Probabilità 69

MATEMATICA
VOLUME 2
pag. 660
n. 69
Un’urna contiene 6 palline verdi, 4 palline nere e 6 palline rosse. Le palline sono
equiprobabili: ciò equivale a dire che vengono prese a caso. Ne prendiamo a caso tre.
Calcolare la probabilità che almeno due palline prese siano verdi, sapendo che almeno
una delle tre è verde.
Veramente il libro non dice “almeno una”, ma dice “una”.
E allora dobbiamo capire da soli che vuol dire “almeno una”; altrimenti, se la pallina verde
fosse solo una, la probabilità che quelle verdi siano almeno due sarebbe zero, in quanto
evento impossibile.
In effetti quest’altra interpretazione neanche sarebbe sbagliata, potrebbe essere anche
così.
Purtroppo ancora ci sono quelli che, quando dicono o scrivono “uno” sottintendono
“almeno” e altrimenti sono costretti a specificare “uno e uno solo”. Questi stessi non
sottintendono “almeno” quando dicono o scrivono qualunque altro numero: zero, due, tre
...
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------RISOLUZIONE
Estrarre tre palline contemporaneamente
oppure
estrarne una senza rimetterla nell’urna, estrarne una seconda senza rimetterla nell’urna
e infine estrarne una terza
è la stessa cosa.
Condideriamo gli eventi E, F E ∩ F , E|F.
E = almeno due delle tre palline sono verdi;
F = almeno una delle€tre palline è verde;
E ∩ F = almeno due delle tre palline sono verdi e almeno una è verde;
ma allora l’evento E ∩ F e l’evento E sono uguali;
infatti l’evento E implica l’evento F
(se almeno due palline sono verdi, di sicuro almeno una pallina è verde),
ossia, insiemisticamente,
E ⊆ F, e quindi
€
E ∩ F = E = almeno de delle tre palline sono verdi.
E|F = almeno due delle tre palline sono verdi, sapendo che almeno una è verde.
€
Consideriamo anche gli eventi seguenti, non strettamente necessari, ma interessanti e
utili per fare alcune verifiche:
E = al massimo una delle tre palline è verde:
F = nessuna delle tre palline à verde.
Riflettere: E è proprio l’evento contrario di E (altrimenti non avremmo potuto indicarlo con
quel simbolo). Analogamente per F.
Imparare bene cosa vuol dire eventi contrari: se si verifica uno, non si può verificare
contemporaneamente
anche l’altro; se non si verifica uno, di sicuro si verifica l’altro.
€
€
Calcoliamo le probabilità di questi eventi.
()
PF =
numero dei casi favorevoli 6 ⋅ 15 ⋅ 14 + 10 ⋅ 6 ⋅ 14 + 10 ⋅ 9 ⋅ 6
=
.
numero dei casi possibili
16 ⋅ 15 ⋅ 14
Spiegazione.
Sia a numeratore che a denominatore teniamo conto dell’ordine. Sarebbe più difficile non
tenerne conto, perché si rischierebbe, senza accorgersene, di non tenerne conto a
denominatore e tenerne conto, in parte, a numeratore.
Denominatore: la prima pallina si può scegliere in 16 modi, la seconda in 15 e la terza in
14.
Numeratore: la prima pallina può essere verde, la seconda qualsiasi e la terza qualsiasi,
oppure la prima pallina può non essere verde, la seconda sì e la terza qualsiasi, oppure
la prima pallina può non essere verde, la seconda neanche e la terza sì. La congiunzione
“e” si traduce con la moltiplicazione e la congiunzione “oppure” (che qui ha valore
alternativo, cioè il primo caso a numeratore e il secondo caso a numeratore non si
possono verificare contemporaneamente, sono eventi incompatibili) si traduce con
l’addizione.
()
PF =
numero dei casi favorevoli 6 ⋅ 15 ⋅ 14 + 10 ⋅ 6 ⋅ 14 + 10 ⋅ 9 ⋅ 6
11
=
= ... =
numero dei casi possibili
16 ⋅ 15 ⋅ 14
14
Volendolo fare senza tener conto dell’ordine, si rischierebbe di commettere il seguente
errore:
615
  
numero dei casi favorevoli 1 2  630 9
PF =
=
=
= > 1 , assurdo,
16
numero dei casi possibili
560 8
 
 3
mentre invece dovrebbe essere
615 10 614  10 96
   +     +    
1 2   1 1  1   1  11
numero dei casi favorevoli
3!
PF =
=
=

numero dei casi possibili
.
16
 
 3
6 ⋅ 15 + 10 ⋅ 6 ⋅ 14 + 10 ⋅ 9 ⋅ 6
11
=
= ... =
16 ⋅ 15 ⋅ 14
14
()
()
Insomma, fare i calcoli senza tener conto dell’ordine, in certi casi complicati, non conviene.
Ricalcoliamo la probabilità dello stesso evento F in un altro modo, usando la regola della
probabilità totale (+) per eventi incompatibili, la regola della probabilità composta ( ⋅) e il
concetto di probabilità condizionata.
() ( ) (
) (
)
P F = P V + P N ∪ R ⋅ P V | N ∪ R + ...
=
6 10 6 10 9 6
3 5 2 5 3 3 3 2 9
44 11
+
⋅
+
⋅
⋅
= + ⋅ + ⋅ ⋅ = + +
=
=
16 16 15 16 15 14 8 8 5 8 5 7 8 8 56 56 14
€
€
Spiegazione.
La prima pallina può essere verde (con probabilità 6/16) e la seconda e la terza qualsiasi
(con probabilità 1, evento certo) oppure la prima pallina può non essere verde (con
probabilità 10/16) e la seconda verde (con probabilità 6/15) e la terza qualsiasi (con
probabilità 1), oppure la prima pallina può non essere verde (con probabilità 10/16) e la
seconda neanche (con probabilità 9/15) e la terza verde (con probabilità 6/14).
Anche stavolta “e” si traduce con la moltiplicazione (probabilità composta)
e “oppure” si traduce con l’addizione (probabilità totale di eventi incompatibili).
Per curiosità, ma anche per verifica, pur non essendo necessario, consideriamo la
probabilità dell’evento contrario, ossia la probabilità che nessuna delle tre palline sia
verde.
()
PF =
10 ⋅ 9 ⋅ 8
5 3 4 1
1
3
= ⋅ ⋅ = ⋅3⋅ =
.
16 ⋅ 15 ⋅ 14 8 5 7 2
7 14
E allora la probabilità dell’evento F sommata con la probabilità dell’evento contrario fa 1:
giusto.
()
()
PF +PF =
11 3
+
= 1.
14 14
In effetti, era più conveniente calcolare subito la probabilità dell’evento contrario e poi
()
()
3
11
P(F) = 1 − P(F ) = 1 −
=
14 14
fare 1 − P F per trovare P F .
€
Insomma, abbiamo calcolato la probabilità dell’evento F in quattro modi, l’ultimo dei quali
è stato il più conveniente.
Però anche il primo e il terzo meritano di essere imparati bene, perché in altri casi il
quarto metodo, quello dell’evento contrario, non sempre è conveniente.
Adesso calcoliamo la probabilità dell’evento:
E ∩ F = E = almeno due delle tre palline estratte sono verdi;
(
) ()
P E ∩F = P E =
6 ⋅ 5 ⋅ 14 + 10 ⋅ 6 ⋅ 5 + 6 ⋅ 10 ⋅ 5
17
= ... =
16 ⋅ 15 ⋅ 14
56
Spiegazione: provare a capirla da soli.
Anche qui, a voler fare i calcoli senza tener conto dell’ordine, si rischiava di commettere
qualche errore, come ad esempio
614
  
2 1  3 ⋅ 5 ⋅ 14 3 ⋅ 2 3
P E ∩F = P E =
=
=
= , sbagliato.
16
16 ⋅ 5 ⋅ 7
16
8
 
 3
(
) ()
Nel calcolo precedente, a numeratore, gli errori sono due: non aver tenuto conto di tutti i
casi favorevoli e aver tenuto conto (anche se non sembra) dell’ordine.
Calcoliamo, per verifica, anche
()
PE =
10 ⋅ 9 ⋅ 8 + 10 ⋅ 9 ⋅ 6 + 10 ⋅ 6 ⋅ 9 + 6 ⋅ 10 ⋅ 6
39
= ... =
.
16 ⋅ 15 ⋅ 14
56
Cosa si può osservare?
Infine calcoliamo ciò che il problema chiede, ossia la probabilità dell’evento:
E|F = almeno due delle tre palline estratte sono verdi, sapendo che almeno una delle tre
palline estratte è verde;
(
)
P E |F =
(
) = P(E) =
P(F )
P(F)
P E ∩F
17
56
11
14
=
17 14 17
⋅
=
= 0.39 = 39% .
56 11 44