TEORIA dei CIRCUITI Ingegneria dell’Informazione - POTENZA NEI BIPOLI - Stefano Pastore Dipartimento di Ingegneria e Architettura Corso di Teoria dei Circuiti (105IN) a.a. 2013-14 Classificazione dei componenti in base alla potenza • Se, per qualsiasi valore di t, valgono le seguenti relazioni, si ha che il componente è (convenzione normale): • Dissipativo: p(t) 0 • Strettamente attivo: p(t) ≤ 0 • Inerte: p(t) = 0 • Attivo: altrimenti 2 Potenza istantanea di un bipolo in regime sinusoidale • Consideriamo un bipolo di impedenza z sottoposto alle seguente tensione e corrente e calcoliamo la potenza p(t) v(t ) VM cos(t V ) V i (t ) I M cos(t I ) A p (t ) v(t )i (t ) VM cos(t V ) I M cos(t I ) VM I M cos(t V ) cos(t I ) VM I M cos(V - I ) cos(2t V I ) 2 VM I M cos(V - I ) 2 VM I M cos(2t V I ) 2 3 Potenza istantanea di un bipolo in regime sinusoidale (2) • In alternativa, per il calcolo della potenza istantanea si possono utilizzare i fasori v(t ) V VM e jV i (t ) I I M e j I p(t ) v(t )i (t ) V e jt I e jt 1 jt * - j t 1 Ve V e I e jt I *e - jt 2 2 1 V I e j 2t V I * V * I V * I *e - j 2t 4 1 1 * V I V I e j 2 t 2 2 VM I M cos(V - I ) 2 VM I M cos(2t V I ) 2 Potenza istantanea di un bipolo in regime sinusoidale (3) • Resistenza: V RI 0 I V VM R I M VM I M 1 cos(2t 2V ) W p(t ) 2 • Condensatore: 1 V I - / 2 I V / 2 j C I M CVM 1 p (t ) CVM2 cos(2t 2V / 2) W 2 • Induttore: V jLI / 2 V I / 2 VM LI M 1 p (t ) LI M2 cos(2t 2 I / 2) W 2 Potenza attiva di un bipolo • Calcoliamo la potenza attiva come media della potenza istantanea su un multiplo di un semi-periodo T/2 (T = 2/) 1 VM I M P p( ) d cos(V - I ) tB - t A tA 2 V I M M cos [W] 2 T dove : t B - t A k , k 1, V - I 2 tB • Resistenza: = 0; p(t) 0 P = VM IM / 2 • Condensatore: = -/2 P = 0 • Induttore: = /2 P = 0 Potenza attiva e apparente • La potenza media è chiamata “attiva”. Rappresenta l’energia convertibile in lavoro. Per un bipolo con impedenza z (fase ) si ha: VM I M P cos [W] 2 • Dove: Papp VM I M [VA] 2 • È la potenza apparente • cos: è il fattore di potenza 7 Valore efficace • La potenza dipende dal quadrato della tensione o della corrente. Introduciamo perciò la media del quadrato di una di queste due grandezze Veff I eff 1 2 v ( )d TT 1 2 i ( )d TT • In regime sinusoidale ciò corrisponde a Veff 1 1 VM , I eff IM 2 2 8 Valore efficace (2) • La potenza attiva e quella apparente si esprimono quindi con i valori efficaci come P Veff I eff cos Papp Veff I eff • Alimentando un resistore con una sorgente sinusoidale a tensione Veff, ottengo la stessa dissipazione di potenza che avrei se lo alimentassi con una sorgente costante sempre a valore Veff • Se non altrimenti specificato, d’ora in poi il modulo dei fasori sarà formato con il valore efficace della funzione sinusoidale x(t ) X M cos(t ), X M j X e 2 X X eff e j , x(t ) 2 Xe jt 9 Potenza complessa • Si definisce come: Pc V I * V I e j (V - I ) V I cos j V I sin • Potenza attiva: P {Pc } V I cos [W] • Potenza reattiva: Q {Pc } V I sin [VAR] • Potenza apparente: Papp Pc V I [VA] • N.B.: attenzione alle convenzioni di segno normale o non-normale 10 Potenza complessa nei bipoli elementari • Resistenza Pc P V I R I 2 Q0 V 2 R • Condensatore Pc jQ - j V I Q - V I -C V P0 • Induttore Pc jQ j V I Q V I L I P0 2 2 Espressioni della potenza complessa • Pc V I zI I z I R I jX I V zI * 2 * 2 • Pc V I V V / z I V /z V 2 V * * R jV 2 2 R X z 2 * 2 X R2 X 2 2 • Pc V I y V V y V G V - jB V I yV * * * • Pc V I I / y I * V I/y 2 * * I 2 y 2 2 2 G -B I j I G2 B2 G2 B2 2 12 Triangolo delle potenze • Consideriamo la potenza complessa e le potenze attiva e reattiva. Il triangolo formato è simile al triangolo dell’impedenza. • Si possono applicare il teorema di Pitagora e le formule della trigonometria 2 Papp P2 Q2 Q tg P 13 Potenza istantanea per il trifase • Si possono ricavare dalla potenza istantanea le seguenti espressioni che saranno utili nello studio dei sistemi trifase p (t ) VM I M cos 1 cos(2t 2V ) 2 VM I M sin sin( 2t 2V ) 2 P1 cos(2t 2V ) Q sin( 2t 2V ) 14 Teorema di Boucherot • Facciamo il bilancio delle potenze complesse in un circuito in regime sinusoidale. Da Tellegen, risulta che PCtot T * P V ck I 0 P k k k 0, Q k k 0 • Nel computo delle potenze, si deve prestare attenzione alla convenzione usata per i versi delle tensioni e delle correnti dei componenti 15 Teorema di Boucherot (2) • Bilancio delle potenze complesse (convenzione normale per tutti i componenti): Pc , s Pc ,1 Pc ,C Pc , 2 Pc , L 0 Ps P1 P2 0 - Ps P1 P2 Qs QC QL 0 -Qs QC QL • P1, P2 > 0 Ps < 0 (erogata<0) • QC < 0, QL > 0, se: QC+QL > 0 Qs < 0 (capacitiva<0) • Se adottiamo la convenzione non-normale per il generatore (corrente I’=-I): • P’s = - Ps > 0 (erogata>0) • Q’s = - Qs > 0 (capacitiva>0) Teorema di Boucherot (3) • Il teorema di Boucherot può essere utilizzato per caratterizzare un bipolo dal punto di vista energetico. Nel circuito precedente consideriamo il bipolo di impedenza z ai morsetti P e P’. • Il bilancio delle potenze è: Ps P1 P2 0 Pz P1 P2 0 Pz Qs QC QL 0 Qz QC QL 0 Qz dove : Pz V I * , Qz V I * • Risulta che il bipolo è resistivo-induttivo e, quindi, il generatore deve erogare potenza attiva e potenza reattiva capacitiva per compensazione. 17 Rifasamento totale di un carico induttivo • Consideriamo il seguente circuito di alimentazione di un carico zu induttivo tramite una linea di trasmissione con impedenza zl • Calcoliamo le perdite sulla linea Pl 2 Rl I 2 Pu Vu I cos u Pl Vu 2 Rl Pu2 2 cos u 2 • Per minimizzare Pl si deve portare u a zero 18 Rifasamento totale di un carico induttivo (2) • Si inserisce quindi un condensatore C in parallelo per compensare la potenza reattiva Qu del carico (e per annullare la {yu + yC}) QC Qu 0 -C Vu Qu 0 2 C Qu Vu 2 Qu 2 f Vu 2 { yu jC} 0 C - Bu 19