Manuale di Goniometria e Trigonometria

Manuale di Goniometria e
Trigonometria
di Simone Camosso
“E’ solo con la Trigonometria che le cause dei fenomeni e dei cambiamenti che avvengono possono con certezza essere scoperte. La conoscenza dei
movimenti dei corpi celesti non può essere desunta con il semplice studio dei
fenomeni e dei movimenti del mondo se non mediante quelle semplici figure, come i triangoli, la cui misurazione è pensata dalla Trigonometria. Con
questo sostegno gli ingegneri calcolano le distanze accessibili e quelle inaccessibili... i geografi misurano le distanze dei luoghi situati sulla superficie
della Terra e gli astronomi la lontananza di quelle stelle le cui longitudini
e latitudini sono conosciute. Anche l’arte della navigazione dipende interamente dalla Trigonometria. L’utilizzo della Trigonometria è cosı̀ ampio in
tutte le branche della Matematica che sarebbe impossibile farne a meno. A
tal punto che anche le più importanti e utili parti della conoscenza sarebbero
completamente perse se l’umanità la ignorasse.”
Jacques Ozanam
“Trigonometria è l’arte di misurare triangoli, o di calcolare i lati di ogni
triangolo cercato, e questa può essere piana o sferica.”
Dizionario di Inglese di Samuel Johnson (1755)
“Visto che stai studiando la geometria e la trigonometria, ti sottopongo
un problema. Una nave sta navigando in mezzo all’oceano. Ha lasciato
Boston con un carico di lana di circa 200 tonnellate ed è diretta a Le Havre.
Il timone principale è rotto, un mozzo è sul ponte e con lui ci sono gli altri
12 passeggeri a bordo. Il vento soffia in direzione Est Nord-Est. L’orologio
segna le tre e un quarto del pomeriggio. Siamo al mese di maggio. Quanti
anni ha il capitano?”
Flaubert alla sorella Caroline
Indice
1 La nascita della Trigonometria
1
2 Nozioni fondamentali di goniometria
7
2.1
L’angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Misura degli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4
Angoli notevoli per le funzioni goniometriche . . . . . . . . . . 17
2.5
Formule notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6
Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema
di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Nozioni fondamentali di trigonometria
25
3.1
Formule di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2
Formule di duplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3
Formule di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4
Formule di prostaferesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5
Formule di Werner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6
Calcolare l’altezza di una torre, il cui piede appoggia sul piano
orizzontale ove opera l’osservatore . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7
Il piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8
Area di un triangolo conoscendo i tre angoli e un lato . . . . . 32
3.9
Calcolo di una distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.10 Formule di Briggs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.11 Dimostrazione della formula di Erone . . . . . . . . . . . . . . 36
5
6
3.12 Raggio della circonferenza inscritta . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.13 Raggio circonferenza circoscritta . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.14 Formule di triplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.15 Formule parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.16 Eguaglianza del parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo . . . . . . . . . . . . . . 41
3.18 Risoluzione di un triangolo qualunque . . . . . . . . . . . . . . 42
3.19 Fenomeni ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.20 Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi
. . . . 44
3.21 La relazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.22 Funzioni secante e cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.23 Equazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.24 Equazioni lineari in seno e coseno . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno . . . . 49
4 Cenni sulla goniometria cubica
51
4.1
Le funzioni della goniometria cubica . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2
Derivabilità periodica dei coseni cubici . . . . . . . . . . . . . 52
4.3
Espressione dei coseni cubici in forma reale . . . . . . . . . . . 53
4.4
Formule inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5
Formule di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6
Formule di addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.7
Formule di duplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.8
Formule cubiche di Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Questioni trigonometriche
57
5.1
Teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2
Teorema delle tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3
Diseguaglianza trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4
Misura del raggio terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5
Identità per angoli costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6
Funzione sinc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
INDICE
5.7
7
La tangente e i polinomi elementari simmetrici . . . . . . . . . 65
6 Trigonometria sferica
67
6.1
Sfere, geodetiche e lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2
Triangoli sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3
Il teorema di Pitagora sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4
Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.5
Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Bibliografia
75
Capitolo 1
La nascita della Trigonometria
In epoca molto antica gli Egizi misuravano l’inclinazione di un piano rispetto a un altro (pensiamo per esempio all’inclinazione delle facce di una
piramide, rispetto alla base) con un rapporto tra segmenti che oggi potremmo
paragonare alla cotangente (questo si capisce ad esempio dal problema 56 del
papiro di Rhind, scritto intorno al 1650 a.C.). L’uso delle funzioni trigonometriche nasce però principalmente in astronomia (ad esempio i Babilonesi,
si dedicano parecchio alle osservazioni astronomiche). Da ciò si può capire
perché nasce prima la trigonometria sferica e dopo quella piana. Parliamo
ora prevalentemente di quest’ultima. Qui entrano in scena i Greci. L’astronomia presso i greci diventa una scienza ed è molto legata alla matematica,
al punto di essere considerata parte integrante di essa. La prima opera sistematica sulle funzioni trigonometriche di cui si ha notizia è correlata alle
corde del cerchio ed è dovuta all’astronomo greco Ipparco di Nicea, vissuto
nel II secolo a.C. Dato un cerchio di raggio fissato, ci si pone il problema di
calcolare la lunghezza della corda relativa a un dato angolo al centro (per un
cerchio di raggio unitario, la lunghezza della corda relativa a un angolo di
ampiezza θ, con le notazioni attuali è data da 2 sin 2θ ). Ipparco tabula i valori
delle corde degli archi circolari e per questo è ricordato come il fondatore
della trigonometria. Nel I secolo d.C. il matematico greco Menelao produce
altre tabelle riportanti i valori delle corde; quest’opera è andata perduta,
1
2
1. La nascita della Trigonometria
mentre una sua opera sulla trigonometria sferica si è conservata ed è la più
antica opera nota su tale argomento. In quest’opera si dimostra un famoso
teorema di trigonometria sferica, noto ora come teorema di Menelao, che nel
caso piano (forse già noto ai suoi predecessori) afferma che se i lati AB, BC,
AC di un triangolo (o i loro prolungamenti) sono tagliati da una trasversale
rispettivamente nei punti D, E, F , allora è verificata l’uguaglianza:
AD · BE · CF = BD · CE · AF.
L’opera trigonometrica più influente e significativa dell’antichità è la Sintassi Matematica (o Almagesto) del famoso astronomo alessandrino Tolomeo
(circa II secolo d.C.), che riporta delle tavole sulle corde molto accurate. Seguendo la tradizione dei Babilonesi, probabilmente seguita anche da Ipparco,
Tolomeo divide il cerchio in 360 parti uguali e il diametro in 120 parti. Egli,
come i suoi predecessori, usa per il calcolo delle corde una variante della relazione fondamentale che ora indichiamo con sin2 θ + cos2 θ = 1 (che deriva dal
teorema di Pitagora). Nei calcoli delle corde di Tolomeo ha un ruolo centrale
una proprietà dei quadrilateri detta oggi teorema di Tolomeo (la somma dei
prodotti dei lati opposti di un quadrilatero inscrittibile in un cerchio è uguale
al prodotto delle diagonali). Da essa si possono oggi ricavare le 4 formule
per calcolare seno e coseno della somma e della differenza di due angoli, oggi
dette formule di Tolomeo. Egli conosceva anche la proprietà che attualmente
si esprime con le uguaglianze:
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
(dove a, b, c sono i lati di
un triangolo opposti agli angoli α, β, γ). Tolomeo inscrive nel cerchio poligoni di 3, 4, 5, 6 e 10 lati e ciò gli permette di calcolare le corde sottese da
angoli di 120, 90, 72, 60 e 36 gradi. Poi utilizza nelle sue tavole le formule per
la corda della somma e della differenza di due angoli (paragonabili a quelle
attuali per il seno della somma e della differenza) e applica un metodo per
trovare la corda sottesa dalla metà dell’angolo di una corda data. In questo
modo, con un’interpolazione, riesce a calcolare corde con un buon grado di
approssimazione. Passiamo ora agli Indiani o Indù. La prima apparizione
3
dell’attuale seno di un angolo si ha nell’opera del matematico indiano Aryabhata (circa nel 500), che tabula i valori di mezze corde, che egli indica con
il simbolo jiva. Le stesse tabelle appaiono nell’opera del matematico indiano Brahmagupta (nel 628), mentre il matematico indiano Bhaskara nel 1150
descrive in un suo testo un metodo dettagliato per il calcolo di tabelle di
seni per ogni angolo. Tuttavia i matematici indiani non facevano trattazioni sistematiche. Vediamo ora cosa fanno gli Arabi. Essi, dopo un primo
periodo in cui proseguono con l’uso delle corde fatto da Tolomeo, adottano
l’uso indiano di lavorare con la funzione seno. Nel 980 con Abu’l-Wafa la
trigonometria riassume una forma più sistematica, in cui vengono dimostrati
risultati come le formule di bisezione e di duplicazione (per le funzioni trigonometriche). Il termine indù jya (per l’attuale seno) viene trasformato in
arabo, per assonanza, in jiba, parola senza significato. In seguito, però, gli
Arabi adottano il termine jaib, che significava piega. Quando gli autori europei traducono le opere matematiche in latino, questa parola diventa sinus,
che significava appunto anche piega. A volte si usava il termine sinus rectus
arcus. Per inciso, bisogna dire che le funzioni tangente e cotangente (delle
quali sembra arduo attribuire una paternità precisa) si sono sviluppate nei
contesti in cui era utile calcolare la lunghezza di un’ombra proiettata da un
oggetto (per esempio nelle meridiane e per calcolare l’altezza di un edificio;
ricordiamo che Talete, nel VII-VI secolo a.C. misura l’altezza delle piramidi proprio paragonando la loro ombra con quella proiettata da un bastone
piantato per terra). Le più antiche tavole di ombre di cui si ha notizia sono
quelle prodotte dagli Arabi nel 860 circa. In latino, per indicare tali valori
si usano poi i termini umbra recta e umbra versa. L’astronomo tedesco Johannes Müller (1436-1476), detto Regiomontano, pubblica nel 1533 l’opera
De triangulis omnimodis, un’esposizione sistematica dei metodi per risolvere problemi relativi a triangoli, che contiene risultati di trigonometria piana
e sferica e che segna la rinascita della trigonometria. In particolare tratta
il seno e la sua funzione inversa. Essa pare abbia influenzato, attraverso i
contatti con il matematico prussiano Georg Joachim Rheticus, l’astronomo
4
1. La nascita della Trigonometria
polacco Niccolò Copernico (1473-1543) che nel suo famoso trattato De revolutionibus orbium coelestium (1543) riporta ampie parti di trigonometria.
Rheticus scrive inoltre il trattato di trigonometria più elaborato fino allora
prodotto, l’Opus Palatinum de triangulis (pubblicato postumo nel 1596), in
cui riporta tutta la trigonometria utile per l’astronomia. Qui egli abbandona
la tradizionale considerazione delle funzioni rispetto all’arco del cerchio e concentra l’attenzione sui lati del triangolo rettangolo, usa tutte e sei le funzioni
trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante) e
produce tavole molto elaborate. Da questo momento la trigonometria si sviluppa prevalentemente in Europa, con un costante sviluppo, fino al secolo
XVIII. Dopo il seno, la funzione trigonometrica più usata in tutto questo
periodo è il seno verso, che ora non si usa più, definibile in notazioni attuali
come segue: versin(θ) = 1 − cos θ. Essa corrisponde al seno ruotato di 90
gradi. Per indicare il coseno di un angolo, il matematico francese François
Viète (1540-1603) usa il termine sinus residuae (ricordiamo che la lingua di
comunicazione scientifica ufficiale, almeno fino al XVIII secolo, era il latino), mentre l’inglese Edmund Gunter suggerirà nel 1620 il termine cosinus.
Quanto alla notazione per il seno di un angolo, Gunter, nel 1624, è il primo
ad usare l’abbreviazione sin in un disegno, mentre nel 1634 il matematico
francese Pierre Hérigone la usa in un libro. Il termine tangente viene usato
per primo dal matematico danese Thomas Fincke nel 1583 e cotangente da
Gunter nel 1620. Fincke è il primo a pubblicare la formula della legge delle
tangenti. Viète può essere considerato il padre di quel metodo analitico per
trattare la trigonometria che viene anche detto goniometria. Egli deriva, con
un metodo diverso da quello consistente nell’applicare ricorsivamente le formule di Tolomeo, le formule per determinare sin nθ e cos nθ. Inoltre applica
la trigonometria a problemi aritmetici ed algebrici, tra cui quello della trisezione dell’angolo. Ricava anche alcune delle formule dette oggi di prostaferesi
(formule che trasformano il prodotto di due funzioni trigonometriche in una
somma) o di Werner (dal nome di Johann Werner, 1468-1522, matematico
tedesco); pare che tali formule fossero già note parzialmente agli Arabi, ma
5
l’uso generale di esse prevale solo verso la fine del XVI secolo. Alla fine del
XVI secolo e all’inizio del XVII secolo si ha un grosso entusiasmo per la trigonometria, con la conseguente produzione di manuali e compendi. Il termine
trigonometria appare per la prima volta nel titolo del libro Trigonometria
di Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613) nel 1595. Proprio in quegli anni si
inventano i logaritmi; uno dei principali artefici della nascita dei logaritmi
è lo scozzese John Napier (1550-1617), affascinato pare proprio dal metodo
di prostaferesi. Nel XVIII secolo si cominciano a studiare le funzioni trigonometriche di variabile complessa. I matematici svizzeri Johann Bernoulli
(1667-1748) e Jakob Bernoulli (1654-1705) riscoprono le serie per sin(nx) e
cos(nx) già note a Viète e le estendono (senza pensarci troppo su) anche a
valori razionali di n. Nel 1702 Johann Bernoulli trova la relazione tra l’arcotangente e il logaritmo in campo complesso. Nello stesso periodo il francese
Abraham De Moivre stabilisce la formula che oggi porta il suo nome:
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ,
e che lega la trigonometria all’analisi. Il matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783) dimostra la formula: eiθ = cos θ + i sin θ, equivalente a quella
forse già nota al matematico inglese Roger Cotes (1682-1716), nella versione: iθ = log (cos θ + i sin θ) e grazie a tale relazione Euler chiarisce varie
proprietà dei logaritmi in campo complesso. Le funzioni trigonometriche
iperboliche vengono infine introdotte grazie al matematico italiano Vincenzo
Riccati (1707-1775) e successivamente dal tedesco Johann Heinrich Lambert
(1728-1777). Bisogna infine dire che il termine radiante appare per la prima volta stampato nel 1873, da parte di James Thomson, fratello di Lord
Kelvin. Altri matematici del periodo avevano proposto altri termini. Per
quel che riguarda, però, la storia del concetto di misura in radianti di un
angolo, qualunque nome avesse prima, non è molto chiara. L’uso di misurare
gli angoli in gradi perdura per un certo tempo tra i matematici della prima
metà dell’Ottocento, accanto a quello di misurarli in radianti: un po’ come
era accaduto per la notazione numerica romana accanto a quella indo-araba.
6
1. La nascita della Trigonometria
Capitolo 2
Nozioni fondamentali di
goniometria
2.1
L’angolo
Il termine goniometria significa misura dell’angolo, per studiare le proprietà di tale ente occorrerà prima definirlo. Consideriamo quindi un piano
euclideo orientato:
Definizione 2.1. Si chiama angolo ciascuna delle due parti del piano in
cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O (incluse le
due semirette). Cioè più precisamente esso si identifica conoscendo la coppia
ordinata di semirette ∠(s1 , s2 ) aventi l’origine in comune.
Il punto O si dice vertice dell’angolo. Le due semirette ∠(s1 , s2 ) si dicono
lati o contorno dell’angolo.
Definizione 2.2. Si definisce arco di circonferenza la parte di circonferenza
inclusa in un angolo al centro della circonferenza stessa.
I punti A e B di intersezione dei lati dell’angolo al centro con la circonferenza, si dicono estremi dell’arco. Un arco di estremi A e B si indica
con:
7
8
2. Nozioni fondamentali di goniometria
Arc(AB).
Definizione 2.3. Un angolo avente come lati delle rette si dice angolo piatto.
Definizione 2.4. Un angolo con i lati coincidenti si dice angolo nullo.
Per poter confrontare gli angoli in modo da poterli poi addizionare occorre
considerare opportune classi di angoli.
Definizione 2.5. Due insiemi di punti M1 e M2 si dicono congruenti nello
stesso senso, in simboli M1 ∼
= M2 , se è possibile portare M1 in M2 attraverso
un movimento rigido pari, si dicono congruenti, in simboli M1 ≡ M2 , se M1
può essere portato in M2 attraverso un movimento rigido.
Si verifica che le precedenti relazioni sono relazioni di equivalenza. Attraverso le precedenti relazioni si generano nell’insieme degli angoli che indico
con A delle classi di equivalenza. Pertanto:
A/ ≡ .
b è un angolo la sua classe di equivalenza si indica con [ASB].
b
Se ASB
Mentre per la seconda relazione:
A/ ∼
=.
b si indica con ASB.
b Tutti
In questo caso la classe di equivalenza di ASB
gli angoli nulli appartengono alla stessa classe chiamata 0 e lo stesso vale per
gli angoli piatti.
Osservazione 1. Nella geometria si parla di angoli, anche se in realtà, si
intenderebbero
h
ile classi di angoli. Nella geometria scolastica si tratta di
b
b per le quali si adoperano
classi ASB
, inseguito anche delle classi ASB,
delle lettere greche.
b A0 Sb0 B 0 appartengono
Nell’esempio, riportato in figura, gli angoli ASB,
b mentre l’altro appartiene alla classe inversa.
alla stessa classe ASB
2.1 L’angolo
9
b
Tutti però rappresentano la stessa classe [ASB].
Per addizionare due classi di angoli α, β si scelgono due rappresentanti con
lo stesso vertice, per i quali il secondo lato del primo angolo si sovrapponga
al primo lato del secondo. Si definisce:
α + β = ∠(s1 , s2 ) + ∠(s2 , s3 ) = ∠(s1 , s3 ).
Le classi di angoli costituiscono rispetto all’addizione appena definita un
gruppo commutativo, isomorfo al gruppo di rotazioni rispetto ad un punto.
In base alla orientazione assegnata sul piano posso vedere quale è il lato
positivo e negativo di s, con s lato di un angolo.
Definizione 2.6. Un angolo che non sia né quello nullo, né quello piatto, si
dice positivo (negativo) se il secondo lato giace sul lato positivo (negativo)
del primo.
Esempio 2.1. Un angolo piatto è positivo.
Posso poi trasportare la definizione da angoli a classi di angoli tramite i
rappresentanti.
Definizione 2.7. Siano α e β positivi, allora α si dice maggiore di β(analogamente
α < β), se α − β è positivo.
Definizione 2.8. Un angolo ∠(s1 , s2 ) ∈ α si dice angolo retto, se α è positivo
e α + α viene rappresentato mediante un angolo piatto.
10
2. Nozioni fondamentali di goniometria
Definizione 2.9. Un angolo si dice acuto (ottuso) se α è minore (maggiore)
di un angolo retto.
Definizione 2.10. Si definisce angolo giro la somma di due angoli piatti.
2.2
Misura degli angoli
Per misurare un angolo occorre fissare l’unità di misura che chiamiamo il
grado.
Definizione 2.11. Un grado è la 360a parte di un angolo giro.
In molte questioni di matematica però si impone una misura diversa da
quella in gradi. E’ noto infatti dalla geometria che in due circonferenze, di
raggi rispettivamente r ed r0 , due archi l, l0 che corrispondono ad angoli al
centro di eguale ampiezza, sono proporzionali ai rispettivi raggi.
Infatti:
l=
α
πr,
180
(2.1)
l0 =
α
πr0 ,
180
(2.2)
l : l0 = r : r0 .
(2.3)
ed
dividendo membro a membro ho:
Se inoltre due circonferenze sono concentriche e se un angolo al centro
individua un arco l di lunghezza pari al raggio r nella prima circonferenza,
allora lo stesso angolo individuerà un arco l0 di lunghezza pari al raggio r0
sulla seconda circonferenza. Possiamo dare una definizione alternativa di
angolo:
2.2 Misura degli angoli
11
Definizione 2.12. Si definisce angolo radiante l’angolo al centro di una
circonferenza di raggio arbitrario, che sottende un arco di lunghezza eguale
al suo raggio.
Poiché la misura di circonferenza è espressa da:
C
= 2π.
(2.4)
r
Segue che l’angolo giro, in radianti, misura 2π. Analogamente l’angolo piatto π, retto
π
,
2
... Riportiamo la misura in radianti di alcuni angoli
notevoli:
0◦ = 0
π
18◦ =
10
π
◦
30 =
6
π
45◦ =
4
π
◦
60 =
3
π
◦
90 =
2
2π
120◦ =
3
3π
135◦ =
4
5π
150◦ =
6
180◦ = π
3π
270◦ =
2
360◦ = 2π
La proporzione che permette il passaggio dalla misura in radianti a quella
in gradi e viceversa è:
360 : 2π = g : r,
con r misura in radianti e g misura in gradi.
(2.5)
12
2. Nozioni fondamentali di goniometria
2.3
Funzioni goniometriche
Consideriamo una circonferenza di raggio r centrata per comodità nell’origine del piano. Consideriamo inoltre un angolo θ orientato in senso antiorario,
come mostra la figura:
Si definiscono seno e coseno dell’angolo θ i rapporti:
sin θ =
QP
,
OP
(2.6)
cos θ =
OQ
.
OP
(2.7)
e
Osservazione 2. Dalle definizioni date risulta evidente che il seno ed il coseno
di un angolo sono numeri relativi.
Osservazione 3. Le funzioni seno e coseno sono funzioni dell’angolo.
Osservazione 4. Se consideriamo una circonferenza di raggio unitario avremo
che le definizioni di seno e coseno si riducono alle proiezioni sui due assi
cartesiani:
sin θ = QP
cos θ = OQ.
(2.8)
Teorema 2.3.1. La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso
angolo è uguale ad 1. Cioè:
sin2 θ + cos2 θ = 1.
(2.9)
2.3 Funzioni goniometriche
13
Dimostrazione.
2
2
sin θ + cos θ =
QP
OP
2
+
OQ
OP
2
=
QP 2 + OQ2
=
OP 2
utilizzo il teorema di Pitagora:
=
OP 2
= 1.
OP 2
Riportiamo alcuni valori fondamentali del seno:
sin 0◦ = sin 0 = 0,
π ◦
sin 90 = sin
= 1,
2
sin 180◦ = sin π = 0,
3π
◦
sin 270 = sin
= −1,
2
sin 360◦ = sin 2π = 0.
esso risulta essere positivo per gli angoli compresi tra π + 2kπ > θ > 0 + 2kπ,
nullo per θ = 0 + kπ e negativo per gli altri con k ∈ Z. Riportiamo alcuni
valori fondamentali del seno:
cos 0◦ = cos 0 = 1,
π = 0,
cos 90◦ = cos
2
cos 180◦ = cos π = −1,
3π
◦
cos 270 = cos
= 0,
2
cos 360◦ = cos 2π = 1.
esso risulta essere positivo per gli angoli compresi tra
3π
2
+ 2kπ < θ ≤ 2π , nullo per θ =
π
2
π
2
+ 2kπ > θ ≥ 0 e
+ kπ e negativo per gli altri con k ∈ Z.
14
2. Nozioni fondamentali di goniometria
Osservazione 5. Il seno e coseno di un angolo sono sempre compresi tra −1
e 1. Sono numeri che appartengono all’intervallo chiuso [−1, 1]. Ovvero:
−1 ≤ sin θ ≤ 1,
(2.10)
−1 ≤ cos θ ≤ 1.
(2.11)
e
Sia il seno che il coseno sono entrambe funzioni periodiche di periodo 2π,
ovvero f (θ + 2π) = f (θ). Questo comporta inoltre che assumono infiniti zeri,
come mostra la loro rappresentazione sul grafico considerando x = θ:
f (x) = sin x
f (x) = cos x
2.3 Funzioni goniometriche
15
E’ possibile anche definire altre due importanti funzioni goniometriche,
la tangente e la cotangente come:
tan θ =
sin θ
,
cos θ
(2.12)
cot θ =
cos θ
.
sin θ
(2.13)
e
A differenza del seno e del coseno queste due funzioni non sono continue
ovvero presentano delle singolarità cioè, dei punti dove non sono definite. La
tangente risulta infatti non essere definita in tutti i punti dove si annulla il
denominatore cioè il coseno, analogamente la cotangente. Se prendiamo in
considerazione la tangente in questi punti abbiamo una discontinuità di 2◦
specie cioè un asintoto verticale:
f (x) = tan x
16
2. Nozioni fondamentali di goniometria
f (x) = cot x
Riportiamo alcuni valori fondamentali della tangente e cotangente:
tan 0◦ = tan 0 = 0,
tan 180◦ = tan π = 0,
cot 90◦ = cot
π = 0,
2
3π
◦
cot 270 = cot
= 0.
2
Per il valore
π
2
quando θ tende a
la tangente non esiste. Si esprime questo dicendo che
π
2
la tangente cresce a ∞. Anche le funzioni tangente e
2.4 Angoli notevoli per le funzioni goniometriche
17
cotangente sono periodiche ma il loro periodo invece di essere 2π è π, anche
loro possiedono infiniti zeri tutti distanti multipli di π.
2.4
Angoli notevoli per le funzioni goniometriche
Ci sono degli angoli con particolari valori di seno e coseno che si utilizzano
molto spesso. Consideriamo la circonferenza goniometrica considerata in
precedenza questa volta con il segmento OP = 1. Consideriamo l’angolo di
45◦ cioè
π
4
ho che OQ = QP e per il teorema di Pitagora, indicando con
l = OQ = QP ho:
2l2 = 1,
da cui l =
√
2
,
2
√
2
2
quindi OQ = QP =
sin
π 4
cioè:
√
π 2
= cos
.
2
4
=
(2.14)
Mentre:
tan
π = 1 = cot
π .
(2.15)
4
4
Consideriamo adesso l’angolo di 30◦ cioè π6 , ho che QP = 12 OP = 12 , cioè
è la metà del triangolo equilatero di lato OP . Anche qui applico Pitagora:
r
OQ =
√
1
3
1− =
,
4
2
cioè:
cos
√
3
=
2
sin
1
=√ ,
3
cot
π 6
π 6
1
= .
2
(2.16)
Mentre
tan
π 6
π 6
=
√
3.
(2.17)
18
2. Nozioni fondamentali di goniometria
Con un ragionamento analogo trovo per π3 :
cos
π 3
1
= ,
2
sin
π 3
√
3
=
.
2
(2.18)
Mentre
tan
2.5
π 3
=
√
3,
cot
π 3
1
=√ .
3
(2.19)
Formule notevoli
Fino ad ora si sono viste due importanti relazioni che legano le grandezze
goniometriche:
tan θ =
sin θ
,
cos θ
(2.20)
e
sin2 θ + cos2 θ = 1.
(2.21)
La seconda è detta relazione fondamentale e da essa possiamo ricavare
altre espressioni del tipo:
p
1 − sin2 θ,
(2.22)
√
sin θ = ± 1 − cos2 θ,
(2.23)
cos θ = ±
oppure:
sostituendo queste nella tangente ottengo:
sin θ
p
,
± 1 − sin2 θ
(2.24)
√
± 1 − cos2 θ
tan θ =
.
cos θ
(2.25)
tan θ =
e
2.5 Formule notevoli
19
Inoltre se suppongo noto il valore della tangente ho che posso riscrivere
la relazione fondamentale come:
1
sin2 θ
+1=
2
cos θ
cos2 θ
(2.26)
1
,
cos2 θ
(2.27)
da cui:
tan2 θ + 1 =
da cui si ricava:
cos θ =
1
√
.
± 1 + tan2 θ
(2.28)
Dividendo poi membro a membro di questa equazione sin θ = sin θ per
quella sopra ottengo:
p
tan θ = sin θ(± 1 + tan2 θ),
(2.29)
da cui:
sin θ =
√
tan θ
± 1 + tan2 θ
.
(2.30)
Osservazione 6. Per le formule goniometriche valgono anche importanti relazioni che si ottengono in maniera immediata dal disegno della circonferenza
goniometrica:
del tipo:
sin
π
2
+ θ = cos θ,
20
2. Nozioni fondamentali di goniometria
π
− θ = cos θ,
2
sin (π + θ) = − sin θ,
sin
sin (π − θ) = sin θ,
sin (−θ) = − sin θ.
Analogamente per le altre funzioni goniometriche.
2.6
Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema di Carnot
Consideriamo un triangolo qualunque ∆ABC
supponiamo note le misure di a, b dei lati BC, AC e la misura di γ l’angolo
fra essi compreso. Sia h la misura dell’altezza, dal triangolo ∆ACH si ha:
h = b sin γ.
E l’area A = 21 ah, quindi:
1
A = ab sin γ,
2
(2.31)
similmente:
1
A = ac sin β
2
1
A = bc sin α.
2
(2.32)
Teorema 2.6.1 (della corda). In un triangolo qualunque, il rapporto fra
la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto è eguale alla misura del
diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.
2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema di
Carnot
21
Dimostrazione. Consideriamo il triangolo:
di raggio R, vogliamo dimostrare ad esempio che:
a
= 2R.
sin α
Consideriamo i due casi.
1) L’angolo α è acuto, si tracci il diametro BD e si congiunga D con C.
b è inscritto
Il triangolo BCD cosı̀ ottenuto è rettangolo poiché B CD
b
in una semicirconferenza. Si osservi inoltre che l’angolo acuto B DC
b del triangolo dato perché angoli sulla circonè eguale all’angolo B AC
ferenza che insistono su di uno stesso arco Arc(BD). Dal triangolo
rettangolo ho:
BC = BD sin α,
ricordo che BC = a,BD = 2R, dunque:
a = 2R sin α.
2) L’angolo α è ottuso, si procede allo stesso modo anche se la figura
b = 180◦ − α ma
risulta essere diversa con l’accorgimento che B DC
sin 180◦ − α = sin α dunque:
22
2. Nozioni fondamentali di goniometria
BC = BD sin α,
e
a = 2R sin α.
Teorema 2.6.2 (dei seni). In un triangolo qualunque le misure dei lati sono
proporzionali ai seni degli angoli opposti.
Dimostrazione. Dal teorema precedente si procede in modo analogo per gli
altri due lati ed ottengo:
a
= 2R,
sin α
b
= 2R,
sin β
c
= 2R,
sin γ
(2.33)
dalle quali segue:
a
b
c
=
=
.
sin α
sin β
sin γ
(2.34)
Teorema 2.6.3 (Carnot). In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura
di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due,
diminuita del doppio delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo
da essi compreso.
Dimostrazione. Si utilizza il metodo vettoriale, ovvero considero il triangolo
dove i lati sono costituiti da vettori, quindi ho che:
2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema di
Carnot
23
considero ~c = ~b − ~a ed elevo al quadrato ambo i membri, ottenendo:
~c · ~c = (~b − ~a) · (~b − ~a),
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Analogamente sugli altri lati del triangolo:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α,
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β.
24
2. Nozioni fondamentali di goniometria
Capitolo 3
Nozioni fondamentali di
trigonometria
3.1
Formule di addizione e sottrazione
Consideriamo:
e i vettori ~u = cos α~i + sin α~j e ~v = cos β~i + sin β~j. Facendo il prodotto
scalare ottengo:
~u · ~v = cos α cos β + sin α sin β,
ma per definizione si ha:
25
26
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
~u · ~v = cos (α − β),
confronto le due:
cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β,
(3.1)
detta formula di sottrazione del coseno. Sostituendo β con −β e considerando il fatto che sin (−β) = − sin (β) e cos (−β) = cos (β) ho la formula di
addizione del coseno:
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Per la formula di sottrazione del seno, ricordo che sin (α − β) = cos
cos π2 + β − α) quindi:
π
π
sin (α − β) = cos
+ β cos α + sin
+ β sin α,
2
2
π
π
essendo cos 2 + β = − sin β , sin 2 + β = cos β ho:
sin (α − β) = cos β sin α − sin β cos α,
(3.2)
π
2
− (α − β) =
(3.3)
(3.4)
analogamente sostituendo β con −β e ricordando alcune relazioni tra angoli:
sin (α + β) = cos β sin α + sin β cos α.
(3.5)
Per la tangente ho che:
tan (α − β) =
sin (α − β)
cos β sin α − sin β cos α
=
,
cos (α − β)
cos α cos β + sin α sin β
divido i due termini dell’ultima frazione ottenuta per cos α cos β supponendo
cos α 6= 0 e cos β 6= 0 e si ha:
tan α − tan β
,
(3.6)
1 + tan α tan β
anche in questo caso per la formula di addizione sostituisco β con −β ed
tan (α − β) =
ottengo:
3.2 Formule di duplicazione
27
tan (α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
(3.7)
(cambiano i segni poiché nella tangente c’è il seno).
3.2
Formule di duplicazione
Ponendo α = β ottengo le formule di duplicazione:



 sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
cos (α + α) = cos α cos α − sin α sin α



tan (α + α) =
tan α+tan α
1−tan α tan α
da cui:
sin 2α = 2 sin α cos α,
(3.8)
cos 2α = cos2 α − sin2 α,
(3.9)
e
tan 2α =
2 tan α
,
1 − tan2 α
per la validità di questa ultima formula bisogna supporre α 6=
(3.10)
π
2
+ kπ.
Osservazione 7. Ricordando la formula fondamentale possiamo esprimere la
formula di duplicazione del coseno anche come:
cos 2α = 1 − sin2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α,
oppure
cos 2α = −1 + cos2 α + cos2 α = −1 + 2 cos2 α.
28
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
3.3
Formule di bisezione
Considero la formula di duplicazione del coseno:
cos 2α = 1 − 2 sin2 α,
sostituisco
α
2
al posto di α ed ho che:
cos α = 1 − 2 sin2
α
2
,
da cui ricavo
sin
α
2
r
=±
1 − cos α
,
2
(3.11)
analogamente partendo dall’altra formula di duplicazione si ottiene:
cos
α
2
r
=±
1 + cos α
,
2
(3.12)
1 − cos α
.
1 + cos α
(3.13)
e per la tangente:
tan
3.4
α
2
r
=±
Formule di prostaferesi
Permettono di trasformare in prodotto, la somma o differenza dei seni e
la somma o differenza dei coseni. Considero le formule di addizione:
sin (α + β) = cos β sin α + sin β cos α,
sin (α − β) = cos β sin α − sin β cos α,
prima le sommo membro a membro e poi ne faccio la differenza membro a
membro ottenendo:
3.5 Formule di Werner
(
29
sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β
(3.14)
sin (α + β) − sin (α − β) = 2 sin β cos α
Analogamente partendo dalle altre formule di addizione e sottrazione del
coseno si ottiene:
(
cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β
cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin β sin α
.
(3.15)
per dare una espressione più semplice di queste formule si pone α + β =
p, α − β = q da cui sommandole e sottraendole dopo a membro a membro ho
α=
p+q
,β
2
=
p−q
.
2
Sostituendo nelle precedenti ho le formule di prostaferesi:
sin p + sin q = 2 sin
p+q
p−q
cos
,
2
2
(3.16)
sin p − sin q = 2 cos
p−q
p+q
sin
,
2
2
(3.17)
cos p + cos q = 2 cos
p+q
p−q
cos
,
2
2
(3.18)
p+q
p−q
sin
.
2
2
(3.19)
e
cos p − cos q = −2 sin
3.5
Formule di Werner
Si ricavano direttamente dai sistemi 3.14 e 3.15 ottenendo:
sin α sin β =
1
[cos (α − β) − cos (α + β)] ,
2
(3.20)
cos α cos β =
1
[cos (α + β) + cos (α − β)] ,
2
(3.21)
sin α cos β =
1
[sin (α + β) + sin (α − β)] .
2
(3.22)
e
30
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
3.6
Calcolare l’altezza di una torre, il cui piede appoggia sul piano orizzontale ove opera l’osservatore
Se si suppone che il piede della torre sia accessibile, abbiamo la situazione
illustrata in figura:
Si prenda sul terreno un punto C; si misuri la base AC = a; si collochi
in C il teodolite, e sia CC 0 la sua altezza. Sul piano verticale ABC 0 , si
misura l’angolo α di elevazione che il raggio visuale C 0 B forma con il raggio
orizzontale C 0 D. Dopo di ciò dal triangolo si ricava:
DB = a tan α.
A questa misura si aggiunge la misura di AD, che è uguale all’altezza
CC 0 dello strumento, e si avrà l’altezza cercata.
3.7
Il piano inclinato
Il piano inclinato è una macchina semplice costituita da un piano rigido
che forma un certo angolo di inclinazione α rispetto al piano orizzontale. Un
corpo messo sul piano inclinato tende a spostarsi sotto l’azione del proprio
peso di intensità P . Per mantenerlo in equilibrio occorre applicargli una certa
forza R.
3.7 Il piano inclinato
31
Nel caso di forza parallela al piano, si ha equilibrio quando la forza equilibrante è uguale ed opposta alla componente T del peso, agente nella stessa
direzione. Il peso P del corpo, che agisce verticalmente, si scompone nelle
forze N e T , rispettivamente perpendicolare e parallela al piano. Essendo α
l’angolo di inclinazione all’orizzontale, si avrà:
N = P cos α, T = P sin α, T = N tan α.
(3.23)
Quando siano note le dimensioni b, h, l dei tre lati del triangolo rettangolo
che rappresenta la sezione del piano inclinato, si ha:
b
cos α = ,
l
sin α =
h
,
l
(3.24)
per cui la condizione di equilibrio:
F = T = P sin α,
(3.25)
h
F =T =P .
l
(3.26)
diventa:
32
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
3.8
Area di un triangolo conoscendo i tre angoli e un lato
Supponiamo di conoscere la misura di un lato, per esempio a e, le misure
dei tre angoli del triangolo. Dal teorema dei seni si ha:
b
a
=
,
sin β
sin α
da cui:
a sin β
= b,
sin α
sostituendo questo valore al posto di b nella formula dell’area:
A=
3.9
1 a2 sin β
sin γ.
2 sin α
Calcolo di una distanza
(3.27)
3.9 Calcolo di una distanza
33
Ci si pone il problema di calcolare la distanza che separa due punti sull’altra sponda impiegando le nozioni del calcolo trigonometrico del triangolo.
Supponiamo di dover calcolare la distanza tra i punti A e B rappresentati in
figura:
Conosciamo la lunghezza del segmento CD e degli angoli α, β, γ e δ. Nel
triangolo ACD si ha:
CD
AD
=
,
◦
sin β
sin (180 − (β + δ − γ))
(3.28)
AD
CD
=
.
sin β
sin (β + δ − γ)
(3.29)
cioè:
Applicando il teorema del seno otteniamo la lunghezza del segmento AD.
Si ripete la stessa procedura considerando il triangolo BCD:
BD
CD
=
.
sin (β − α)
sin (β + δ − α)
(3.30)
Si utilizza poi Carnot:
AB 2 = AD2 + BD2 − 2AD · BD · cos γ,
cioè:
(3.31)
34
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
AB =
3.10
p
AD2 + BD2 − 2AD · BD · cos γ.
(3.32)
Formule di Briggs
Grazie a queste formule è possibile procedere alla risoluzione di un triangolo conoscendo solo le misure dei tre lati. Sono le seguenti:
Teorema 3.10.1. Per un triangolo qualunque aventi noti i lati valgono le
seguenti formule relative al triangolo rappresentato in figura:
sin
α
2
cos
tan
r
=
α
2
α
2
(p − b)(p − c)
, sin
bc
r
=
s
=
p(p − a)
, cos
bc
r
r
γ β
(p − a)(p − c)
(p − b)(p − a)
, sin
=
=
2
ac
2
ba
(3.33)
r
r
γ β
p(p − b)
p(p − c)
=
, cos
=
2
ac
2
ba
(3.34)
s
s
(p − b)(p − c)
β
(p − a)(p − c)
γ
(p − b)(p − a)
, tan
=
, tan
=
p(p − a)
2
p(p − b)
2
p(p − c)
(3.35)
Dimostrazione. Si dimostreranno solo le prime di ciascuno dei tre gruppi: si
pone p semiperimetro del triangolo. Si consideri l’uguaglianza a + b + c = 2p
3.10 Formule di Briggs
35
si sottragga ad ambo i membri una volta 2a, una volta 2b, una volta 2c, e si
ottiene
−a + b + c = 2(p − a),
a − b + c = 2(p − b),
e
a + b − c = 2(p − c).
Considero le due formule di bisezione:
sin
α
2
r
1 − cos α
,
2
r
1 + cos α
.
2
=
e
cos
α
2
=
Per Carnot opero la sostituzione: cos α =
sin
r
=
α
2
r
=
(2bc + a2 − b2 − c2 )
=
4bc
r
=
s
1 − cos α
=
2
r
(−a2 +b2 +c2 )
,
2bc
1−
(−a2 +b2 +c2 )
2bc
2
(+a2 − (b − c)2 )
=
4bc
2(p − c)2(p − b)
=
4bc
quindi:
r
r
=
(a + b − c)(a − b + c)
=
4bc
(p − c)(p − b)
,
bc
e per il coseno:
cos
r
=
α
2
r
=
(2bc − a2 + b2 + c2 )
=
4bc
s
1 + cos α
=
2
r
1+
(−a2 +b2 +c2 )
2bc
(−a2 + (b + c)2 )
=
4bc
2
r
=
(a + b + c)(−a + b + c)
=
4bc
36
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
r
r
2(p)2(p − a)
p(p − a)
=
=
,
4bc
bc
infine per la tangente basta eseguire il rapporto tra il seno ed il coseno
semplificando.
3.11
Dimostrazione della formula di Erone
Teorema 3.11.1. Dato un triangolo di lati a, b, c e angoli α, β, γ, mostrato
in figura:
vale la formula per il calcolo dell’area:
A=
p
p(p − a)(p − b)(p − c),
detta anche formula di Erone.
Dimostrazione. Considero la formula di duplicazione del seno
sin α = 2 sin
α
2
cos
α
2
=
uso le formule di Briggs ed ho:
r
sin α = 2
=
(p − b)(p − c) p(p − a)
=
bc
bc
2p
p(p − a)(p − b)(p − c)
bc
(3.36)
3.12 Raggio della circonferenza inscritta
37
quindi:
A=
3.12
p
bc
sin α = p(p − a)(p − b)(p − c).
2
Raggio della circonferenza inscritta
Si consideri il triangolo:
La circonferenza ha raggio r, l’area del triangolo è data dai contributi dei
triangoli indicati in figura:
1
1
1
a+b+c
A = ar + br + cr =
r = pr,
2
2
2
2
da cui segue che:
r=
A
.
p
(3.37)
Ricordando la formula di Erone e una delle formule di Briggs, si può
scrivere:
A
r= =
p
s
(p − a)(p − b)(p − c)
= (p − a)
p
s
(p − b)(p − c)
,
p(p − a)
(3.38)
e quindi se si conosce ad esempio la misura di un angolo del triangolo α:
38
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
r = (p − a) tan
α
2
,
(3.39)
ragionando analogamente trovo:
β
,
r = (p − b) tan
2
3.13
r = (p − c) tan
γ 2
.
(3.40)
Raggio circonferenza circoscritta
Teorema 3.13.1. La misura R del raggio della circonferenza circoscritta ad
un triangolo è data dal rapporto tra il prodotto delle misure dei suoi lati, per
il quadruplo dell’area A del triangolo. Sussiste la relazione:
R=
abc
.
4A
(3.41)
Dimostrazione. Dal teorema della corda sappiamo che il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo è dato da:
R=
c
.
2 sin γ
Moltiplico ambo i termini per ab ed ho:
R=
abc
,
2ab sin γ
riconosco che A = 12 ab sin γ quindi segue:
R=
3.14
abc
.
4A
Formule di triplicazione
Utilizzando l’identità fondamentale e del formule di duplicazione ho:
3.15 Formule parametriche
39
sin 3θ = sin (θ + θ + θ) = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ =
= 2 sin θ cos2 θ + (cos2 θ − sin2 θ) sin θ =
= 3 sin θ cos2 θ − sin3 θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ,
ovvero
sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ.
(3.42)
In modo analogo si dimostrano:
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ
3.15
tan 3θ =
3 tan θ − tan3 θ
.
1 − 3 tan2 θ
(3.43)
Formule parametriche
Altre formule trigonometriche importanti sono le formule parametriche
che esprimono il sin θ, cos θ il funzione razionale di tan 2θ . Ricordiamo le
formule di duplicazione del seno e del coseno, sotto la seguente formule:
sin α = 2 sin
α
2
cos
α
2
,
(3.44)
e
cos α = cos2
α
2
− sin2
α
2
.
(3.45)
Ricordando la formula fondamentale della trigonometria possiamo riscrivere quelle sopra come:
2 sin α2 cos α2
,
sin α =
cos2 α2 + sin2 α2
e
(3.46)
40
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
cos2 α2 − sin2 α2
,
(3.47)
cos α =
cos2 α2 + sin2 α2
poiché: cos2 α2 + sin2 α2 = 1. Dividendo numeratore e denominatore dei
secondi membri, per cos2 α2 , supponendo α 6= π + 2kπ, si ottengono:
2 tan α2
,
sin α =
1 + tan α2
(3.48)
e
α
2
,
α
2
1 − tan2
cos α =
1 + tan2
(3.49)
si può poi ulteriormente porre:
t = tan
α
2
,
avrò:
2t
,
1 + t2
(3.50)
1 − t2
cos α =
.
1 + t2
(3.51)
sin α =
e
3.16
Eguaglianza del parallelogramma
Proposizione 3.16.1. Dato un parallelogramma ho che la somma dei quadrati delle diagonali è uguale a due volte la somma dei quadrati dei lati.
Dimostrazione. Si utilizza anche in questo caso il calcolo vettoriale (la lunghezza dei lati risulta essere uguale ai moduli dei vettori) e si considera il
parallelogramma con i vettori:
3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo
ho che:
|~a + ~b|2 + |~a − ~b|2 = (~a + ~b) · (~a + ~b) + (~a − ~b) · (~a − ~b) =
= ~a · ~a + ~b · ~b + 2~a · ~b + ~a · ~a + ~b · ~b − 2~a · ~b = 2~a · ~a + 2~b · ~b =
= 2|~a|2 + 2|~b|2 .
3.17
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Dato un triangolo rettangolo come illustrato in figura lo si vuole risolvere
ovvero, riuscire a determinare tutti i lati e gli angoli a seconda dei dati forniti.
I CASO: noti due cateti b e c.
Da b = c tan β si ottiene tan β =
b
c
da cui ricavo β. Poi γ = 90◦ − β. Per
il valore dell’ipotenusa a, ricordo b = a sin β da cui ricavo:
a=
b
.
sin β
41
42
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
II CASO: noti ipotenusa e un cateto a e b.
Da b = a sin β si ottiene sin β =
b
a
da cui ricavo β. Poi γ = 90◦ − β. Per
il valore del cateto c, ricordo c = a sin γ.
III CASO: noti il cateto b e un angolo acuto β.
Si ha γ = 90◦ − β e c = b tan γ.
IV CASO: noti l’ipotenusa a e un angolo acuto β.
Si ha γ = 90◦ − β e b = a sin β e c = a cos β.
3.18
Risoluzione di un triangolo qualunque
Dato un triangolo qualunque come illustrato in figura lo si vuole risolvere
ovvero, riuscire a determinare tutti i lati e gli angoli a seconda dei dati forniti.
I CASO: noti due angoli α e β e un lato a. Si ha γ = 180◦ − (α + β)
inoltre, per il teorema dei seni:
b = sin β
a
,
sin α
(3.52)
c = sin γ
a
.
sin α
(3.53)
e
3.19 Fenomeni ondulatori
43
II CASO: noti due lati a e b l’angolo compreso γ. Dal teorema di Carnot
o del coseno:
c=
p
a2 + b2 − 2ab cos γ,
(3.54)
poi da quello dei seni:
b
sin γ,
c
e si trova β ed infine α = 180◦ − (β + γ).
sin β =
(3.55)
III CASO: dati i tre lati a, b, c. Dal teorema del coseno:
b 2 + c 2 − a2
cos α =
,
2bc
trovo α poi per il teorema dei seni trovo γ, cioè:
sin γ =
c
sin α,
a
(3.56)
(3.57)
ed infine β = 180◦ − (α + γ).
IV CASO: due lati ed un angolo opposto ad uno di essi. Per il teorema
dei seni:
b
sin α.
(3.58)
a
Se ab sin α > 1 il triangolo non è risolubile, perchè non può mai essere
sin β =
sin β > 1. Se
b
a
sin α ≤ 1, allora posso ricavare β. Si ha poi γ = 180◦ −(α+β)
e per il teorema dei seni si ricava ancora:
c=a
3.19
sin γ
.
sin α
(3.59)
Fenomeni ondulatori
Suppongo di avere due oscillazioni che giungono in uno stesso punto,
abbiano la medesima frequenza e la medesima ampiezza, e corrispondano
alle equazioni:
44
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
ψ1 = a cos ωt, ψ2 = a cos (ωt + ϕ0 ).
(3.60)
Per trovare il moto composto si ricorre alla formula di prostaferesi del
coseno ed ho che:
ψ = ψ1 + ψ2 = a cos ωt + a cos (ωt + ϕ0 ) = 2a cos
ϕ 0
2
cos ωt +
ϕ 0
.
2
(3.61)
Quindi si ottiene un nuovo moto di frequenza ω eguale a quella dei moti
componenti, la fase iniziale di questo moto è
A = 2a cos ϕ20 .
3.20
ϕ0
,
2
mentre l’ampiezza vale
Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi
Se al posto del piano ordinario di considera il piano di Gauss, ovvero il
piano avente come asse delle ascisse l’asse reale e come asse delle ordinate
quello immaginario, possiamo rappresentare ogni numero complesso con la
trigonometria. Infatti consideriamo un generico numero complesso:
z = a + ib,
consideriamo il modulo del numero complesso ρ =
√
a2 + b2 , ho che posso
considerare il triangolo di lati a, b, ρ e affermare che:
a = ρ cos θ,
(3.62)
3.21 La relazione di Eulero
45
e
b = ρ sin θ,
(3.63)
z = ρ(cos θ + i sin θ).
(3.64)
pertanto:
3.21
La relazione di Eulero
Si può osservare inoltre che le funzioni trigonometriche oltre ad essere
funzioni periodiche ammettono derivate periodiche, infatti:
d sin θ
= cos θ,
dθ
(3.65)
d2 sin θ
= − sin θ,
dθ2
(3.66)
d3 sin θ
= − cos θ,
dθ3
(3.67)
d4 sin θ
= sin θ,
(3.68)
dθ4
analogamente per il coseno. Esiste inoltre una importante relazione che lega
le funzioni trigonometriche con l’esponenziale ed è la relazione di Eulero:
eiθ = cos θ + i sin θ.
(3.69)
Questa risulta essere una relazione molto curiosa oltre che di enorme
utilità soprattutto per l’analisi complessa, infatti se pongo θ = π ottengo:
eiπ = −1,
(3.70)
La formula di Eulero si dimostra facilmente ricorrendo agli sviluppi in serie
di seno e coseno.
46
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
3.22
Funzioni secante e cosecante
Esistono altre funzioni trigonometriche che sono la secante, cosı̀ definita:
sec θ =
1
,
cos θ
(3.71)
e la cosecante:
sin−1 θ =
1
,
sin θ
(3.72)
ovviamente nei punti in cui il denominatore sia diverso da 0.
3.23
Equazioni goniometriche elementari
Consideriamo:
sin x = b,
(3.73)
significa determinare tutti i valori degli angoli il cui seno vale b. Osservando
la figura:
posso concludere che questi angoli sono due:
x = α + k360◦ , x = (180◦ − α) + k360◦
(3.74)
dove con α indico l’angolo tra l’asse x e il segmento OA. Analogamente per
il coseno:
cos x = a,
(3.75)
3.23 Equazioni goniometriche elementari
47
significa determinare tutti i valori degli angoli il cui seno vale a. Osservando
la figura:
posso concludere che questi angoli sono due:
x = ±α + k360◦ .
(3.76)
tan x = c,
(3.77)
x = α + k180◦ .
(3.78)
Per la tangente invece:
osservo la figura:
Le soluzioni saranno date da:
Esempio 3.1. Risolvere:
√
sin x =
2
.
2
Risoluzione.
Si ha che:
x=
π
4
+ 2kπ e x =
3π
4
+ 2kπ, ovviamente ∀k ∈ Z.
48
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
Esempio 3.2. Risolvere:
sin 2x = sin 3x.
Risoluzione.
Deve risultare 2x = 3x + k2π oppure 2x = π − 3x + k2π, da cui: x = −k2π
,x=
π+k2π
.
5
3.24
Equazioni lineari in seno e coseno
Definizione 3.1. Una equazione goniometrica si dice lineare in seno e coseno
se si presenta sotto la forma:
a sin x + b cos x = c,
(3.79)
con a 6= 0 e b 6= 0.
Se c = 0 allora procedo in questo modo:
a sin x = −b cos x,
poi divido per il coseno supponendo che non si annulli:
tan x =
−b
,
a
procedo come le elementari.
Se c 6= 0 sostituisco al posto di seno e coseno le formule parametriche
ottenendo:
2t
1 − t2
+
b
= c,
(3.80)
1 + t2
1 + t2
supponendo in questo caso che x 6= (2k + 1)π e, eseguendo i calcoli ho che:
a
(b + c)t2 − 2at + c − b = 0,
trovo t1 , t2 e mi riconduco ad equazioni elementari che so risolvere:
(3.81)
3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno
t1 = tan
x
2
49
,
(3.82)
.
(3.83)
e
t2 = tan
3.25
x
2
Equazioni omogenee di secondo grado in
seno e coseno
Definizione 3.2. Una equazione goniometrica di secondo grado omogenea
è del tipo:
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d,
(3.84)
con a, b, c, d 6= 0.
divido per cos2 x avendolo supposto diverso da 0. Inoltre ricordo l’identità:
1
= tan2 x + 1,
cos2 x
con queste sostituzioni ottengo:
a tan2 x + b tan x + c = d(tan2 x + 1),
(3.85)
(3.86)
si risolve l’equazione di secondo grado e le due elementari che ottengo da
quest’ultima.
50
3. Nozioni fondamentali di trigonometria
Capitolo 4
Cenni sulla goniometria cubica
La goniometria cubica o tetragoniometria, è una nuova trigonometria,
avente per riferimento fondamentale la superficie cubica (sfera cubica) :
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1,
anziché il cerchio o l’iperbole equilatera. La goniometria conserva quella
simmetria delle formule che la trigonometria usuale perde nel passare dal
piano allo spazio. Essa è caratteristica per uno spazio, che soddisfi al teorema
cubico di Pitagora a3 + b3 + c3 − 3abc = d3 , per questo le sue applicazioni
concrete, allo stato attuale delle conoscenze fisiche, sono forse modeste, ma
le sue applicazioni astratte sono innumerevoli e molto interessanti. Essa è
stata inventata dal professor Lando Degoli nel 1961.
4.1
Le funzioni della goniometria cubica
Diremo coseni cubici le funzioni a due variabili:
1 θ+ϕ
2
2
e
+ eεθ+ε ϕ + eε θ+εϕ ,
3
(4.1)
1 θ+ϕ
2
2
e
+ εeεθ+ε ϕ + ε2 eε θ+εϕ ,
3
(4.2)
A(θ, ϕ) =
B(θ, ϕ) =
51
52
4. Cenni sulla goniometria cubica
1 θ+ϕ
2
2
e
+ ε2 eεθ+ε ϕ + εeε θ+εϕ ,
(4.3)
3
dove e è la base dei logaritmi naturali ed ε, ε2 sono radici cubiche dell’unità.
C(θ, ϕ) =
Da queste tre equazioni di ottengono:
A + B + C = eθ+ϕ ,
A + εB + ε2 C = eε
(4.4)
2 θ+εϕ
,
(4.5)
A + ε2 B + εC = eεθ+ε ϕ .
(4.6)
2
Moltiplicando membro a membro le equazioni sopra si ottiene:
A3 + B 3 + C 3 − 3ABC = 1,
(4.7)
ossia:
A B C
C A B
B C A
= 1.
(4.8)
Le prime sei formule vengono dette formule cubiche di Eulero, mentre la
4.7 viene detta espressione fondamentale della goniometria solida. Con la
sfera cubica si indica la superficie x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1.
4.2
Derivabilità periodica dei coseni cubici
I coseni cubici sono funzioni indefinitivamente derivabili negli argomenti
θ, ϕ, le derivate sono periodiche di periodo 3. Si vede subito che:
dA
=B
dθ
d2 A
=C
dθ2
dA
= C,
dϕ
d2 A
=A
dθdϕ
d2 A
= B,
dφ2
(4.9)
(4.10)
4.3 Espressione dei coseni cubici in forma reale
d3 A
=A
dθ3
d3 A
=B
dϕdθ2
53
d3 A
d3 A
=
C
= A.
dϕ2 dθ
dφ3
(4.11)
Osservazione 8. Osservo che:
• A(0, 0) = 1,
• B(0, 0) = 0,
• C(0, 0) = 0.
4.3
Espressione dei coseni cubici in forma reale
Ricordando che ε =
√
−1+i 3
2
e ε2 =
√
−1−i 3
2
, si possono eliminare gli
immaginari dall’espressione di A, B, C Si ottiene:
"
θ+ϕ
1 θ+ϕ
A=
e
+ 2e− 2 cos
3
√ !#
3
,
2
(4.12)
"
θ+ϕ
1 θ+ϕ
B=
e
− e− 2 cos
3
√ !
√
θ+ϕ
3
− 3e− 2 sin
2
√ !#
3
,
2
(4.13)
"
θ+ϕ
1 θ+ϕ
e
− e− 2 cos
B=
3
√ !
√
θ+ϕ
3
+ 3e− 2 sin
2
√ !#
3
.
2
(4.14)
Osservazione 9. Per tutti i valori di θ e ϕ reali i coseni cubici sono reali.
4.4
Formule inverse
Dalle formule di Eulero si ottiene:
θ=
ε log (εx + ε2 y + z) − ε2 log (ε2 x + εy + z)
,
ε2 − ε
(4.15)
54
4. Cenni sulla goniometria cubica
ϕ=
ε log (ε2 x + εy + z) − ε2 log (εx + ε2 y + z)
,
ε2 − ε
(4.16)
con x = A, y = B, z = C.
Osservazione 10. E’ possibile eliminare l’immaginario applicando la nota
formula:
log (u + iv) = log
4.5
√
u2 + v 2 + i uv .
Formule di scambio
Ho che:
A(θ, ϕ) = A(ϕ, θ),
B(θ, ϕ) = C(ϕ, θ),
C(θ, ϕ) = B(ϕ, θ).
In particolare:
• A(0, ϕ) = A(ϕ, 0) = A(ϕ),
• A(θ, 0) = A(0, θ) = A(θ),
• B(0, ϕ) = C(ϕ, 0) = C(ϕ),
• B(θ, 0) = C(0, θ) = B(θ),
• C(0, ϕ) = B(ϕ, 0) = B(ϕ),
• C(θ, 0) = B(0, θ) = C(θ).
4.6 Formule di addizione
4.6
55
Formule di addizione
Si dimostra che valgono le seguenti formule di addizione:
A(θ + λ, ϕ + µ) = A(θ, ϕ)A(λ, µ) + B(θ, ϕ)C(λ, µ) + C(θ, ϕ)B(λ, µ), (4.17)
B(θ + λ, ϕ + µ) = C(θ, ϕ)C(λ, µ) + A(θ, ϕ)B(λ, µ) + B(θ, ϕ)A(λ, µ), (4.18)
C(θ + λ, ϕ + µ) = B(θ, ϕ)B(λ, µ) + A(θ, ϕ)C(λ, µ) + C(θ, ϕ)A(λ, µ). (4.19)
4.7
Formule di duplicazione
Usando l’addizione si dimostra:
4.8
A(2θ, 2ϕ) = A2 − 2BC,
(4.20)
B(2θ, 2ϕ) = C 2 − 2AB,
(4.21)
C(2θ, 2ϕ) = B 2 − 2AC.
(4.22)
Formule cubiche di Moivre
In analogia con la formula di de Moivre, valgono:
[A(θ, ϕ) + B(θ, ϕ) + C(θ, ϕ)]n = A(nθ, nϕ) + B(nθ, nϕ) + C(nθ, nϕ), (4.23)
[A(θ, ϕ) + εB(θ, ϕ) + ε2 C(θ, ϕ)]n = A(nθ, nϕ) + εB(nθ, nϕ) + ε2 C(nθ, nϕ),
(4.24)
56
4. Cenni sulla goniometria cubica
[A(θ, ϕ) + ε2 B(θ, ϕ) + εC(θ, ϕ)]n = A(nθ, nϕ) + ε2 B(nθ, nϕ) + εC(nθ, nϕ).
(4.25)
Capitolo 5
Questioni trigonometriche
5.1
Teorema di Pitagora
Teorema 5.1.1 (Pitagora). Dato un triangolo rettangolo l’area del quadrato
costruito sull’ipotenusa è eguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti
sui due cateti.
Dimostrazione. Si consideri la figura:
57
58
5. Questioni trigonometriche
Cominciamo con le quattro copie dello stesso triangolo rettangolo. Tre
di questi sono stati ruotati rispettivamente di 90◦ ,180◦ e 270◦ , ognuno ha
un’area di
ab
.
2
Mettiamoli insieme senza le rotazioni addizionali cosı̀ che essi
formino un quadrato con lato c. Il quadrato ha un quadrato in mezzo con
lato (a − b). Quindi l’area del quadrato più piccolo è:
(a − b)2 ,
l’area dei quattro triangoli è
4ab
,
2
quindi:
c2 = (a − b)2 + 2ab = a2 − 2ab + b2 + 2ab = a2 + 2ab − 2ab + b2 = a2 + b2 . (5.1)
5.2
Teorema delle tangenti
Teorema 5.2.1 (Nepero o delle tangenti). In un triangolo qualsiasi la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli
angoli opposti ai suddetti lati sta alla tangente della loro semidifferenza.
Ovvero considerando la figura:
tan
b+c
=
b−c
tan
β+γ
2
,
β−γ
2
(5.2)
tan
c+a
=
c−a
tan
γ+α
2 γ−α ,
2
(5.3)
tan
a+b
=
a−b
tan
α−β
2
.
α−β
2
(5.4)
5.2 Teorema delle tangenti
59
Dimostrazione.
b+c
(b + c)2
a2 (b + c)2
a2
=
= 2
= 2
b−c
(b + c)(b − c)
a (b + c)(b − c)
b − c2
(a2 + b2 − c2 ) + (a2 − b2 + c2 )
= 2
(a + b2 − c2 ) − (a2 − b2 + c2 )
c+b
a
c+b
a
2
=
2
.
Utilizzo il teorema dei seni, a = 2R sin α, b = 2R sin β, c = 2R sin γ:
(a2 + b2 − c2 ) + (a2 − b2 + c2 )
(a2 + b2 − c2 ) − (a2 − b2 + c2 )
a+b
c
2
(sin2 α + sin2 β − sin2 γ) + (sin2 α − sin2 β + sin2 γ)
=
(sin2 α + sin2 β − sin2 γ) − (sin2 α − sin2 β + sin2 γ)
=
sin γ + sin β
sin α
2
,
usando prostaferesi, la duplicazione del seno e l’identità α + β + γ = π ho
che la parte di destra diventa:
2 sin β+γ
cos β−γ
2
2
2 sin β+γ
cos β+γ
2
2
!2
=
cos β−γ
2
cos β+γ
2
!2
.
Considero il primo addendo del numeratore sin2 α + sin2 β − sin2 γ. Uso
bisezione del coseno e prostaferesi ottenendo le identità α + β + γ = π e
cos π2 − x = sin x, da cui segue che:
sin2 α+sin2 β−sin2 γ = 1−cos2 α+1−cos2 β−1+cos2 γ = 1−
cos 2α + 1 cos 2β + 1
−
+cos2 γ =
2
2
= cos2 γ + cos γ cos (α − β) = cos γ(cos γ + cos (α − β)) =
= 2 cos γ cos
α−β+γ
−α + β + γ
cos
=
2
2
= 2 sin α sin β cos γ.
Analogamente si ottiene che:
60
5. Questioni trigonometriche
sin2 α − sin2 β + sin2 γ = 2 sin α cos β sin γ.
Sostituiamo le espressioni e utilizziamo la formula del seno:
cos β−γ
2
b+c
2 sin α sin β cos γ + 2 sin α cos β sin γ
=
b−c
2 sin α sin β cos γ − 2 sin α cos β sin γ
cos β−γ
2
sin (β + γ)
=
sin (β − γ)
cos β+γ
2
!2
=
!2
cos β+γ
2
=
usando duplicazione del seno si ha:
=
2 sin β+γ
cos β+γ
2
2
cos β−γ
2
2 sin β−γ
cos β−γ
2
2
cos β+γ
2
=
tan
tan
!2
=
β+γ
2
.
β−γ
2
Esiste tuttavia una dimostrazione del teorema molto più veloce che utilizza le proprietà delle proporzioni:
Dimostrazione. Per il teorema dei seni vale:
c
b
=
,
sin β
sin γ
quindi:
b : c = sin β : sin γ,
si ricorda inoltre che, in una proporzione, la differenza dei primi due termini
sta alla loro somma come la differenza degli altri due sta alla loro somma,
ciò implica che:
2 sin β−γ
cos β+γ
b−c
2
2
=
,
β−γ
b+c
2 sin β+γ
cos
2
2
5.3 Diseguaglianza trigonometrica
61
e infine:
tan
b−c
=
b+c
tan
5.3
β+γ
2
.
β−γ
2
Diseguaglianza trigonometrica
Considerando la figura:
si vede che l’area del triangolo OP A è minore di quella del settore circolare
OP A, a sua volta minore di quella del triangolo OT A. Segue che:
1
1
1
· 1 · sin x ≤ · 1 · x ≤ · 1 · tan x,
2
2
2
ossia:
sin x ≤ x ≤ tan x,
(5.5)
questa diseguaglianza risulta importante per il calcolo del limite:
sin x
= 1,
x→0 x
infatti la stessa diseguaglianza di prima si può scrivere come:
lim
1≤
x
1
≤
,
sin x
cos x
(5.6)
x
≤ 1,
x→0 sin x
(5.7)
e per x → 0 si ha che:
1 ≤ lim
62
5. Questioni trigonometriche
e per il teorema di confronto tra limiti:
x
= 1.
(5.8)
x→0 sin x
Osservazione 11. L’area di un settore circolare si calcola con la proporzione:
lim
C : l = Ac : As ,
dove As è l’area del settore cioè:
lπr2
l·r
=
,
2πr
2
nel caso di una circonferenza goniometrica r = 1 pertanto:
As =
l
As = .
2
5.4
Misura del raggio terrestre
Questo metodo, ideato dal matematico Eratostene per misurare il raggio
della Terra , risale al III sec.a.C.
I punti A e B giacciono sullo stesso meridiano terrestre, la misurazione
viene eseguita quando il sole è allo zenit per A e quindi i suoi raggi in questo
5.5 Identità per angoli costanti
63
punto raggiungono il suolo perpendicolarmente, nello stesso istante si misurerà l’inclinazione β che i raggi hanno rispetto al suolo nel punto B, quindi
si potrà calcolare l’ampiezza α dell’angolo al centro e si ottiene:
α+
π
2
+ β = π,
(5.9)
cioè
α=
π
− β.
2
(5.10)
Infine misurata la distanza d come misura dell’arco Arc(AB):
r=
d
.
α
(5.11)
La misura fu eseguita durante il solstizio d’estate a mezzogiorno, A era
la città di Syene (oggi Assuan), B era Alessandria che dista dalla prima
circa 833, 5km. L’angolo β era stato stimato in 82◦ 300 , Eratostene era quindi
giunto alla conclusione che il raggio terrestre dovesse misurare circa 6364km
(si consideri che il raggio terrestre, calcolato con i mezzi moderni, è di circa
6356 km ai poli e 6377 all’equatore).
5.5
Identità per angoli costanti
La seguente curiosa identità è stata appresa da Richard Feynman quando
era ragazzino:
1
cos (20◦ ) cos (40◦ ) cos (80◦ ) = .
8
(5.12)
Si tratta di un caso particolare della identità in cui compare una variabile:
k−1
Y
cos (2j x) =
j=0
Altre identità senza variabili:
sin (2k x)
.
2k sin x
(5.13)
64
5. Questioni trigonometriche
5.6
1
cos (36◦ ) + cos (180◦ ) = ,
2
(5.14)
1
cos (24◦ ) + cos (48◦ ) + cos (96◦ ) + cos (168◦ ) = .
2
(5.15)
Funzione sinc(x)
La funzione sinc(x) =
sin x
x
è assai nota e ha notevoli applicazioni pratiche,
per esempio alla elaborazione dei segnali. La funzione sinc(x) si esprime come
prodotto infinito di coseni, mediante questa bellissima identità:
sinc(x) = cos
x
2
cos
x
4
··· .
(5.16)
Come direbbe E. Maor, “la dimostrazione di questo fatto è sorprendentemente facile”. Per dimostrarla ricordiamo, dalla trigonometria elementare,
la formula
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
.
(5.17)
Ricordiamo inoltre il limite fondamentale
sin x
= 1.
x→0 x
(5.18)
lim
Applicando piu’ volte la formula precedentemente ricordata ed otteniamo:
sin x = 2 sin
= 4 sin
= 8 sin
x
8
x
4
cos
x
2
cos
x
8
dopo n iterazioni della formula si ha:
cos
x
4
cos
x
2
cos
x
4
=
x
2
cos
(5.19)
=
x
2
(5.20)
= ···
(5.21)
5.7 La tangente e i polinomi elementari simmetrici
x
x
x
x
cos
·
·
·
cos
cos
,
2n
2n
4
2
divido ambo i lati per x e riordinando si ha:
sin x = 2n sin
sinc(x) =
x
2n
sin
cos
x
2n
x
2
· · · cos
x
,
2n
65
(5.22)
(5.23)
fissando un valore di x diverso da 0 e facendo tendere n all’infinito si ha
sin ( 2xn )
x
→ 1 ottenendo:
→ 0 e quindi per il limite fondamentale
x
2n
n
2
∞
x
sin x Y
sinc(x) =
=
cos n .
x
2
n=1
(5.24)
Questa formula venne scoperta da Eulero ed è il primo esempio di prodotto infinito. Un altro prodotto infinito simile può essere ottenuto considerando
la formula di duplicazione della tangente.
5.7
La tangente e i polinomi elementari simmetrici
Sia ek il k-esimo polinomio elementare simmetrico nella variabile
xi = tan (θi ),
per 1 = 0, 1, 2, · · · . Ovvero:
e0 = 1
e1 =
X
xi =
X
i
e2 =
X
xi xj =
i<j
e3 =
X
i<j<k
xi xj xk =
tan (θi )
i
X
tan (θi ) tan (θj )
i<j
X
i<j<k
tan (θi ) tan (θj ) tan (θk )
66
5. Questioni trigonometriche
ecc...
Allora:
!
tan
X
i
θi
=
e1 − e3 + e5 − · · ·
.
e0 − e2 + e4 − · · ·
(5.25)
Il numero di termini nel lato destro dipendono dal numero di termini del
lato sinistro. Ad esempio:
tan (θ1 + θ2 ) =
e1
x1 + x2
tan (θ1 ) + tan (θ2 )
=
=
.
e0 − e2
1 − x1 x2
1 − tan (θ1 ) · tan (θ2 )
(5.26)
Per maggiori dettagli consultare [3]. Per un numero generico si ricorre al
principio di induzione.
Capitolo 6
Trigonometria sferica
6.1
Sfere, geodetiche e lune
Una circonferenza ottenuta intersecando una superficie sferica di raggio
R con un piano passante per il suo centro, cioè una delle circonferenze di
raggio massimo ottenibili sulla superficie sferica, è detta geodetica. Il piano
secante è il generatore della geodetica. Ad esempio, supponendo che la Terra
sia una sfera perfetta, i meridiani sono geodetiche, ma tra i paralleli, l’unica
geodetica è l’equatore. Due geodetiche diverse si intersecano in due punti
diametralmente opposti P e Q. I loro piani generatori formano due coppie di
diedri opposti al vertice. Ogni diedro di misura λ individua sulla superficie
sferica una regione delimitata da due semicirconferenze di estremi P e Q
detta luna di vertici P e Q e lati P AQ e P BQ. I punti P e Q sono i vertici
di due angoli sferici entrambi di misura λ .
67
68
6. Trigonometria sferica
Si dirà anche che la luna P AQL è una luna L di angolo λ.
L’area L di una luna di angolo λ sta alla superficie della sfera come
l’angolo λ sta a 2π. Cioè:
L : 4πR2 = λ : 2π,
(6.1)
L = 2λR2 .
(6.2)
quindi
L’insieme di tutte le geodetiche che si intersecano negli stessi punti P e
Q è detto fascio di geodetiche di poli P Q.
6.2
Triangoli sferici
Intersecando una luna A di angolo α di un fascio di poli AZ con una terza
geodetica che non appartenga allo stesso fascio e che quindi intersechi i lati
di A nei punti B e C, si divide la luna A in due regioni di vertici ABC e
ZBC dette triangoli sferici.
L’area del triangolo ZBC si ottiene sottraendo dall’area della luna A
l’area del triangolo ABC.
Area(ZBC) = 2αR2 − Area(ABC).
(6.3)
6.2 Triangoli sferici
69
Il triangolo ABC è dato dall’intersezione delle lune B di angolo β e C di
angolo γ. Dunque l’area dell’unione di B e C è data dalla somma delle loro
singole aree diminuita dell’area del triangolo ABC (che, altrimenti, verrebbe
valutato due volte).
Area(B ∪ C) = 2βR2 + 2γR2 − Area(ABC).
(6.4)
Se all’unione delle lune B e C si unisce poi il triangolo individuato dagli
antipodi di Z, B e C, congruente con il triangolo ZBC, si copre una semisfera.
Dunque sommando all’area dell’unione di B e C, l’area del triangolo ZBC
si ottiene l’area della superficie della semisfera.
Area(B ∪ C) + Area(ZBC) = 2πR2 .
(6.5)
Unendo questi risultati si ottiene:
2βR2 + 2γR2 − Area(ABC) + 2αR2 − Area(ABC) = 2πR2 ,
(6.6)
e quindi l’area del triangolo sferico:
Area(ABC) = (α + β + γ − π)R2 .
(6.7)
Dato che l’area di un triangolo sferico deve essere positiva, si deduce che
la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è maggiore di un angolo
piatto.
70
6. Trigonometria sferica
6.3
Il teorema di Pitagora sferico
Su una superficie sferica di raggio R e centro O, si consideri un triangolo
sferico di vertici A, B e C tale che l’angolo interno ACB sia retto. Si indicano
con a, b e c le misure dei lati opposti rispettivamente ad A, B e C.
In questo caso è possibile determinare un sistema di riferimento cartesiano
ortogonale con origine nel centro O tale che il piano Oyz coincida con il piano
generatore del lato AC e il piano Oxz coincida con il piano generatore del
lato BC.
I segmenti OA, OB possono essere descritti come vettori di modulo R.
Indicando con α la misura dell’angolo AOC, con β la misura dell’angolo
BOC, e con ~i,~j e ~k i versori degli assi si ha:
vOA
~ = R sin α~j + cos α~k ,
(6.8)
vOB
~ = R sin β~i + cos β~k ,
(6.9)
eseguendo il prodotto scalare tra i due vettori:
vOA
~ · vOB
~ = R2 cos α cos β,
(6.10)
ma questo prodotto può essere anche ottenuto moltiplicando i moduli dei
vettori per il coseno dell’angolo compreso dunque
vOA
~ · vOB
~ = R2 cos γ.
(6.11)
6.3 Il teorema di Pitagora sferico
71
Si ottiene quindi:
cos γ = cos α cos β,
(6.12)
e poiché la misura in radianti di un angolo al centro di una circonferenza si
ottiene dal rapporto tra arco e raggio,
cos
a
b
c
= cos cos .
R
R
R
(6.13)
Il risultato ottenuto rappresenta una generalizzazione del teorema di Pitagora. Infatti da:
cos2
c
a
b
= cos2 cos2 ,
R
R
R
(6.14)
si ottiene
c
1 − sin
=
R
2
1 − sin2
sin2
b
1 − sin
R
2
1 − sin2
a
,
R
(6.15)
c
b
a
a
b
= 1 − sin2 − sin2 + sin2 sin2 ,
R
R
R
R
R
(6.16)
c
b
a
a
b
= sin2 + sin2 − sin2 sin2 ,
R
R
R
R
R
(6.17)
per R → ∞ l’argomento tende a 0 e l’argomento del seno tende a coincidere
con il seno. Quindi al limite si ha:
c 2 = a2 + b 2 .
(6.18)
72
6. Trigonometria sferica
6.4
Distanza tra due punti
Siano A e B due punti su una superficie sferica di raggio R. Indicando con
C il punto dell’equatore sullo stesso meridiano di A e assumendo il meridiano
di A come meridiano zero, i vettori vOA
~ e vOB
~ in coordinate cartesiane sono
espressi da:
vOA
~ = R sin α~j + cos α~k
(6.19)
(6.20)
~
~
~
vOB
~ = R cos γ sin β i + sin γ j + cos β cos γ k ,
il prodotto scalare tra i due vettori è
vOA
~ · vOB
~ = R2 (sin α sin γ + cos α cos β cos γ) ,
(6.21)
b
vOA
~ · vOB
~ = R2 cos AOB,
(6.22)
b = (sin α sin γ + cos α cos β cos γ) .
cos AOB
(6.23)
ma anche da:
quindi
La distanza AB, sulla superficie sferica, si ottiene quindi da
6.5 Teorema del coseno
Dist(AB) = R arccos (sin α sin γ + cos α cos β cos γ).
6.5
73
(6.24)
Teorema del coseno
Se i punti A e B sono su una superficie sferica di raggio unitario, si ha:
b = cos c, sin α = sin b, cos α = cos b, cos β cos γ = cos a, (6.25)
cos AOB
l’ultima formula è il teorema di Pitagora per il triangolo CBB 0 . Si ha inoltre:
b = sin a cos ACB.
b
sin γ = BB 0 = BB 00 cos ACB
(6.26)
Sostituendo i secondi membri di queste identità nell’equazione
b = sin α sin γ + cos α cos β cos γ,
cos AOB
(6.27)
b + cos a cos b.
cos c = sin b sin a cos ACB
(6.28)
si ottiene
74
6. Trigonometria sferica
Questa identità esprime una relazione tra un lato (c) e gli altri due (a e b)
in funzione del coseno dell’angolo formato da questi due. Rappresenta quindi
la versione sferica del noto teorema del coseno della trigonometria piana.
Bibliografia
[1] U.Amaldi “Le idee della fisica”.
[2] R.Bigoni
“Note
di
trigonometria
sferica”,
http://www.robertobigoni.it/Matematica/Sferica/sferica.html.
[3] M.Bronstein “Simplification of real elementary functions”. In G. H. Gonnet (ed.). Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. ISSAC’89 (Portland USOR, 1989-07). New York: ACM. pp. 207–211. doi:10.1145/74540.74566.
ISBN 0-89791-325-6.
[4] U.Cerruti “Formule di Vieta, di Wallis e altri prodotti infiniti collegati
a π”.
[5] L.Degoli “Goniometria cubica”.
[6] Zwirner, Scaglianti “Analitica e trigonometria”.
75