Probabilità 68

MATEMATICA
VOLUME 2
pag. 660
n. 68
Un’urna contiene 6 palline verdi, 4 palline nere e 6 palline rosse. Le palline sono
equiprobabili: ciò equivale a dire che vengono prese a caso. Ne prendiamo a caso due.
Calcolare la probabilità che le due palline prese siano diverse, sapendo che una delle due
è verde.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------RISOLUZIONE
Estrarre due palline contemporaneamente
oppure
estrarne una, non rimetterla nell’urna, poi estrarne un’altra
è la stessa cosa.
Condideriamo gli eventi A, B, A ∩ B, B|A.
A = almeno una delle due palline è verde;
B = le due palline sono diverse;
A ∩ B = una pallina è €
verde e l’altra no;
B|A = le due palline sono diverse, sapendo che una delle due è verde.
Domanda: l’evento “le due palline sono diverse e una delle due è verde” a quale degli
eventi precedentemente definiti corrisponde?
Risposta: ad A ∩ B, non a B|A. Attenzione a non confondere, sono eventi diversi e quindi
possono avere probabilità diverse.
Consideriamo
anche l’evento seguente, non strettamente necessario, ma interessante e
€
utile per fare alcune verifiche:
A = nessuna delle due palline è verde.
Riflettere: A è proprio l’evento contrario di A (altrimenti non avremmo potuto indicarlo con
quel simbolo).
Imparare bene cosa vuol dire eventi contrari: se si verifica uno, non si può verificare
contemporaneamente
anche l’altro; se non si verifica uno, di sicuro si verifica l’altro.
€
Calcoliamo le probabilità di questi eventi.
( )
PA =
numero dei casi favorevoli 6 ⋅ 15 + 10 ⋅ 6
=
.
numero dei casi possibili
16 ⋅ 15
Spiegazione.
Sia a numeratore che a denominatore teniamo conto dell’ordine. Sarebbe più difficile non
tenerne conto, perché si rischierebbe, senza accorgersene, di non tenerne conto a
denominatore e tenerne conto, in parte, a numeratore.
Denominatore: la prima pallina si può scegliere in 16 modi, la seconda in 15.
Numeratore: la prima pallina può essere verde e la seconda qualsiasi, oppure la prima
pallina può non essere verde e la seconda sì. La congiunzione “e” si traduce con la
moltiplicazione e la congiunzione “oppure” (che qui ha valore alternativo, cioè il primo
caso a numeratore e il secondo caso a numeratore non si possono verificare
contemporaneamente, sono eventi incompatibili) si traduce con l’addizione.
( )
PA =
6 ⋅ 15 + 10 ⋅ 6
6 ⋅ 15
10 ⋅ 6
3 2 5
=
+
= + =
16 ⋅ 15
16 ⋅ 15 16 ⋅ 15 8 8 8
€
Volendolo fare senza tener conto dell’ordine, si rischierebbe di commettere il seguente
errore:
615
  
numero dei casi favorevoli 1 1 
90
3
PA =
=
=
= , sbagliato.


numero dei casi possibili
120 4
16
 
 2
Nel calcolo precedente, a numeratore, gli errori sono due: non aver tenuto conto di tutti i
casi favorevoli e aver tenuto conto (anche se non sembra) dell’ordine.
( )
Mentre invece dovrebbe essere
615 10 6
   +   
1 1   1 1  6 ⋅ 15 + 10 ⋅ 6
numero dei casi favorevoli
75
5
2
2
PA =
=
=
=
= .
16
numero dei casi possibili
16 ⋅ 15
120 8
 
2
2
( )
Insomma, fare i calcoli senza tener conto dell’ordine, in certi casi complicati, non conviene.
Ricalcoliamo la probabilità dello stesso evento
probabilità totale (+) per eventi incompatibili,
concetto di probabilità condizionata.
6 10 6
P A = P V + P N ∪ R ⋅ P V |N ∪ R =
+
⋅
=
16 16 15
( ) ( ) (
) (
)
A in un altro modo, usando la regola della
la regola della probabilità composta ( ⋅) e il
3 5 2 3 2 5
+ ⋅ = + =
8 8 5 8 8 8
€
Spiegazione.
La prima pallina può essere verde (con probabilità 6/16) e la seconda qualsiasi (con
probabilità 1, evento certo) oppure la prima pallina può non essere verde (con probabilità
10/16) e la seconda verde (con probabilità 6/15).
Anche stavolta “e” si traduce con la moltiplicazione (probabilità composta)
e “oppure” si traduce con l’addizione (probabilità totale di eventi incompatibili).
Per curiosità, ma anche per verifica, pur non essendo necessario, consideriamo la
probabilità dell’evento contrario, ossia la probabilità che nessuna delle due palline sia
verde.
()
PA =
10 ⋅ 9
90
3
=
= .
16 ⋅ 15 240 8
E allora la probabilità dell’evento A sommata con la probabilità dell’evento contrario fa 1:
giusto.
( )
()
PA +PA =
5 3
+ = 1.
8 8
In effetti, era più conveniente calcolare subito la probabilità dell’evento contrario e poi
( )
()
3 5
P( A) = 1 − P(A ) = 1 − =
8 8
fare 1 − P A per trovare P A .
€
Insomma, abbiamo calcolato la probabilità dell’evento A in quattro modi, l’ultimo dei quali
è stato il più conveniente.
Però anche il primo e il terzo meritano di essere imparati bene, perché in altri casi il
quarto metodo, quello dell’evento contrario, non sempre è conveniente.
Adesso calcoliamo la probabilità dell’evento:
A ∩ B = una pallina è verde e l’altra no;
(
)
P A ∩B =
numero dei casi favorevoli 6 ⋅ 10 + 10 ⋅ 6 120 1
=
=
=
numero dei casi possibili
16 ⋅ 15
240 2
Spiegazione: provare a capirla da soli, è meno difficile di una delle spiegazioni precedenti.
A numeratore e a denominatore abbiamo tenuto conto dell’ordine.
Anche qui, a voler fare i calcoli senza tener conto dell’ordine, si rischiava di commettere
qualche errore.
Infine calcoliamo ciò che il problema chiede, ossia la probabilità dell’evento:
B|A = le due palline sono diverse, sapendo che una delle due è verde;
(
)
P B| A =
(
)=
P A∩B
P(A)
1
2
5
8
=
4
= 0.8 = 80% .
5
Il libro, nella risposta, scrive anche che il numero dei casi totali si riduce a 75; infatti,
questo è proprio il numero dei casi favorevoli all’evento A, come risulta nel numeratore di
una frazione in uno dei passaggi precedenti. S’intende, 75 senza tener conto dell’ordine.
Tenendo conto dell’ordine i casi sono 150.
Il numero dei casi favorevoli all’evento A ∩ B è 120 se teniamo conto dell’ordine (vedere
uno dei calcoli precedenti) e 60 se non ne teniamo conto.
In ogni caso il rapporto è sempre
120 60 4
=
= = 0.8 = 80% .
150 75 5
€