Collegamenti tra geometria euclidea, geometria proiettiva e

Collegamenti tra geometria euclidea, geometria
proiettiva e geometria iperbolica attraverso i
modelli *
Ercole Castagnola (Nucleo di Ricerca Didattica
dell’Università di Napoli “Federico II”)
Aldo Morelli (Dipartimento di Matematica - Università
di Napoli “Federico II”)
Summary:
In this paper, some theorems of projective geometry are related to
theorems of Euclidean geometry and theorems of hyperbolic geometry by
means of Klein and Poincaré models of the latter.
The most interesting result is the equivalence between the Pascal’s
theorem, concerning the projective geometry, and the hyperbolic
geometry theorem which states the existence of the incenter of a triangle.
*
Lavoro eseguito nell’ambito del progetto del CNR in Didattica della
Matematica
Collegamenti tra geometria euclidea, geometria
proiettiva e geometria iperbolica attraverso i
modelli
Ercole Castagnola – Aldo Morelli
1. Introduzione
In questo articolo ci proponiamo di mettere in relazione teoremi di
geometria proiettiva, teoremi di geometria euclidea e teoremi di
geometria iperbolica attraverso l’utilizzo dei modelli di Klein e di
Poincaré di quest’ultima. Precisamente troveremo dimostrazioni di
geometria iperbolica partendo da teoremi elementari di geometria
proiettiva. Viceversa teoremi di geometria euclidea o iperbolica potranno
essere dedotti da risultati validi nella geometria iperbolica. Il risultato più
interessante ci sembra l’equivalenza del teorema di Pascal per l’esagono
inscritto in una conica e la proprietà di geometria iperbolica secondo cui
le tre bisettrici di un triangolo si intersecano in uno stesso punto.
Si noti che le figure sono state realizzate utilizzando il software
CABRI II .
2. Rette parallele e rette perpendicolari
Un primo esempio di collegamento fra risultati di geometria euclidea,
proiettiva e iperbolica si trova considerando le condizioni di pseudoortogonalità di due pseudo-rette nei modelli di Klein e di Poincaré.
Ricordiamo che, se in un modello di Klein di geometria iperbolica
(costruito, ad esempio, in un’ellisse Γ) consideriamo due pseudo-rette
(cioè due corde di Γ), esse sono pseudo-ortogonali se e solo se le rette
sostegno delle corde sono coniugate rispetto a Γ; infatti se le pseudo-rette
r ed s si intersecano in H e appartengono a rette coniugate rispetto a Γ,
detto P il polo di r, si ha che s passa per P e nell’omologia armonica di
centro P e asse r la conica Γ è unita, ogni punto di r è unito e la retta s è
unita scambiandosi le due pseudo-semirette di origine H. Ciò significa
che le due pseudo-rette sono ortogonali, poiché due angoli adiacenti
formati da esse si corrispondono in una pseudo-congruenza. Ricordiamo
che le pseudo-congruenze nel modello di Klein sono le corrispondenze
subordinate dalle omografie del piano che lasciano fissa la conica Γ;
ricordiamo anche che un’omologia di centro P e asse r è un’omografia in
cui ogni punto di r è unito e ogni retta del fascio di centro P è unita, ed
essendo armonica, ricordando le proprietà della polare di un punto, la
conica stessa è unita.
Ricordiamo il seguente teorema di geometria proiettiva.
a) Date due rette secanti una conica Γ e incidenti esternamente
a Γ, esiste un’unica retta, anch’essa secante la conica,
incidente internamente alla conica le due rette date.
Basta evidentemente considerare la polare rispetto alla conica del
punto di intersezione delle due rette date (vedi figura).
Se invece le due rette si intersecano su Γ, la retta coniugata ad entrambe è
tangente a Γ; mentre, se le due rette si intersecano internamente a Γ, la
retta coniugata ad entrambe è esterna a Γ.
Considerando ora Γ come conica base del modello di Klein di
geometria iperbolica (e ricordando la condizione di pseudo-ortogonalità
di due pseudo-rette) si trova il seguente risultato di geometria iperbolica.
b) Date due rette iperparallele (cioè non secanti e non
parallele), esiste un’unica retta ortogonale a entrambe.
Si tratta di un teorema di geometria iperbolica non facile da
dimostrare direttamente (si veda, ad esempio, Borsuk e Szmielev pag.
291, Greenberg pag. 199, Hartshorne pag. 377, Hilbert pag. 166, Trudeau
pag. 117).
Se si considerano due rette parallele (che nel modello di Klein sono
rappresentate da due corde con un estremo in comune), allora non esiste
nessuna retta perpendicolare ad entrambe. Mentre in geometria euclidea,
come sappiamo, ne esistono infinite.
Infine, se si hanno due rette secanti, ancora non esiste alcuna retta
perpendicolare ad entrambe, come succede anche in geometria euclidea.
Consideriamo ora il modello di Poincaré con la circonferenza base Γ e
ricordiamo che due pseudo-rette (archi di circonferenze interni a Γ e
ortogonali a Γ oppure diametri) sono pseudo-ortogonali se e solo se
risultano ortogonali. Interpretando i risultati stabiliti in geometria
iperbolica nel modello di Poincaré si trova il seguente teorema di
geometria euclidea.
a) Date tre circonferenze, di cui due senza punti in comune
ortogonali a una terza, esiste un’unica quarta circonferenza
ortogonale alle tre circonferenze date.
La rappresentazione nel modello è la seguente
Mentre il risultato euclideo è rappresentato dalla seguente figura, che non
è altro che quella precedente con gli archi di circonferenza sostituiti dalle
circonferenze complete.
Il risultato così stabilito può essere dimostrato direttamente, sia per via
sintetica che analitica. A tale scopo consideriamo il fascio di
circonferenze coassiali determinato dalle due circonferenze non
intersecantesi. La terza circonferenza (data) e la quarta circonferenza (da
determinare) devono appartenere al fascio coassiale complementare al
primo fascio e l’asse dei centri del secondo fascio è l’asse radicale del
primo fascio. Inoltre i due assi sono tra loro ortogonali e ogni
circonferenza del secondo fascio è ortogonale a ogni circonferenza del
primo fascio e passa per i punti critici A e B (vedi figura) del primo
fascio. Pertanto per costruire la quarta circonferenza cercata basta
congiungere il centro O della terza circonferenza con i punti A e B e
tracciare le due rette, per A e per B, perpendicolari rispettivamente ai
raggi OA e OB. Il punto O’ di intersezione di queste due rette è il centro
della circonferenza cercata di raggio O ' A = O ' B .
La determinazione della quarta circonferenza si può effettuare per via
analitica col procedimento che segue. Il fascio di circonferenze coassiali
determinato dalle due circonferenze non intersecantesi si può
rappresentare mediante l’equazione
x2 + y2 − 2ax + c = 0
con c fissato e positivo, a parametro variabile con la condizione
a < − c oppure a > c , l’asse dei centri coincidente con l’asse x e
l’asse radicale coincidente con l’asse y.
I centri delle due circonferenze base avranno uno ascissa negativa e
(
)
l’altro ascissa positiva. I punti critici avranno coordinate A − c ; 0 e
B
(
)
c; 0 .
Il fascio coassiale, a cui appartengono la terza circonferenza (data) e la
quarta (da determinare) avrà equazione
x2 + y2 − 2by − c = 0.
Imponiamo ora la condizione che la terza circonferenza (che
rappresenta la circonferenza base di Poincaré) abbia raggio uguale a 1.
Questo comporta che dev’essere b2 = 1 − c e quindi 0 < c < 1 e
b = ± 1 − c . Senza ledere la generalità possiamo porre b = 1 − c e
pertanto la terza circonferenza avrà equazione
x2 + y2 − 2 1 − c y − c = 0
e quindi il suo centro O avrà coordinate
( 0;
)
1 − c . Dobbiamo ora
determinare l’ordinata b di O’(0;b), centro della quarta circonferenza.
L’ortogonalità della terza con la quarta circonferenza si traduce nella
relazione pitagorica
2
2
2
OA + O ' A = OO ' ,
cioè
(
)
2
1 + c + b2 = b − 1 − c ,
da cui
b=
−c
.
1− c
Pertanto esiste un solo valore di b che risolve il problema. In altre parole,
la quarta circonferenza cercata è unica.
Osserviamo che, se si facesse la dimostrazione della proprietà c) di
geometria euclidea, si potrebbe dedurre prima la proprietà b) di geometria
iperbolica e poi, utilizzando il modello di Klein, la proprietà a).
3. Richiami su ipercicli, orocicli e cicli
Premettiamo alcune precisazioni sulle definizioni e caratterizzazioni
di ciclo, iperciclo e orociclo in un piano nelle due geometrie, quella
euclidea e quella iperbolica, riferendoci per quest’ultima ai due modelli.
Iperciclo.
Data una retta r, si definisce iperciclo rispetto a r il luogo dei punti
aventi una data distanza da r.
In geometria euclidea ogni iperciclo è costituito da due rette parallele
a r: una in un semipiano di origine r e una nell’altro.
Si dimostra che, in geometria iperbolica, gli ipercicli non sono formati
da rette; infatti nel modello di Klein, se Γ è la conica base e r è la pseudoretta “corda AB”, allora gli ipercicli rispetto a r sono tutte e sole le
coniche bitangenti a Γ in A e B e interne a Γ.
Nel modello di Poincaré, se Γ è la circonferenza base e l’arco AB
ortogonale a Γ è la pseudo-retta r, un iperciclo rispetto a r è costituito da
due archi di circonferenza passanti per A e B, uno in uno pseudosemipiano e uno nell’altro rispetto a r, e corrispondenti nell’inversione
avente come circonferenza base la circonferenza a cui appartiene r (se r è
un diametro, l’inversione circolare si riduce a una simmetria).
Orociclo.
Dato un fascio di rette parallele (o a centro improprio) si dice orociclo
rispetto al fascio una traiettoria ortogonale del fascio stesso (cioè una
curva che in ogni suo punto P è ortogonale alla retta del fascio passante
per P).
In geometria euclidea gli orocicli relativi a un dato fascio sono tutte e
sole le rette del fascio ortogonale.
Si dimostra che in geometria iperbolica gli orocicli non sono formati
da rette.
Nel modello di Klein se C∞ è il centro improprio (punto di Γ), gli
orocicli sono le coniche a contatto quadripunto con Γ in C∞ (in altre
parole, bitangenti a Γ in due punti coincidenti con C∞) e interne a Γ.
Nel modello di Poincaré gli orocicli sono le circonferenze tangenti alla
circonferenza base Γ nel punto C∞ e interne a Γ. L’orociclo si può anche
definire come luogo dei punti trasformati di un punto P rispetto a tutte le
simmetrie assiali aventi gli assi passanti per C∞.
Ciclo.
Dato un fascio di rette a centro proprio C, si definisce ciclo rispetto a
questo fascio una traiettoria ortogonale del fascio.
In geometria euclidea i cicli rispetto al fascio di centro C sono tutte e
sole le circonferenze di centro C.
In geometria iperbolica si dimostra che vale ancora questa proprietà,
cioè ogni ciclo rispetto al fascio di centro C è luogo dei punti che hanno
da C una data pseudo-distanza.
Nel modello di Klein, se Γ è la conica base e C è il centro del fascio,
detta p la polare di C rispetto a Γ, i cicli relativi al fascio di centro C sono
tutte e sole le coniche trasformate di Γ nelle omologie di centro C, asse p
e che trasformano Γ in una conica interna. Queste coniche risultano
bitangenti a Γ nei punti immaginari coniugati comuni a Γ e a p.
Nel modello di Poincaré i cicli sono le circonferenze interne a Γ aventi
il centro sul diametro OC, essendo O il centro della circonferenza base
(se C coincide con O i cicli si riducono alle circonferenze di centro O). I
cicli sono anche i luoghi dei punti trasformati di un punto P rispetto agli
assi passanti per C. Nel modello di Poincaré i cicli e gli orocicli
appartengono al fascio associato (cioè ortogonale) a quello a cui
appartengono le pseudo-rette. Se il fascio di pseudo-rette è a centro
improprio C∞, entrambi i fasci di circonferenze sono parabolici, cioè il
fascio di circonferenze a cui appartengono queste pseudo-rette è formato
da circonferenze tangenti in C∞ al diametro O C∞. Il fascio a cui
appartengono gli orocicli è formato dalle circonferenze tangenti in C∞
alla tangente in C∞ a Γ. Se il fascio delle pseudo-rette è a centro proprio
C, allora il fascio di circonferenze contenenti queste pseudo-rette è il
fascio ellittico con punti base C e C’ che è l’inverso di C rispetto alla
circonferenza. Il fascio a cui appartengono i cicli (associato al primo) è il
fascio iperbolico avente C e C’ come punti critici, cioè punti a cui si
riducono le circonferenze degeneri del fascio.
Notiamo che, se si considera una qualunque circonferenza interna alla
circonferenza base Γ del modello di Poincaré, essa rappresenta
certamente un ciclo; se, invece, la circonferenza è tangente internamente
a Γ , allora essa rappresenta un orociclo; se infine è secante Γ, allora essa
rappresenta una parte di iperciclo.
4. Cicli, orocicli e ipercicli per tre punti – Circocentro di un
triangolo
In geometria euclidea, dati tre punti non allineati, esiste sempre una e
una sola circonferenza (ciclo) passante per i tre punti. Inoltre esistono
sempre tre ipercicli passanti per essi: gli assi sono le congiungenti i punti
medi di due lati del triangolo avente come vertici i tre punti; si ha che, per
ognuno di questi tre ipercicli, dei tre punti dati due stanno in un
semipiano e uno nell’altro rispetto al relativo asse.
In geometria iperbolica esistono ancora tre ipercicli passanti per tre
punti non allineati, con la stessa situazione che si ha nella geometria
euclidea, cioè per ognuno di essi, dei tre punti dati, due stanno in uno
stesso pseudo-semipiano e uno nell’altro rispetto alla pseudo-retta che
congiunge i relativi punti pseudo-medi.
Interpretando questo risultato nel modello di Klein, ricordando le
precisazioni su quello che sono gli ipercicli in tale modello, si ha il
seguente risultato di geometria proiettiva:
Data una conica Γ e tre punti interni non allineati, esistono
tre coniche passanti per i tre punti e bitangenti a Γ.
I punti di contatto sono le intersezioni di Γ con le rette che
congiungono a due a due i punti pseudo-medi.
Ecco come da un risultato di geometria iperbolica si è ottenuto un
significativo risultato di geometria proiettiva.
Osserviamo che, utilizzando il modello di Poincaré si avrebbe una
proposizione di geometria euclidea, riguardante le circonferenze, che
però risulta complessa e poco significativa.
Ma in geometria iperbolica, oltre ai tre ipercicli passanti per i tre punti
dati non allineati, ce ne può essere un altro con i tre punti nello stesso
semipiano rispetto alla retta da cui essi sono equidistanti. Questo iperciclo
c’è se per i tre punti non passa nessun ciclo e nessun orociclo. Questo
risultato deriva facilmente da quanto detto a proposito del modello di
Poincaré alla fine del paragrafo 3. Infatti in tale modello, considerati tre
punti non allineati, esiste una e una sola circonferenza passante per essi:
se essa è tutta interna alla circonferenza base Γ, allora si trova un ciclo
per i tre punti; se è tangente (internamente) a Γ, allora per i tre punti
passa un orociclo e non un ciclo; se invece la circonferenza per i tre punti
è secante, allora per essi non passa né un ciclo né un orociclo, ma un
iperciclo (il quarto) avente i tre punti nello stesso semipiano rispetto alla
pseudo-retta da cui sono equidistanti.
Se i tre punti sono allineati col centro di Γ, allora essi stanno
sull’iperciclo di distanza nulla a cui si riduce il diametro stesso. Se i tre
punti sono su una corda MN, non diametro, allora essi appartengono a un
iperciclo relativo alla pseudo-retta MN, che è l’arco interno a Γ della
circonferenza ortogonale a Γ in M ed N, di centro S (vedi figura). I tre
punti stanno in uno stesso semipiano rispetto alla pseudo-retta MN. La
parte dello stesso iperciclo che è nell’altro semipiano è corrispondente
della corda MN nell’inversione circolare rispetto alla circonferenza
contenente la pseudo-retta MN.
In definitiva si trova che, dati tre punti A, B, C non allineati, in geometria
iperbolica non sempre esiste il circocentro (inteso come centro del ciclo)
del triangolo ABC. Se il circocentro non c’è, e solo in questo caso, allora
per i tre punti passa un orociclio o il quarto iperciclo.
Nel caso in cui esiste il circocentro, come può essere determinato in
uno dei due modelli? Nel modello di Klein per costruire lo pseudo-asse di
un segmento AB si può procedere nel modo seguente: consideriamo il
polo della retta AB (rispetto alla conica base Γ) e indichiamolo con S;
congiungiamo S con A e con B e diciamo H uno dei punti di intersezione
di SA con Γ e K uno dei punti di intersezione di SB con Γ (H e K si
devono prendere dalla stessa parte rispetto ad AB); detto T il punto di
intersezione delle rette AB e HK, si considera la polare di T rispetto a Γ;
tale polare individua lo pseudo-asse.
Per avere il circocentro del triangolo ABC, quando esiste, basta
intersecare due pseudo-assi; ad esempio quello del segmento AB e quello
di BC (vedi figura).
Se, oltre al circocentro, si vuole costruire il ciclo passante per ABC,
bisogna trasformare Γ tramite l’omologia che ha O come centro, la polare
di O come asse e che abbia come punti corrispondenti A’ ed A, essendo
A’ il punto di intersezione di Γ con la retta OA.
Nel modello di Poincaré, se esiste il ciclo per i tre punti A, B, C (e
quindi esiste il circocentro del triangolo ABC), esso è dato dalla
circonferenza euclidea δ passante per i tre punti. Nota δ, vediamo come si
trova il circocentro del triangolo ABC (che non coincide mai con il centro
T di δ, tranne nel caso in cui entrambi coincidano con il centro della
circonferenza base Γ). Teniamo presente che O è il centro del fascio di
pseudo-rette di cui il ciclo è traiettoria ortogonale; una di queste pseudorette è il diametro ST, quindi O appartiene a ST. Inoltre consideriamo lo
pseudo-asse del pseudo-segmento AC: la sua intersezione con ST è il
punto O cercato. Lo pseudo-asse di AC è l’arco di circonferenza che ha il
centro nell’intersezione della retta euclidea AB con la retta ST ed è
ortogonale a Γ, cioè passa per i punti di contatto delle tangenti condotte
per il centro stesso a Γ.
5. Ortocentro di un triangolo
Cerchiamo ora di stabilire se, dato un triangolo iperbolico, esiste
sempre l’ortocentro, inteso come punto di intersezione delle tre altezze,
cioè delle tre rette passanti per un vertice e ortogonali al lato opposto.
Vedremo fra l’altro, utilizzando il modello di Klein, come da un teorema
di geometria proiettiva si ricava un risultato di geometria iperbolica. Il
teorema di geometria proiettiva a cui ci riferiamo è il teorema di Hesse:
Se due coppie di lati opposti di un quadrangolo sono coppie
di rette coniugate in una data polarità, tale è anche la terza
coppia. (vedi Coxeter, pag 53)
Consideriamo ora il modello di Klein di geometria iperbolica relativo
alla conica base Γ. Sia ABC uno pseudo-triangolo e supponiamo che la
pseudo-perpendicolare condotta per A alla pseudo-retta BC e la pseudoperpendicolare condotta per B alla pseudo-retta AC si incontrino in uno
pseudo-punto H. I quattro punti A, B, C, H sono i vertici di un
quadrangolo completo. Sono verificate le ipotesi del teorema di Hesse
perché i lati opposti AH e BC sono coniugati nella polarità definita da Γ,
in quanto le pseudo-rette AH e BC sono pseudo-ortogonali.
Analogamente le rette BH e AC (un’altra coppia di lati opposti del
quadrangolo) sono coniugate nella stessa polarità. Allora, per il teorema
di Hesse, anche la terza coppia di lati opposti CH e AB è costituita da
rette coniugate; quindi le pseudo-rette CH e AB sono psudo-ortogonali,
cioè la pseudo-altezza uscente da C passa per il punto di intersezione
delle prime due. Pertanto si ottiene il seguente teorema di geometria
iperbolica.
In geometria iperbolica, se due altezze di un triangolo si
intersecano in un punto, anche la terza altezza passa per lo
stesso punto (ortocentro).
C’è da notare che, a differenza di quanto avviene nella geometria
euclidea, non sempre esiste l’ortocentro di un triangolo. Infatti, facendo
riferimento al modello di Klein e considerato lo pseudo-triangolo ABC,
può succedere che la retta per A coniugata alla retta BC e la retta per B e
coniugata ad AC non si intersechino in un punto interno a Γ, ma o in un
punto di Γ o in un punto esterno. In questi due casi per lo pseudotriangolo ABC non esiste l’ortocentro, ma, sempre per il teorema di
Hesse, possiamo dire che le tre pseudo-altezze dello pseudo-triangolo
ABC appartengono a uno stesso fascio di pseudo-rette parallele oppure
pseudo-ortogonali a una stessa pseudo-retta (vedi figure).
Interpretando il precedente risultato nel modello di Poincaré si ha la
seguente complessa proposizione:
Data una circonferenza Γ e tre circonferenze α, β e γ ad essa
ortogonali che si intersechino nei punti A, B, C interni a Γ (A
= β∩γ, B = α∩γ, C = α∩β), se la circonferenza passante
per A ortogonale ad α e Γ e la circonferenza passante per B
ortogonale a β e Γ si intersecano in un punto H interno a Γ,
allora anche la circonferenza passante per C e ortogonale a
γ e Γ passa per H.
Si è visto, utilizzando il modello di Klein, che in geometria iperbolica
non sempre esiste l’ortocentro di un triangolo ABC. Sono state stabilite
alcune condizioni di esistenza dell’ortocentro; una condizione sufficiente
è, evidentemente, che il triangolo sia acutangolo o rettangolo, ma essa
non è necessaria (vedi Busulini).
6. Baricentro di un triangolo
Si dimostra che in geometria iperbolica, come accade in geometria
euclidea, per ogni triangolo ABC esiste il baricentro, cioè il punto di
intersezione delle mediane. La dimostrazione si può effettuare utilizzando
il modello di Klein e alcune proprietà di geometria proiettiva, ma questa
dimostrazione non è tanto semplice (si può vedere ad esempio in
Greenberg, p.277 oppure in Busulini).
Si stabilisce dunque che il baricentro di un triangolo ABC esiste
sempre, sia in geometria iperbolica che in geometria euclidea. Quindi la
sua esistenza è indipendente dal V Assioma di Euclide; cioè si tratta di
una proposizione della geometria neutrale. Ma nel testo di Euclide e nei
vari testi di geometria euclidea l’esistenza del baricentro di un triangolo è
dimostrata utilizzando l’unicità della parallela per un punto a una retta,
che è implicita nelle proprietà dei parallelogrammi che di solito si
sfruttano nella dimostrazione. Per quanto detto deve esistere una
dimostrazione che prescinda dall’affermazione dell’unicità della parallela
e che valga quindi in geometria neutrale. Essa è riportata nel testo di
Bachmann Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, ma non
viene qui esposta a causa della sua complessità. Ritorneremo sul
problema del baricentro di un triangolo iperbolico in un successivo
articolo.
7. Incentro di un triangolo
In questo paragrafo ci occupiamo dell’esistenza dell’incentro di un
triangolo ABC in geoemetria iperbolica, cioè del punto di intersezione
delle bisettrici degli angoli interni di ABC. L’esistenza di questo punto
può essere subito affermata, come si fa in geometria euclidea, tenendo
conto che la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai
lati dell’angolo.
Nel paragrafo successivo prenderemo in considerazione anche
l’esistenza degli excentri, cioè i punti di intersezione delle bisettrici di
due angoli esterni e di uno interno. Come vedremo, tali excentri non
sempre esistono in geometria iperbolica.
Fra l’altro ci sembra particolarmente interessante mettere in evidenza
il seguente legame fra geometria iperbolica e geometria proiettiva:
l’esistenza dell’incentro in geometria iperbolica equivale al teorema di
Pascal per l’esagono non intrecciato inscritto in una conica.
Considerato un triangolo ABC nel modello di Klein, caratterizziamo la
bisettrice dell’angolo ∠BAC. In effetti essa è l’asse dello pseudoribaltamento che scambia le due pseudo-semirette AB e AC e quindi
anche le due rette sostegno di tali semirette, come avviene anche in
geometria euclidea. Indicando con H e M i punti di intersezione delle
retta AC con la conica Γ, H dalla parte opposta di C rispetto ad A, e con
P, L i punti di intersezione della retta AB con Γ, P dalla parte opposta di
B rispetto ad A, si ha che l’asse dello pseudo-ribaltamento che scambia
AB in AC dovrà scambiare H ed P tra loro e M ed L tra loro e, quindi, sarà
l’asse dell’omologia armonica il cui centro è il punto Q di intersezione
delle rette HP e LM. La retta sostegno della bisettrice dell’angolo ∠BAC
risulta quindi la polare di Q rispetto a Γ. Analogamente la bisettrice
dell’angolo ∠ABC risulta la polare del punto R intersezione delle rette NP
e KL, dove N e K sono i punti di intersezione della retta BC con Γ, N dalla
parte opposta di B rispetto a C. Allo stesso modo la retta sostegno della
bisettrice dell’angolo ∠ACB è la polare del punto S intersezione delle
rette HK e MN.
Partendo dal risultato sopra menzionato di geometria iperbolica
secondo cui le bisettrici di un triangolo ABC si intersecano in un punto I,
si può concludere che i punti Q, R, S, essendo i poli di tre rette incidenti,
risultano allineati. Inversamente, se sappiamo che i punti Q, R e S sono
allineati, allora possiamo concludere che le polari di questi punti, e quindi
le bisettrici degli angoli interni del triangolo considerato, sono incidenti.
Questi punti Q, R¸S sono le intersezioni delle coppie di rette HP e LM,
NP e KL, MN e HK, le quali sono le coppie di lati opposti dell’esagono
HKLMNP inscritto in Γ. Questo risultato è contenuto nell’enunciato del
teorema di Pascal. Partendo da un esagono qualunque non intrecciato,
inscritto in una conica, di vertici 1, 2, 3, 4, 5, 6 si costruisce un triangolo
ABC contenuto in Γ, che è in relazione con l’esagono stesso, come il
precedente triangolo ABC era in relazione con l’esagono HKLMNP: A è
l’intersezione delle rette 14 e 36, B di 25 e 36 e C di 14 e 25. Fa
eccezione il caso in cui le rette si intersecano in un unico punto.
Questo passaggio alla geometria iperbolica fornisce una nuova
dimostrazione del teorema di Pascal per gli esagoni non intrecciati
inscritti in una conica. Possiamo anzi concludere che si ha un’equivalenza
fra una proposizione di geometria iperbolica e una di geometria
proiettiva.
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo iperbolico si
intersecano in uno stesso punto.
b
Considerato un esagono non intrecciato inscritto in una
conica, le coppie di lati opposti si intersecano in tre punti
allineati.
Nel testo di Coxeter (Non-Euclidean Geometry, pag.200) si trova un
accenno alla equivalenza tra la proposizione che riguarda l’esistenza
dell’incentro di un triangolo e il teorema di Brianchon sull’esagono
circoscritto a una conica, che non è altro che il duale del teorema di
Pascal.
Consideriamo ora un pentagono HKLMN inscritto nella conica base Γ,
come caso degenere dell’esagono inscritto con due vertici coincidenti in
H. Quindi il lato HP si riduce alla tangente in H (vedi figura). Le coppie
di lati opposti HK e MN, KL e NP, LM e la tangente in H si intersecano in
tre punti allineati. Il triangolo ABC diventa il triangolo infinito HBC (che,
in effetti, è una semistriscia limitata dalle due rette HB e HC e dal
segmento BC). IL teorema di Pascal riferito al pentagono equivale alla
proprietà del triangolo HBC secondo cui
le bisettrici degli angoli interni ∠B e ∠C e la bisettrice della
striscia delimitata da HB e HC si intersecano in uno stesso
punto.
Consideriamo ora il quadrangolo HKLM inscritto nella conica base Γ,
come caso degenere dell’esagono in cui P coincide con H ed N con M.
Dal teorema di Pascal si ricava che le coppie di rette: la retta HK e la
tangente in M, la retta KL e la retta MH, la retta LM e la tangente in H, si
intersecano in tre punti allineati. Il triangolo ABC diventa il triangolo
infinito HBM. Il teorema di Pascal riferito al quadrangolo così costruito
equivale alla proprietà del triangolo HBM secondo cui
la bisettrice dell’angolo in B, la bisettrice della striscia
limitata dalle parallele HB e HM e la bisettrice della striscia
limitata dalle parallele BM e HM si intersecano in uno stesso
punto.
Dall’esagono HKLMNP si può anche ottenere un quadrangolo HKLN
facendo coincidere P con H e M con L. Il teorema di Pascal diventa:
l’intersezione della tangente in H con la tangente in L, l’intersezione delle
rette HK e LN e l’intersezione delle rette KL e HN sono tre punti allineati.
Sulla retta così ottenuta si trova anche il punto di intersezione delle
tangenti in K ed N. Il triangolo ABC si riduce a un punto.
L’ultimo caso degenere si ha quando tre coppie di vertici consecutivi
dell’esagono coincidono. Supponiamo che il punto H coincida col punto
P, K coincida con L e M con N. Il teorema di Pascal diventa:
l’intersezione della tangente in H con la retta KM, l’intersezione della
tangente in K con la retta HM sono tre punti allineati. In altre parole,
quando si ha un triangolo inscritto in una conica, le tangenti nei vertici
intersecano i lati opposti in punti allineati. Inoltre, in questo caso, il
triangolo ABC collegato all’esagono si riduce al “triangolo” HKM che è
costituito da una qualunque delle tre “strisce”, ognuna limitata da due
rette parallele e da una terza retta parallela alle prime due in direzioni
diverse; ad esempio, quella limitata dalle rette parallele HM e HK e dalla
retta MK parallela a entrambe. La proposizione di geometria iperbolica
equivalente al caso particolare del teorema di Pascal si esprime nel modo
seguente:
Dato un triangolo con i tre vertici impropri, le bisettrici delle
strisce relative a questi tre vertici si intersecano in uno stesso
punto.
8. Excentri di un triangolo
Com’è noto, dato un triangolo ABC, in geometria euclidea esistono
sempre i tre excentri, cioè i punti di intersezione delle bisettrici di due
angoli esterni relativi a due vertici e la bisettrice dell’angolo interno
relativo al terzo vertice. In geometria iperbolica vale una proposizione
analoga? La risposta è negativa: non sempre esistono gli excentri; si
potrebbe vedere come l’esistenza degli excentri è legata al teorema di
Pascal relativo a un esagono intrecciato inscritto in una conica. Le
seguenti figure mostrano due triangoli: nel primo si vede che non esiste
l’excentro relativo all’angolo interno in A e agli angoli esterni in B e C;
nell’altro, invece, l’analogo excentro esiste (pseudo-punto E).
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