Potenza in regime sinusoidale

ELETTROTECNICA
Ingegneria Industriale
- POTENZA-
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Elettrotecnica (043IN)
a.a. 2013-14
Classificazione dei componenti
in base alla potenza
• Se, per qualsiasi valore di t, valgono le
seguenti relazioni, si ha che il
componente è (convenzione normale):
• Dissipativo: p(t)  0
• Strettamente attivo: p(t) ≤ 0
• Inerte: p(t) = 0
• Attivo: altrimenti
2
Potenza istantanea di un bipolo in
regime sinusoidale
• Consideriamo un bipolo di impedenza
z sottoposto alle seguente tensione e
corrente e calcoliamo la potenza p(t)
v(t )  VM cos(t  V ) V
i (t )  I M cos(t   I ) A
p (t )  v(t )i (t ) 
 VM cos(t  V ) I M cos(t   I ) 
 VM I M cos(t  V ) cos(t   I ) 
VM I M

cos(V -  I )  cos(2t  V   I ) 
2
VM I M

cos(V -  I ) 
2
VM I M

cos(2t  V   I )
2
3
Potenza istantanea di un bipolo in
regime sinusoidale (2)
• In alternativa, per il calcolo della
potenza istantanea si possono utilizzare
i fasori
v(t )  V  VM e jV
i (t )  I  I M e j I

 

p(t )  v(t )i (t )   V e jt  I e jt 
1
jt
* - j t 1
 Ve  V e
I e jt  I *e - jt 
2
2
1
 V I e j 2t  V I *  V * I  V * I *e - j 2t 
4
1
1
*
  V I   V I e j 2 t 
2
2
VM I M

cos(V -  I ) 
2
VM I M

cos(2t  V   I )
2


 

 



Potenza istantanea di un bipolo in
regime sinusoidale (3)
• Resistenza:
V  RI    0   I  V
VM  R I M
VM I M
1  cos(2t  2V ) W
p(t ) 
2
• Condensatore:
1
V 
I    - / 2   I  V   / 2
j C
I M  CVM
1
p (t )  CVM2 cos(2t  2V   / 2) W
2
• Induttore:
V  jLI     / 2  V   I   / 2
VM  LI M
1
p (t )  LI M2 cos(2t  2 I   / 2) W
2
Potenza attiva di un bipolo
• Calcoliamo la potenza attiva come media
della potenza istantanea su un multiplo di un
semi-periodo T/2 (T = 2/)
1
VM I M
P
p( ) d 
cos(V -  I ) 

tB - t A tA
2
V I
 M M cos  [W]
2
T
dove : t B - t A  k , k  1,   V -  I
2
tB
• Resistenza:  = 0; p(t)  0  P = VM IM / 2
• Condensatore:  = -/2  P = 0
• Induttore:  = /2  P = 0
Potenza attiva e apparente
• La potenza media è chiamata “attiva”.
Rappresenta l’energia convertibile in lavoro.
Per un bipolo con impedenza z (fase ) si ha:
VM I M
P
cos  [W]
2
• Dove:
Papp
VM I M

[VA]
2
• È la potenza apparente
• cos: è il fattore di potenza
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Valore efficace
• La potenza dipende dal quadrato della
tensione o della corrente. Introduciamo perciò
la media del quadrato di una di queste due
grandezze
Veff
I eff
1 2

v ( )d

TT
1 2

i ( )d

TT
• In regime sinusoidale ciò corrisponde a
Veff
1
1

VM , I eff 
IM
2
2
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Valore efficace (2)
• La potenza attiva e quella apparente si
esprimono quindi con i valori efficaci come
P  Veff I eff cos 
Papp  Veff I eff
• Alimentando un resistore con una sorgente
sinusoidale a tensione Veff, ottengo la stessa
dissipazione di potenza che avrei se lo
alimentassi con una sorgente costante sempre
a valore Veff
• Se non altrimenti specificato, d’ora in poi il
modulo dei fasori sarà formato con il valore
efficace della funzione sinusoidale
x(t )  X M cos(t   ),

X M j
X
e
2
X  X eff e j , x(t )   2 Xe jt

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Potenza complessa
• Si definisce come:
Pc  V I *  V I e j (V - I ) 
 V I cos   j V I sin 
• Potenza attiva:
P  {Pc }  V I cos  [W]
• Potenza reattiva:
Q  {Pc }  V I sin  [VAR]
• Potenza apparente:
Papp  Pc  V I [VA]
• N.B.: attenzione alle convenzioni di segno
normale o non-normale
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Potenza complessa nei
bipoli elementari
• Resistenza
Pc  P  V I  R I 
2
Q0
V
2
R
• Condensatore
Pc  jQ  - j V I  Q  - V I  -C V
P0
• Induttore
Pc  jQ  j V I  Q  V I  L I
P0
2
2
Espressioni della
potenza complessa
• Pc  V I  zI I  z I  R I  jX I
V  zI
*
2
*
2
• Pc  V I  V V / z  
I V /z
 V
2
V
*
*
R
 jV
2
2
R X
z
2
*
2

X
R2  X 2
2
• Pc  V I  y V V  y V  G V - jB V
I  yV
*
*
*
• Pc  V I I / y  I 
*
V I/y
2
*
*
I
2
y
2
2

2
G
-B
 I

j
I
G2  B2
G2  B2
2
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Triangolo delle potenze
• Consideriamo la potenza complessa e le
potenze attiva e reattiva. Il triangolo formato
è simile al triangolo dell’impedenza.
• Si possono applicare il teorema di Pitagora e
le formule della trigonometria
2
Papp
 P2  Q2
Q
tg 
P
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Potenza istantanea per il trifase
• Si possono ricavare dalla potenza
istantanea le seguenti espressioni che
saranno utili nello studio dei sistemi
trifase
p (t ) 
VM I M
cos  1  cos(2t  2V ) 
2
VM I M
sin  sin( 2t  2V ) 
2
 P1  cos(2t  2V )  Q sin( 2t  2V )

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Teorema di Boucherot
• Facciamo il bilancio delle potenze
complesse in un circuito in regime
sinusoidale. Da Tellegen, risulta che:
PCtot 

T *
P

V
 ck I  0
P
k
k
k
0,
Q
k
k
0
• Nel computo delle potenze, si deve
prestare attenzione ai segni delle
potenze, che dipendono dalla
convenzione usata per i componenti,
normale o non-normale
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Teorema di Boucherot (2)
• Bilancio delle potenze complesse (convenzione
normale per tutti i componenti):
Pc , s  Pc ,1  Pc ,C  Pc , 2  Pc , L  0
 Ps  P1  P2  0  - Ps  P1  P2

Qs  QC  QL  0  -Qs  QC  QL
• P1, P2 > 0  Ps < 0 (erogata<0)
• QC < 0, QL > 0, se: QC+QL > 0  Qs < 0 (capacitiva<0)
• Se adottiamo la convenzione non-normale per il
generatore (corrente I’=-I):
• P’s = - Ps > 0 (erogata>0)
• Q’s = - Qs > 0 (capacitiva>0)
Teorema di Boucherot (3)
• Il teorema di Boucherot può essere utilizzato
per caratterizzare un bipolo dal punto di vista
energetico. Nel circuito precedente
consideriamo il bipolo di impedenza z ai
morsetti P e P’.
• Il bilancio delle potenze è:
Ps  P1  P2  0  Pz  P1  P2  0

Pz
Qs  QC  QL  0  Qz  QC  QL  0



Qz
 
 
dove : Pz   V I * , Qz   V I *
• Risulta che il bipolo è resistivo-induttivo e,
quindi, il generatore deve erogare potenza
attiva e potenza reattiva capacitiva per
compensazione.
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Rifasamento totale di
un carico induttivo
• Consideriamo il seguente circuito di
alimentazione di un carico zu induttivo tramite
una linea di trasmissione con impedenza zl
• Calcoliamo le perdite sulla linea
Pl  2 Rl I
2
Pu  Vu I cos u
 Pl 
Vu
2 Rl Pu2
2
cos u 2
• Per minimizzare Pl si deve portare u a zero
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Rifasamento totale di
un carico induttivo (2)
• Si inserisce quindi un condensatore C in
parallelo per compensare la potenza reattiva
Qu del carico (e per annullare la {yu + yC})
QC  Qu  0  -C Vu  Qu  0
2
C
Qu
 Vu
2

Qu
2 f Vu
2
{ yu  jC}  0  C 
- Bu

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