CENNI DI GEOMETRIA IPERBOLICA
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Un modello di geometria non euclidea è il disco di Poincaré.
E’ un modello che nega il V postulato di Euclide in particolare ammettendo che, dato una retta e un
punto non appartenente ad essa, esistono infinte rette passanti per il punto e parallele alla retta.
In questa geometria:
•
il piano è costituito dalla regione interna ad una assegnata circonferenza,
•
i punti sono i punti appartenenti a tale regione,
•
le rette sono costituite dai diametri del cerchio o dagli archi di circonferenza aventi gli
estremi sulla circonferenza e perpendicolari alla circonferenza stessa.
Nella figura sono disegnate punti e rette.
Definita naturalmente l’intersezione di rette si può affermare che in questo modello per due punti
distinti passa una e una sola retta. Sono inoltre definiti in modo naturale segmenti e angoli.
Si noti che la lunghezza di un segmento subisce una variazione rispetto al concetto euclideo di
lunghezza. La chiameremo lunghezza iperbolica: da essa nasce un’idea di congruenza che
potrebbe apparire “non congruenza”.
Ecco un triangolo ed ecco una retta che ha diverse parallele passanti per uno stesso punto.
ESERCIZIO 1: IL CIRCOCENTRO NELLA GEOMETRIA IPERBOLICA
Nome del file: ipercircocentro.cognome.euc
Riguardare la dimostrazione fatta in classe circa la proprietà del circocentro di essere il centro
della circonferenza circoscritta. Si osservi come nella dimostrazione non entri il concetto di
parallelismo: la dimostrazione è indipendente dal validità o meno del V postulato di Euclide.
Si verifichi quindi che, costruendo nel modello iperbolico introdotto, un triangolo e identificando il
suo circocentro, esso sarà il centro della circonferenza circoscritta al triangolo dato.
Si noti che, come accennato, le lunghezze iperboliche non coincidono con la lunghezza usuale: il
centro della circonferenza circoscritta non ‘appare’ equidistante dai punti della circonferenza.
Facendo variare la posizione dei vertici del triangolo la cosa può apparire più evidente. Tuttavia
misurando con l’apposito comando le distanze dei vertici del triangolo dal centro della
circonferenza esse coincidono.
ESERCIZIO 2: L!INCENTRO NELLA GEOMETRIA IPERBOLICA
Nome del file: iperincentro.cognome.euc
Si rivisiti la dimostrazione fatta in classe circa la proprietà dell’incentro di essere il centro della
circonferenza inscritta e si valuti se tale dimostrazione dipende dal V postulato di Euclide. Si
costruisca una figura che mostri se la proprietà sussiste o no.
ESERCIZIO 3: COSA NON VALE
Nome del file: propr_non_valida.cognome.euc
Si cerchi tra quelle studiate una proprietà la cui dimostrazione dipenda dal concetto di parallelismo
(e quindi dal V postulato di Euclide) e si mostri che nel caso della geometria iperbolica di Poincaré
perde validità. Si introduca, mediante il comando, Show Note Box sotto il menu Visualizza, un
testo che spieghi di quale proprietà si sta trattando.
