reciproco di tutte le
frazioni che hanno alla loro sinistra il simbolo di divisione (cioè dalla seconda divisione in poi).
Es:
16 4 9 16 3 25
: :
= ⋅ ⋅
=
15 3 25 15 4 9
4. LE ESPRESSIONI ARITMETICHE CON LE FRAZIONI
Le regole delle espressioni sono sempre le stesse, solo che bisogna ricordarsi alla fine di ogni riga di ridurre ai minimi termini
tutte le frazioni riducibili ottenute nella successione dei calcoli.
Es:
⎡⎛ 3 ⎞ 2 8 1 2 ⎤ 10
=
⎢⎜ ⎟ ⋅ + : ⎥ −
⎝
⎠
4
9
6
3
24
⎢⎣
⎥⎦
⎡ 9 8 1 3⎤ 5
= ⎢ ⋅ + ⋅ ⎥−
=
⎣ 16 9 6 2 ⎦ 12
⎡1 1 ⎤ 5
= ⎢ + ⎥−
=
2
4
12
⎣
⎦
⎡ 2 + 1⎤ 5
=⎢
−
=
⎣ 4 ⎥⎦ 12
3 5
= −
=
4 12
9−5 4 1
=
=
=
12
12 3