30/03/2012
STATISTICA A – D
(72 ore)
Marco Riani
[email protected]
http://www.riani.it
Elementi che fanno variare l’ampiezza
dell’intervallo di confidenza (p. 70)
• s.q.m. dell’universo σ
• Più σ è elevato, maggiore è la variabilità
della v.a. media campionaria
stima
meno precisa
• Livello di confidenza 1-α
• Aumentando 1- α, si riduce α si
incrementa z(α), t(α) (l’intervallo aumenta)
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Elementi che fanno variare l’ampiezza
dell’intervallo di confidenza
• Numerosità del campione n
• Per dimezzare l’ampiezza occorre
quadruplicare n
• Se n è “piccolo” non vale più il teorema
centrale del limite
t(α/2) sostituisce z(α/2)
• σ ignoto
fattore correttivo (n/(n-1))0,5
Significato della probabilità associata
all’intervallo di confidenza
• Formulazione deduttiva
• Principio del campionamento ripetuto
⇒ distribuzione campionaria di
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• Formulazione induttiva
µ è una costante (non una v.a.) ⇒ come si
può attribuire una probabilità ad
un’affermazione che riguarda µ?
Principio del campionamento ripetuto ⇒
gli estremi dell’intervallo sono v.a. (v.
esempio pp. 64-66)
Stima della frequenza relativa
(grandi campioni)
• V.a. Frequenza relativa campionaria, P:
E(P) = π
• Teorema centrale del limite
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Intervallo di conf. della
frequenza relativa
• Intervallo di confidenza di livello 1 – α
per la frequenza relativa dell’universo
π, nel caso di grandi campioni:
Esempio: stima della quota di mercato
• n = 400 consumatori; 82 acquirenti
• p = 82/400 = 0,205 ⇒ 20,5% (stima
campionaria di π)
• Calcolare l’intervallo di confidenza di π
al livello di confidenza di 0,95
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•
•
•
•
Esempio: stima della quota di mercato
n = 400 consumatori; 82 acquirenti
p = 82/400 = 0,205 ⇒ 20,5% (stima
campionaria di π )
errore standard della v.a. P:
s(p) =
= 0,020
1−α
−α=0,95
⇒
z(0,025) = 1,96
−α
0,205±
±1,96⋅⋅0,020
Esempio: stima della quota di mercato
• n = 400 consumatori; 82 acquirenti
• p = 82/400 = 0,205 ⇒ 20,5% (stima
campionaria di π)
• Calcolare l’intervallo di confidenza di π
al livello di confidenza di 0,99
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• 1 − α = 0,99 ⇒
z(0,01) = 2,58
0,205 ± 2,58⋅⋅0,020
• Intervalli ampi (stima poco precisa)
aumentare n
⇒
Cosa succede se n è piccolo?
Piccoli campioni
• Relazione inversa tra σ(P) e
:
• Il teorema centrale del limite non è
applicabile ⇒ occorre fare riferimento
alla distribuzione esatta della v.a. P:
distribuzione binomiale
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Riassunto delle puntate
precedenti sulla stima per
intervallo
X v.c. che denota la distribuzione
del fenomeno nell’universo
X~ distribuzione qualsiasi (µ, σ2)
µ< ∞
σ<∞
per n elevato (>30) (sia nel caso in cui σ sia noto
sia nel caso in cui σ sia stimato con scor)
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Se n<30 e Il fenomeno presenta
distribuzione normale nell’universo
X~N(µ, σ2)
• Se σ2 è noto
• per qualunque n (anche n=1)
• Se σ2 ignota e viene stimato con scor allora
distribuzione “t di
Student” con n-1
gradi di libertà
Stima della frequenza relativa
(grandi campioni)
• X~ fenomeno nell’universo
distribuzione Bernoulliana con
parametro π
• P = frequenza relativa campionaria=
numero di successi /n = stimatore di π
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Caratteristiche della v.a. P
(e confronto con v.a. media campionaria)
• Forma di distribuzione
– Esatta ⇒ binomiale: P=S/n ∼ B(n, π)/n
– Se n>100 si può applicare il Teorema centrale
del limite:
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Esercizio
Il direttore di un centro commerciale vuole
modificare l’orario di apertura del centro. In
un campione casuale di 300 clienti, 246 si
sono dichiarati favorevoli al nuovo orario
proposto.
• Si determini l’intervallo di confidenza della
frequenza relativa dell’universo
•
con probabilità 0,95
•
con probabilità 0,995
e si commentino in termini comparati i
suddetti intervalli
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• n = 300 p = 246/300 = 0,82
• Z(P) ~ N(0,1) teorema centrale del limite
• Intervallo di confidenza al 95%
z(α/2) = ± 1,96
0,82 ±1,96 ·0,022
Pr{0,777 ≤ π ≤ 0,863} = 0,95
0,025
0,025
0,95
−z(α/2)
z(α/2)
-1,96
1,96
• n = 300 p = 246/300 = 0,82
• Z(P) ~ N(0,1) teorema centrale del limite
• Intervallo di confidenza al 99,5% (0,995)
0,0025
0,0025
0,9950
−z(α/2)
z(α/2)
-2,81
2,81
F(2,81)=0,9975
Pr{0,758 ≤π≤
≤ 0,882} = 0,995
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Confronto tra i due intervalli di
confidenza
Pr{0,777 ≤ π ≤ 0,863} = 0,95
Pr{0,758 ≤π≤
≤ 0,882} = 0,995
Esercizio
• La deviazione standard della statura degli
studenti iscritti ad una università è 5,8 cm.
Quanti studenti si devono estrarre a sorte
dalla popolazione se si vuole con
probabilità del 90% che l’errore di stima
della media non superi i 2 cm.
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Soluzione: informazioni note
X~(µ 5,82)
• Se l’intervallo di confidenza è al 90% si ottiene
Se vogliamo che l’errore di stima della
media non superi i 2 cm
Esercizi da svolgere
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Esercizio: stima della percorrenza media
delle vetture diesel di un certo modello al
primo guasto
• n=400
=34.000 Km; scor=9000 Km
• Calcolare l’intervallo di confidenza di µ al
95% e al 99%
Esercizio
• I dati che seguono si riferiscono alla
durata (in migliaia di Km) di una cinghia da
automobile in un campione di 15
osservazioni
• 115,4 85,2 89,1 118,3 88,4 109,3 104,3
69,3 105,5 106,8 103,1 101,6 102,9 89,6
109,3
• Facendo le opportune ipotesi, si costruisca
un intervallo di confidenza per la media al
99%
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Esercizio
• Di seguito sono riportati i Km percorsi in un
giorno da un campione di taxi operante in
una grande città
• 173 195 115 122 154 149 120 148 152 68
132 91 120 148 103 101
• Sulla base di questo campione assumendo
che la popolazione generatrice sia normale
è stato determinato il seguente intervallo di
confidenza (116,55 144,7). Si calcoli il livello
di confidenza su cui è stato calcolato
Variante al precedente esercizio
• Se i dati di base fossero stati i seguenti:
• 172 195 115 122 154 149 120 148 152 68
132 91 120 148 103 101
• Quale sarebbe stato il livello di confidenza
dell’intervallo (116,55 144,7)?
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Esercizio
Nella seguente distribuzione di frequenze è
riportato il numero di dipendenti di 50 aziende
tessili operanti in una determinata provincia.
Numero di dipendenti
Frequenze assolute
5
8
12
14
15
545
12
11
11
8
7
1
Si calcoli l'intervallo di confidenza al 99% della media
dell'universo del numero di dipendenti commentando i
risultati ottenuti (con o senza il valore anomalo)
Esercizio
Un’azienda produce rotoli di stoffa della
lunghezza di 70m. Tali rotoli possono
presentare difetti di diversa natura. L’azienda
è interessata a stimare il numero medio di
difetti presenti nei rotoli prodotti. In un
campione casuale di 85 rotoli si è trovata la
seguente distribuzione
n. difetti
0
1
2
3
4
5
6
Frequenza
16
26
22
13
5
2
1
Si determini l’intervallo di confidenza al 99% per
la media dei difetti presenti nei rotoli di stoffa
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30/03/2012
Esercizio
Con riferimento all’esercizio precedente, si
consideri che un rotolo risulta vendibile se
presenta un massimo di 3 difetti. Sulla base
dello stesso campione di cui all’esercizio
precedente, si costruisca un intervallo di
confidenza al 95% per la proporzione di
rotoli considerati vendibili
Esercizio
• Nel processo di controllo del peso delle confezioni di
un determinato prodotto l’azienda esamina un
campione di 800 confezioni e trova che 15 di esse
hanno un peso fuori norma.
• Si determini l’intervallo di confidenza al 97% della
proporzione di pezzi fuori norma.
• Se la proporzione di pezzi fuori norma nell'universo
fosse uguale a 1,5%, effettuando cinque estrazioni
– si calcoli la probabilità di trovare esattamente due pezzi
fuori norma;
– si scriva e si calcoli l'espressione che consente di calcolare
la probabilità di ottenere un numero di pezzi fuori norma
compreso tra due e quattro (estremi compresi).
– rappresentare graficamente la densità
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30/03/2012
Esercizio
• Data una scheda telefonica da 5 euro di
cui non si sa se sia mai stata usata e nel
caso sia stata usata non si conosce
l’ammontare ancora disponibile, è
ragionevole ipotizzare per tale ammontare
X la seguente funzione di densità f(x)=1/5
per [0 ≤x≤5]
• Verificare che f(x)=1/5 per [0 ≤x≤5] sia
una densità e rappresentarla graficamente
• Calcolare il credito residuo atteso (E(X))
• Calcolare la varianza del credito residuo
(VAR(X))
• Devo fare una telefonata da 2 € calcolare
la prob che la scheda sia sufficiente per
fare la telefonata
• Ho 60 schede tutte con un ammontare che
si distribuisce come descritto sopra. Qual
è la prob che l’ammontare complessivo sia
superiore a 170 €
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30/03/2012
Esercizio
• La durata di un macchinario si distribuisce secondo
una distribuzione normale di media 2 anni e scarto
quadratico medio 0,5 anni. Si determini:
1. prob che il macchinario duri più di 28 mesi.
2. l’intervallo di ampiezza 2 anni al quale corrisponde la
massima prob di contenere la durata effettiva del
macchinario. Calcolare tale probabilità.
3. Se il costo di acquisto del macchinario è di 1000
euro e il costo del suo funzionamento è stimato in
150 euro all’anno, si calcolino la media e la varianza
del costo complessivo del macchinario.
Esercizio
• Sia X1, … Xn un campione casuale
estratto da un universo X con la seguente
distribuzione di Cauchy (T di student con
un solo grado di libertà)
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30/03/2012
Richieste
•
•
•
•
•
•
Verificare che f(x; θ, d) è una densità
Rappresentare graficamente f(x; θ, d)
Calcolare la funzione di ripartizione F(x)
Calcolare la mediana di X
Calcolare E(X)
Illustrare se in presenza di un campione
casuale estratto da questa densità è
possibile applicare il teorema centrale del
limite
Continua
• Verificare che 6,314 (ossia il numero
all’incrocio della prima riga e della prima
colonna della tabella di p. 150 del testo di
inferenza) è quantile che lascia alla sua
sinistra una probabilità pari a 0,95
• Trovare il quantile 0,995 (ossia il valore
che lascia alla sua destra una probabilità
pari a 0,005). Verificare che tale numero
risulta uguale a 63,656 (v. tabella di p. 150
del libro di inferenza)
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30/03/2012
Esercizio
• Si consideri una popolazione distribuita
secondo il seguente modello
X
Pi
2
0.3
5
0.6
7
0.1
• Si elenchino tutti i campioni di ampiezza 3 che si possono
estrarre con ripetizione da tale popolazione assegnando a
ciascun campione la relativa probabilità
• Si determini la distribuzione campionaria della media e la
si rappresenti graficamente
• Si calcoli il valore atteso e la varianza della media
campionaria
• Si determini la distribuzione campionaria della mediana ed
il suo valore atteso
Esercizio
• Il tempo impiegato da un meccanico in un
negozio di biciclette per assemblare un
certo tipo di bicicletta può essere
considerato una v.c. normale con media
32 minuti e deviazione standard 3,5
minuti. Si calcoli la probabilità che il tempo
medio per assemblare 10 biciclette
– Non superi 33 minuti
– Sia compreso tra 28,5 e 31,5 minuti
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30/03/2012
Esercizio
•
•
•
•
Sia f(x)=1/2
-1<x<1
Si calcoli
E(X)
E(X+2)
E(X2)
σ2
E(X/4+7)
Esercizio
• Una lotteria mette in palio uno scooter del
valore di 3000 Euro. Vengono venduti
10000 biglietti al prezzo di 1€. Se si
acquista un biglietto qual è il guadagno
atteso? Qual è il guadagno atteso se si
comperano 100 biglietti. SI confronti la
varianza del guadagno nei due casi
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30/03/2012
Esercizio: il gioco dell’intruso
(odd man game)
• 3 persone giocano all’«odd man game».
Ciascuno lancia una moneta. Chi ottiene una
faccia diversa da quella degli altri due è
l’intruso («odd man») e perde.
• Qual è la probabilità che via sia un intruso in
un determinato turno di gioco assumendo che
le monete non siano truccate?
• Qual è la probabilità che siano necessari un
numero di turni pari di gioco per determinare il
perdente («l’odd man»)?
Esercizio: il gioco dell’intruso
(odd man game)
• Si risponda ai quesiti dell’esercizio
precedente assumendo stavolta che il
numero dei giocatori sia uguale a 4 (in
questo caso «l’odd man» è quello che
ottiene una faccia diversa da quella degli
altri 3).
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30/03/2012
Esercizio: il gioco dell’intruso
(odd man game)
• Si risponda ai quesiti dell’esercizio
precedente assumendo stavolta che il
numero dei giocatori sia uguale a n
(in questo caso «l’odd man» è quello che
ottiene una faccia diversa da quella degli
altri n-1).
• Does this seem like a feasible game as n
gets large?
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