PROGRAMMA DEL CORSO DI MATEMATICA Calcolo differenziale

P ROGRAM M A DEL CORSO DI M AT EM AT ICA
Calcolo di¤erenziale in una variabile.
Funzioni: dominio, immagine, funzioni composte ed inverse. Esempi: Curve
e super…ci. Simmetrie, periodicità, gra…ci. Funzioni elementari: Potenze, esponenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente e arcotangente. De…nizione di limite. Calcolo di limiti. Forme di indecisione. Due numeri speciali: e, . Funzioni
continue. Il teorema degli zeri ed il metodo di bisezione per il calcolo approssimato di uno zero. Esistenza di massimi e minimi. Rapporto incrementale e
derivata, equazione della retta tangente al gra…co di una funzione. Derivata
seconda: concavità e convessità. Regole di derivazione: Somma e di¤erenza,
prodotto e quoziente, derivata della funzione composta ed inversa. Derivate di
funzioni elementari: Potenze, esponenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente
e arcotangente. I teoremi del calcolo di¤erenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, de
l’Hopital. Sudio di funzioni: Dominio e immagine, simmetrie, limiti agli estremi
del dominio, massimi e minimi, concavità e convessità, asintoti, gra…co.
Calcolo integrale in una variabile.
Integrale di Riemann: De…nizione e signi…cato geometrico. Calcolo approssimato di un integrale: Il metodo dei rettangoli e dei trapezi. Proprietà
dell’integrale de…nito. Il teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni primitive e integrale inde…nito. Metodi di integrazione:
Scomposizione, per parti, per sostituzione. La formula di Taylor con il resto
integrale. Lo sviluppo in serie di potenze delle funzioni elementari.
Calcolo di¤erenziale ed integrale in più variabili.
Derivate direzionali e parziali. Gradiente, direzione di massima pendenza.
Equazione del piano tangente ad una super…cie. Derivate di ordine superiore.
Formula di Taylor. Segno di un polinomio di secondo grado. Massimi e minimi
liberi e vincolati. Integrali multipli. Riduzione di un integrale multiplo ad
integrali semplici successivi. Integrazione in coordinate polari. Calcolo di aree,
volumi, baricentri. Area del cerchio, volume della sfera.
Equazioni di¤erenziali.
Esempi dalla …sica: F = ma, velocità e accelerazione. Equazioni di¤erenziali del primo ordine e problema di Cauchy. Signi…cato geometrico: Campo
di direzioni. Soluzioni approssimate di equazioni di¤erenziali: Poligonali di
Eulero. Sviluppo in serie di potenze della soluzione di una equazione di¤erenziale. Equazioni a variabili separabili e lineari. Equazioni del secondo ordine
lineari con coe¢ cienti costanti. L’oscillatore armonico.
Algebra lineare.
Spazi vettoriali. Esempi: Vettori del piano e dello spazio, regola del parallelogramma, prodotto scalare. Combinazione lineare di vettori, vettori indipendenti. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Algebra delle matrici. Sistemi
di equazioni lineari.
1
AP P U N T I DEL CORSO DI M AT EM AT ICA
Questi appunti sono una traccia degli argomenti che si cerca di trattare nelle
ore di lezione. Non devono essere usati come surrogato di un buon libro di testo,
anche perché le dimostrazioni dei risultati presentati sono appena accennate, ed
a volte sono anche imprecise. L’algebra, la geometria analitica e la trigonometria dei programmi delle scuole superiori sono prerequisiti fondamentali. In particolare bisogna sapere cosa sono le equazioni e disequazioni, l’equazione della
retta, le proprietà delle potenze, gli esponenziali e logaritmi, il seno e coseno
e la tangente, i gra…ci di tutte queste funzioni, etc. La logica elementare è un
prerequisito ancor più fondamentale. In particolare bisogna saper usare un linguaggio non ambiguo ed aver ben chiaro cosa sono ipotesi, tesi, dimostrazione.
Le de…nizioni ed i teoremi devono essere enunciati con precisione ed illustrati
con esempi e controesempi.
N U M ERI REALI
Con i numeri naturali N = f1; 2; 3; :::g si possono fare somme e prodotti, con
gli interi relativi Z = f:::; 2; 1; 0; 1; 2; :::g somme, sottrazioni, prodotti, con i
razionali Q = fp=qg somme, sottrazioni, prodotti, divisioni. Con queste quattro
operazioni elementari si possono già risolvere le equazioni di primo grado a
coe¢ cienti interi qx p = 0, x = p=q. Per risolvere le equazioni di secondo
grado ax2 + bx + c = 0 non bastano i razionali, ma occorrono le radici quadrate.
Le formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado fanno intervenire
anche radici terze e quarte. E per equazioni più complicate che numeri bisogna
inventare?
I numeri reali R sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta. I
numeri reali sono anche in corrispondenza con gli allineamenti decimali in…niti,
ma lo sviluppo decimale non è unico! Per esempio 1 : 3 = 0; 333:::, 0; 333::: 3 =
0; 999::: Quindi 0; 999::: = 1.
Teorema: Un numero è razionale se e solo se ha uno sviluppo decimale
periodico.
Dimostrazione: Razionale implica periodico. Dividendo p : q trovo dei resti
0
r < q che dopo al più q volte si ripetono. Questo è il periodo. Periodico
implica razionale. 1=9 = 0; 111:::, 1=99 = 0; 010101:::, 1=999 = 0; 001001001:::.
Quindi, per esempio, 0; abcbcbc::: = a=10 + bc=990 = (99a + bc)=990.
Teorema: Le soluzioni di xn + axn 1 + ::: + bx + c = 0, con a,..., b, c interi,
o sono intere o sono irrazionali. In particolare la radice n-esima di un intero
k, soluzione di xn k = 0, se non è intera non è neanche razionale.
Dimostrazione: Se x = p=q è soluzione, sostituendola nell’equazione ed
eliminando i denominatori si ottiene un’eguaglianza tra numeri interi, pn =
q apn 1 + ::: + bpq n 2 + cq n 1 . Quindi q divide pn e, se p e q sono primi tra
loro, deve essere q = 1.
2
Un corollario
p dei due teoremi precedenti è che esistono dei numeri irrazionali.
Per esempio, 2 è soluzione dell’equazione x2 2 = 0 e non è un intero,quindi
non è una frazione.
Esercizi: Dimostrare che se x è razionale e y irrazionale, allora x + y, x y,
x y, x=y, sono irrazionali. E se sia x che y sono irrazionali? Le radici dei numeri
interi o sono intere
p irrazionali. Cercare un polinomio a coe¢ cienti interi
p o sono
con radice x = 2 2 + 3 3 e concludere che questo numero è irrazionale. loga (b)
è razionale? Se loga (b) = p=q, allora ap = bq ...
De…nizione di Dedekind di numero reale: Una sezione dei razionali è una
suddivisione di questi numeri in due classi fA; Bg tali che ogni elemento della
prima è minore di ogni elemento della seconda. Ogni sezione dei numeri razionali
de…nisce un numero reale ed ogni reale è de…nito da una sezione dei razionali.
Questo numero può essere visto come l’elemento separatore tra le due classi.
Come un razionale p=q è de…nito da una coppia di interi fp; qg, così un reale x
è de…nito da una sezione dei razionali fA; Bg. Più in generale, ogni coppia di
classi contigue di numeri reali fA; Bg ha un elemento separatore, che è contemporaneamente maggiore o uguale a tutti gli elementi in A e minore o uguale a
tutti gli elementi in B. Per esempio, l’insieme dei perimetri dei poligoni inscritti
e circoscritti ad un cerchio sono una coppia di classi contigue che de…niscono il
perimetro del cerchio.
N U M ERI COM P LESSI
Un numero positivo elevato al quadrato resta positivo, ed un numero negativo elevato al quadrato divento positivo. Quindi la radice quadrata di un
numero negativo non è un numero positivo e non è un numero negativo. O non
esiste, o è un nuovo tipo di numero! In matematica si opta per questa seconda
possibilità. Si de…nisce un numero
i immaginario, cioè non reale, con la prop
prietà che i2 = 1, cioè i =
1. Si de…scono poi i numeri complessi a + ib,
con a e b reali. In particolare, se b = 0 il numero è reale e se a = 0 il numero
è immaginario. Le regole del calcolo sono quelle usuali, ma ad i2 si sostituisce
1:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) ;
(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i2 = (ac
a + ib
a + ib c
=
c + id
c + id c
bd) + i (ad + bc) ;
id
(a + ib) (c id)
ac + bd
bc ad
=
= 2
+i 2
:
id
(c + id) (c id)
c + d2
c + d2
Se i numeri reali stanno su una retta, quelli complessi stanno su un piano. Al
numero a+ib corrispondep
il punto di coordinate (a; b). In coordinate polari, è un
vettore
di
lunghezza
=
a2 + b2 ed angolo #, con a = cos (#) e b = sin (#).
p
2
2
= a + b è il modulo e # l’argomento del numero complesso. La somma di
due numeri complessi è la somma dei vettori con la regola del parallelogramma:
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Se a + ib = (cos (#) + i sin (#)) e c + id =
3
(cos (') + i sin (')), allora
=
(a + ib) (c + id) = (cos (#) + i sin (#)) (cos (') + i sin ('))
(cos (#) cos (') sin (#) sin (')) + i (cos (#) sin (') + sin (#) cos ('))
=
(cos (# + ') + i sin (# + ')) :
Il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso con modulo
uguale al prodotto dei moduli, ed argomento uguale alla somma degli argomenti.
SU CCESSION I E SERIE
Progressioni aritmetiche: a(n + 1) a(n) = c.
Progressioni geometriche: a(n + 1)=a(n) = c.
:::
:::
3
1=8
2
1=4
1
1=2
0
1
1
2
2
4
3
8
:::
:::
Alla somma sulla riga sopra corrisponde il prodotto sulla riga sotto. I numeri
della riga sopra sono i logaritmi di quelli sotto. I numeri della riga sotto sono gli
esponenziali di quelli sopra. Le tavole dei logaritmi sono progressioni aritmetiche
e geometriche simili, solo più “…tte”.
Una successione fa(1); a(2); a(3); :::g è una …la di numeri. Quando la successione è in…nita, è interessante conoscerne il comportamento “al limite”, se
i termini crescono a dismisura limn!+1 fa(n)g = +1, se si avvicinano ad
un dato valore limn!+1 fa(n)g = A, o se hanno un comportamento caotico
limn!+1 fa(n)g non esiste.
10
Teorema (Archimede): 3 + 71
< < 3 + 17 .
Dimostrazione: Il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in un
cerchio di raggio uno è 2n sin ( =n) ed il perimetro di un poligono circoscritto
è 2n tan ( =n). Il perimetro del cerchio è il limite dei perimetri dei poligoni
inscritti o circoscritti. Osserviamo ora che si può passare dal perimetro di un
poligono con un dato numero di lati al perimetro di un poligono con un numero
di lati doppio utilizzando le formula di bisezione, se P (n) = n sin ( =n),
v
q
u
r
u
1 sin2 ( =n)
t1
1 cos( =n)
P (2n) = 2n sin ( =2n) = 2n
= 2n
2
2
r
r
q
q
=n
2
4
4 sin2 ( =n) = n
4
2
4
2
4 (P (n)=n) :
Quindi
P (6) = 6 sin( =6) = 3
q
p
P (12) = 6 2
3 = 3; 105:::
r
q
p
P (24) = 12 2
2 + 3 = 3; 132:::
s
r
q
p
P (48) = 24 2
2 + 2 + 3 = 3; 139:::
v
s
u
r
u
q
p
t
P (96) = 48 2
2 + 2 + 2 + 3 = 3; 141:::
Il limite di n sin ( =n) è
= 3; 141592 6535:::
Il problema dell’interesse composto: Con un interesse annuo dell’x% un
k
capitale, o un debito, C in k anni diventa C (1 + x=100) . E se l’interesse
12k
365k
matura mensilmente o giornalmente? C (1 + x=1200) , C (1 + x=36500)
.
E se l’interesse matura istantaneamente?
Teorema: La successione f(1 + 1=n)n g ha un limite e = 2; 7182818284:::.
Più in generale, se fa(n)g ! +1, allora (1 + 1=a(n))a(n) ! e.
Dimostrazione: f(1 + 1=n)n g cresce e (1 + 1=n)n+1 decresce, in mezzo ci sta
il limite e.
De…nizione di funzione esponenziale: exp(x) = limn!+1 f(1 + x=n)n g.
x
Infatti (1 + x=n)n = (1 + x=n)n=x
ex .
De…nizione di logaritmo: log(y) = limn!+1 n(y 1=n 1) .
Infatti, se (1 + x=n)n = y allora x = n(y 1=n 1).
Vedremo in seguito che per le funzioni trigonometriche è naturale misurare
gli angoli non in gradi ma in radianti, in modo da avere l’angolo piatto uguale
a . Similmente, per gli esponenziali e i logaritmi la base naturale è il numero
e, quindi “non avrai altra base all’infuori di e”.
De…nizione di Cauchy di limite limn!+1 fa(n)g = A: La successione
fa(n)g ha limite A se ad ogni " > 0 è possibile associare un N tale che se n > N
allora ja(n) Aj < ". Cioè, …ssato un intorno di A, l’intervallo (A "; A + "),
tutti i termini della successione da un certo posto in poi cadono nell’intorno.
De…nizione di limn!+1 fa(n)g = +1: La successione fa(n)g ha limite
+1 se ad ogni M > 0 è possibile associare un N tale che se n > N allora
a(n) > M . Cioè, …ssato un intono di +1, l’intervallo (M; +1), tutti i termini
della successione da un certo posto in poi cadono nell’intorno.
5
Esempi: La successione fsin (n)g non ha limite. La successione fn sin ( =n)g
ha limite . I numeri reali sono de…niti da successioni. Per esempio è il limite
della successione f3; 3; 1; 3; 14; 3; 141; 3; 1415; 3; 14159; :::g, 0 <
a(n) <
10 n .
Teorema: Il limite, se esiste, è unico.
Dimostrazione: Se esistessero due limiti A e B, i termini della successione
da un certo posto in poi dovrebbero stare contemporaneamente in due intorni
(A "; A + ") e (B "; B + "). Scegliendo tali intorni disgiunti si giunge ad una
contraddizione.
Teorema: Il limite di una successione monotona crescente, a(1) a(2)
a(3) ::: esiste ed è uguale all’estremo superiore dell’insieme fa(n)g.
Dimostrazione: Se A è l’estremo superiore di fa(n)g, A " non è l’estremo
superiore e A " < a(N )
A per un qualche N . Ma per la monotonia
A " < a(N ) a(n) A per ogni n > N .
Teorema (dei due Carabinieri): Se a(n) b(n) c(n) e se sia fa(n)g che
fc(n)g convergono ad uno stesso limite, dove volete che vada a …nire fb(n)g?
Una successione positiva può convergere ad un limite negativo?
Operazioni sui limiti: Il limite della somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,...,
di successioni è la somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,..., dei limiti. Ma esistono delle forme indeterminate: +1 1, 1=1, 0 1, 0=0, 10 , 11 ,...
p
p
n=
Esempi: Se P (n) e Q(n) sono polinomi, P (n)=Q(n) = 1=1. n + 1
+1 1. n1=n = 10 ...
8
9
s
r
r
>
>
q
q
<p q
=
p
p
p
1; 1 + 1; 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1; :::
>
>
:
;
p
La successione de…nita per ricorrenza, a(n + 1) =
1p
+ a(n), cresce ed
è compresa
tra
1
e
2.
Quindi
converge
ed
al
limite
x
=
1 + x, cioè x =
p
1 + 5 =2.
Un limite facile ed uno di¢ cile: Se (n) è il numero di numeri primi minori
o uguali ad n,
lim
n!+1
Il simbolo di somma:
Esempi:
Xn
k=1
(n) = +1;
Xn
k=m
(n)
= 1:
n!+1 n= log(n)
lim
a(k) = a(m) + a(m + 1) + ::: + a(n).
k = n(n + 1)=2,
Xn
k=1
6
k 2 = n(n + 1)(2n + 1)=6.
De…nizione: Una somma di in…niti termini è il limite,
nXnse esiste,o della sucX+1
cessione delle somme parziali,
a(k) = limn!+1
a(k) .
k=0
k=0
Esempio: Lo sviluppo decimale di un numero è una serie di potenze di 10,
3; 1415::: = 3 100 + 1 10
La serie geometrica:
X+1
k=1
(1
1
2
+ 4 10
xk =
1
1
x
+ 1 10
3
+ 5 10
4
+ :::
se jxj < 1.
1 + x + x2 + ::: + xn
x)
= 1 + x + x2 + ::: + xn
x + x2 + ::: + xn + xn+1 = 1
n
X
1
1 xn+1
!
se xn+1 ! 0:
xk =
1 x
1 x
xn+1 ;
k=1
La serie armonica
X+1
k=1
1=k = +1.
1
1 1
1
1
1
1
+
+
+ ::: +
+ ::: +
+
+
+ :::
2
3 4
5
8
9
16
1 1
1
1
1
1
1
+
+
+ ::: +
+
+ ::: +
+ :::
1+ +
2
4 4
8
8
16
16
1 1 1 1
1 + + + + + ::: = +1:
2 2 2 2
X+1
X+1
La serie di Eulero
1=k 2 = 2 =6 e la serie
1=k 3 =?
k=1
k=1
Oltre alle somme in…nite, esistono anche i prodotti e quozienti di in…niti
termini. Per esempio,
1+
sin(x) = x(1 +
x
x
)(1
)(1 +
x
tan(x) =
1
3
x
)(1
2
x2
x2
x2
5
7 :::
x
):::
2
:
F U N ZION I
De…nizione: Una funzione da un insieme A in un insieme B è una relazione
y = f (x) che ad ogni elemento x in A, il dominio della funzione, associa uno
ed un solo elemento y in B, il codominio. L’immagine di un insieme C
Aè
f (C) = ff (x); x 2 Cg e la controimmagine di un insieme D B è f 1 (D) =
fx; f (x) 2 Dg. Una funzione è suriettiva se f (A) = B, cioè se per ogni y in B
l’equazione y = f (x) ha almeno una soluzione. Una funzione è iniettiva se per
u 6= v si ha che f (u) 6= f (v), cioè se per ogni y in B l’equazione y = f (x) ha
7
al più una soluzione. Se una funzione y = f (x) è suriettiva ed iniettiva, si può
considerare la funzione inversa x = f 1 (y), che ad y in B associa x in A. Data
una funzione y = f (x) da A in B ed una funzione z = g(y) da B in C, si può
considerare la funzione composta z = g(f (x)) da A in C. In particolare, per
una funzione invertibile f 1 (f (x)) = f (f 1 (x)) = x.
Esempi: Le successioni sono funzioni de…nite sull’insieme dei numeri naturali.
p
La funzione z = 1 x2 y 2 associa ad una coppia di numeri (x; y) un
numero z. Il dominio sono i punti nel cerchio x2 + y 2 1 e l’immagine il
segmento f0 z 1g.
p
p
f (x) = exp(x) 1;
x!
exp(x) ! exp(x) 1 !
exp(x) 1;
f 1 (x) = log x2 + 1 ; log x2 + 1
x2 + 1
x2
x:
Le funzioni reali di variabile reale associano numeri reali a numeri reali. Le
funzioni monotone crescenti ad a < b associano f (a) < f (b). Quelle decrescenti ad a < b associano f (a) > f (b). Le funzioni monotone sono iniettive e
quindi invertibili. È vero il viceversa? Fenomeni simmetrici sono descritti da
funzioni simmetriche e fenomeni periodici sono descritti da funzioni periodiche.
Le funzioni pari sono quelle che veri…cano la relazione f ( x) = f (x) e le funzioni dispari quelle che veri…cano la relazione f ( x) = f (x). Per esempio, le
potenze pari x2n sono funzioni pari e quelle dispari x2n+1 sono dispari. Le funzioni periodiche sono quelle che veri…cano la relazione f (x + a) = f (x). Se una
funzione ha periodo a ha anche periodo a, 2a, 3a,... Le funzioni trigonometriche sono periodiche, per esempio sin(!x) ha periodo 2 =!. Viceversa, ogni
funzione periodica non troppo patologica può essere scomposta in una in…nita
di funzioni trigonometriche.
Il gra…co di una funzione y = f (x) è l’insieme dei punti f(x; f (x))g.
Il gra…co di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle y. Il gra…co
di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine. Il gra…co di una funzione inversa y = f 1 (x) è il simmetrico del gra…co di y = f (x) rispetto alla
retta y = x.
sin(x)
x
x(x 1)
,
,y=
.
x
1 + x2
x 2
Quali sono dominio ed immagine? Ci sono simmetrie? Com’è il gra…co?
Se f (x) è pari e g(x) dispari, f (x) + g(x), f (x) g(x), f (g(x)), sono pari o
dispari? Se f (x) ha periodo A e g(x) periodo B, che periodo ha f (x) + g(x)?
Basta osservare che se f (x) ha periodo A, ha anche periodi 2A, 3A,..., e se g(x)
ha periodo B, ha anche periodi 2B, 3B,... Se c’è un multiplo comune mA = nB,
questo è un periodo della somma.
Esercizi: Studiare le funzioni y =
De…nizione di limite limx!a f (x) = b: La funzione f (x) tende a b quando x
tende ad a se ad ogni " > 0 è possibile associare un tale che se 0 < jx aj <
allora jf (x) bj < ".
8
limx!a f (x) = b+: La funzione f (x) tende a b dal di sopra quando x
tende ad a dal di sotto se ad ogni " > 0 è possibile associare un tale che se
0 < a x < allora 0 f (x) b < ".
limx!+1 f (x) = 1: La funzione f (x) tende a 1 quando x tende a +1
se ad ogni M è possibile associare un N tale che se x > N allora f (x) < M .
La retta y = mx + q è un asintoto della funzione f (x) per x ! +1 se
limx!+1 jf (x) mx qj = 0.
Operazioni sui limiti: Il limite della somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,...,
è la somma, di¤erenza, prodotto, quoziente,..., dei limiti. Ma esistono delle
forme indeterminate: +1 1, 1=1, 0 1, 0=0, 10 , 11 ,...
Limiti notevoli:
sin(x)
=1
x!0
x
log(1 + x)
lim
=1
x!0
x
lim
cos(x)
= 1=2
x!0
x2
exp(x) 1
lim
=1
x!0
x
lim
1
lim (1 + x)1=x = e
x!0
lim
x!0
(1 + x)
x
1
=
La de…nizione di come limite dei perimetri di poligoni inscritti in un cerchio
è = limn!+1 n sin( =n) e ponendo =n = x si ricava limx!0 sin(x)=x = 1.
Ripetiamo comunque la dimostrazione di questo limite. Assumendo 0 < x <
=2, se x ! 0 si ha
sin(x) < x < tan(x);
1<
x
1
<
!1+:
sin(x)
cos(x)
cos(x)) =x2 ! 1=2,
Da questo limite si ricava subito che (1
1
cos(x)
1
=
2
x
cos(x) 1 + cos(x)
=
x2
1 + cos(x)
sin(x)
x
2
1
1
! :
1 + cos(x)
2
La de…nizione di e a partire dal problema dell’interesse composto è e =
limn!+1 (1 + 1=n)n e ponendo 1=n = x si ha limx!0 (1 + x)1=x = e. Da questo
limite si ricava immediatamente che log(1 + x)=x ! 1,
log(1 + x)
= log (1 + x)1=x ! log (e) = 1:
x
Con il cambio di variabili exp(x)
exp(x)
x
1
1 = t e x = log(1 + t) si ha
=
t
! 1:
log(1 + t)
Con il cambio di variabili x = exp(t)
(1 + x)
x
1
=
1 si ha
exp( t) 1
exp( t)
=
exp(t) 1
t
1
t
exp(t)
1
! :
Osservazione: Il limite limx!a f (x) con il cambio di variabile x = a + t
diventa limt!0 f (a + t).
9
Nel calcolo dei limiti di espressioni complicate, può essere utile cercare di
isolare quella che si ritiene la parte principale dalle parti secondarie. Per esempio, la parte principale in un polinomio axn + bxn 1 + ::: + c quando x ! 1 è
il termine di grado massimo, mentre la parte principale per x ! 0 è il termine
di grado minimo. Per esempio, ricordando che il limite di somme, prodotti,
quozienti,..., è la somma, prodotto, quoziente,..., dei limiti, si ha
xn a + bx 1 + ::: + cx n
axn + bxn 1 + ::: + c
=
lim
x!+1 xm (d + ex 1 + ::: + f x m )
x!+1 dxm + exn 1 + ::: + f
a + b lim x 1 + ::: + c lim x n
a
x!+1
x!+1
lim xn m =
lim xn m :
=
d + e lim x 1 + ::: + f lim x m x!+1
d x!+1
lim
x!+1
x!+1
Nelle forme indeterminate può essere utile aggiungere e togliere o moltiplicare e dividere per opportune quantità, in modo da ricondursi se possibile a
delle forme indeterminate note. Per esempio,
exp(x) cos(x)
exp(x) 1
1 cos(x)
= lim
+ lim
x!0
x!0
sin(x)
sin(x)
sin(x)
x
exp(x) 1
x
1 cos(x)
= lim
lim
+ lim
lim
lim x:
x!0 sin(x) x!0
x!0 sin(x) x!0
x!0
x
x2
lim
x!0
Si possono anche fare appropriati cambi di variabili. Per esempio, per trovare
la parte principale di un polinonio axn + bxn 1 + ::: + c quando x ! d, la
sostituzione naturale è x = d + t e la parte principale risulta allora il termine di
grado minimo in t. Altri esempi sono i seguenti:
arctan(x)
t
t
= lim
= lim cos(t) lim
:
t!0 tan(t)
t!0
t!0 sin(t)
x
xx 1
exp ((1 + t) log(1 + t)) 1
exp(z)
lim
= lim (1 + t)
= lim (1 + t) lim
x!1 log(x)
t!0
t!0
z!0
(1 + t) log(1 + t)
z
lim
x!0
Esempio di ragionamento
sbagliato: Siccome il limite della somma
è la
p
p
somma
dei
limiti
e
sin
(
x)
non
ha
limite
per
x
!
+1,
anche
sin
x
+
1
p
sin ( x) non ha limite. Di fatto il limite con + non esiste, mentre quello con
esiste ed è zero,
p
p
p
p
p
p
x+1+ x
x+1
x
sin x + 1
sin x = 2 cos
sin
2
2
p
p
x+1+ x
1=2
1
p ! 0:
= 2 cos
sin p
p
2
2 x
x+1+ x
De…nizione non rigorosa di funzione continua: Una funzione è continua se
il suo gra…co è una curva continua, senza salti. y = f (x) è continua se a piccole
variazioni della x corrispondono piccole variazioni della y.
De…nizione più rigorosa: Una funzione f (x) è continua in un punto a se
limx!a f (x) = f (a). Una funzione è continua se per ogni intorno V di f (a)
10
1
:
esiste un intorno U di a tale che f (U )
V . Una funzione è continua in un
intervallo se è continua in ogni punto dell’intervallo.
Operazioni sulle funzioni continue: La somma o di¤erenza di funzioni continue è una funzione continua, e lo stesso per il prodotto o il quoziente, quando
il denominatore non si annulla,... La funzione composta di funzioni continue è
continua. La funzione inversa di una funzione continua è continua. Infatti, una
funzione è continua se il suo gra…co è una curva continua. Ma una funzione e
la sua inversa hanno lo stesso gra…co...
Le funzioni elementari, x , ax , loga (x), sin(x), cos(x), tan(x),..., sono continue. La parte intera di un numero [x], e la parte decimale x [x] sono funzioni
con discontinuità nei punti interi.
Esercizi: Dimostrare che le funzioni
elementari sono continue. Quipveri…chip
p
x
è
continua
dal di sotto, limx!a
x = a.
amo per esempio che
la
funzione
p
p p
Se x < a si ha
x < a x. Per convincersi basta elevare a quadrato.
p 0 <p a
Quindi 0 < a
x < " se 0 < a x < "2 .
Teorema degli zeri (Bolzano): Se la funzione f (x) è continua nell’intervallo
a x b e se f (a) < 0 < f (b), allora esiste a < c < b con f (c) = 0. Più in
generale, una funzione continua in un intervallo a x b prende tutti i valori
tra f (a) e f (b).
Dimostrazione: Il signi…cato geometrico del teorema è che se il punto (a; f (a))
sta sotto l’asse delle x ed il punto (b; f (b)) sopra, il gra…co della funzione deve
tagliare quest’asse. Anche se il teorema appare evidente, ne diamo una dimostrazione che fornisce un algoritmo per ottenere delle approssimazioni arbitrariamente vicine allo zero cercato. Dividiamo l’intervallo [a; b] nel punto di
mezzo (a+b)=2. Se f ((a + b)=2) = 0 abbiamo trovato lo zero. Se f ((a + b)=2) >
0 cerchiamo lo zero in [a; (a + b)=2] e se f ((a + b)=2) < 0 lo cerchiamo in
[(a + b)=2; b]. Dividendo ripetutamente in due l’intervallo in cui si cerca lo zero,
si costruiscono così due successioni fa(n)g e fb(n)g tali che a = a(0) a(1)
a(2) ::: b(2) b(1) b(0) = b, b(n) a(n) = 2 n (b a), e f (a(n)) 0
f (b(n)). Le successioni fa(n)g e fb(n)g sono monotone ed hanno lo stesso limite
c. Per la continuità dalla funzione deve essere f (c) = limn!+1 f (a(n)) 0 e
f (c) = limn!+1 f (b(n)) 0, quindi f (c) = 0. Per dimostrare che la funzione
prende tutti i valori f (a) < y < f (b) basta applicare il teorema a f (x) y.
Illustriamo il metodo di bisezione cercando una radice di f (x) = x3 + x 1.
Siccome la funzione è crescente, l’eventuale radice è unica. Da f (0) = 1 e
f (0) = 1 si ricava che c’è una radice tra 0 e 1. Prendiamo il punto di mezzo.
Da f (1=2) = 3=8 si ricava che la radice è tra 1/2 e 1. Prendiamo il punto di
mezzo. Da f (3=4) = 11=64 si ricava che la radice è tra 1/2 e 3/4... Ad ogni
passo l’errore si dimezza.
Un teorema di punto …sso: Se f (x) : [a; b] ! [a; b] è continua, esiste c con
f (c) = c. Cioè, se spostiamo in modo continuo tutti i punti di un intervallo
11
chiuso e limitato, almeno un punto resta fermo. Basta applicare il teorema
degli zeri alla funzione F (x) = f (x) x.
Teorema (Weierstrass): Una funzione f (x) continua in un intervallo chiuso
e limitato a x b ha minimo e massimo, cioè esistono dei punti c (minimo)
e d (massimo) tali che f (c) f (x) f (d) per ogni x in [a; b].
Dimostrazione: Spezziamo a metà l’intervallo di partenza. L’estremo inferiore dei valori assunti da f (x) in uno dei due intervalli [a; (a + b)=2] o [(a + b)=2; b]
è uguale all’estremo inferiore di f (x) in [a; b]. Scelto l’intervallo, iteriamo. In
questo modo si ottiene una successione di intervalli inscatolati fI(n)g tali che
l’estremo inferiore di f (x) in I(n) è uguale all’estremo inferiore in [a; b]. Il punto
di minimo cercato è de…nito da c = \I(n). Infatti, scegliamo una successione
fxn g ! c, con xn 2 I(n) e ff (xn )g ! inf ff (x)g. Per l’ipotesi di continuità,
dato un " > 0 esiste un intervallo (c
; c + ) tale che per ogni punto in questo
intervallo jf (x) f (c)j < ". Se n è abbastanza grande xn (c ; c+ ), e quindi
jf (xn ) f (c)j < ". La conclusione se n ! +1 è che jinf ff (x)g f (c)j
",
per ogni " > 0.
Il teorema degli zeri e quello sui massimi e minimi non si applicano a funzioni
discontinue. È chiaro che una funzione dicontinua può saltare da un valore
negativo ad uno positivo senza passare dallo zero. Una funzione continua su un
intervallo aperto o illimitato può non aver minimo o massimo. Per esempio, la
funzione 1=x nell’intervalli aperto 0 < x < 1 non ha minimo e non ha massimo,
mentre nell’intervallo illimitato 1 x < +1 ha massimo ma non ha minimo.
Le dimostrazioni del teorema degli zeri e dell’esistenza di minimi e massimi
presentate sono entrambe basate su un processo di bisezione degli intervalli in
cui si vanno a cercare gli zeri e i minimi o i massimi. Tra le due dimostrazioni
c’è però una di¤erenza di sostanza. La dimostrazione del teorema degli zeri
è costruttiva perché permette di scegliere esplicitamente gli intervalli ed è un
algoritmo implementabile su un calcolatore. Nella dimostrazione del teorema
sui minimi e massimi non è invece possibile decidere in un numero …nito di passi
se l’estremo inferiore o superiore è nell’intervallo di destra o di sinistra, perché
in un numero …nito di passi si può solo valutare la funzione in un numero …nito
di punti. Se però si sa a priori che la funzione ha un solo massimo relativo,
c’è un algoritmo che permette di costruire una successione convergente a questo
massimo. Per cercare il massimo di una funzione f (x) con un solo massimo
relativo in a x b, si può dividere in quattro l’intervallo in corrispondenza
dei punti a < c < d < e < b. Se f (c) > f (d) allora il massimo è in a x d. Se
f (e) > f (d) allora il massimo è in d x b. Se f (c) < f (d) e f (e) < f (d)allora
il massimo è in c
x
e. Si può iterare il procedimento ed ad ogni passo
l’intervallo in cui si cerca il massimo si dimezza.
Esempio: Tra i rettangoli di perimetro dato ne esiste uno di area massima?
Se il perimetro è 2P , un lato è x, l’altro è P x, l’area è x(P x). La variabile x
varia in 0 < x < P . Se aggiungiamo a questo intervallo i due estremi, possiamo
applicare alla funzione area il teorema di Weierstrass e concludere che esistono
12
dei minimi e dei massimi. I punti x = 0; P sono minimi e l’area è zero. Da
2
x(P
x) = P 2 =4 (x P=2) si ricava che x = P=2 è il massimo. Tra i
rettangoli di perimetro dato quello di area massima è il quadrato. Similmente,
tra i rettangoli di area data quello di perimetro minimo è il quadrato.
A volte si cercano dei massimi e minimi di funzioni più complicate delle
funzioni reali di variabile reale e non è a¤atto chiaro che questi massimi o minimi
esistano. Tra i rettangoli di perimetro dato si è trovato quello con area massima,
ma più in generale si può cercare tra tutte le curve chiuse di lunghezza assegnata
quella che racchiude l’area massima. Si deve cercare il massimo della funzione
area de…nita sull’insieme delle curve di lunghezza …ssata, il massimo non è un
punto, ma è una curva. Comunque, la soluzione del problema isoperimetrico è
il cerchio. Similmente, tra le super…ci che racchiudono un volume dato, quella
di area minima è la sfera. Le bolle di sapone sono sferiche per questo motivo.
Se chi guadagna da 0 a 100 paga 1% di tasse, chi guadagna da 100 a 200 paga
2% di tasse, chi guadagna da 200 a 300 paga 3% di tasse,..., la funzione che al
reddito lordo associa il reddito al netto delle tasse è continua? Che gra…co ha?
Qual’è il massimo reddito netto? Se f (x) è il reddito netto e 100(n 1) < x
100n, allora f (x) = (1 n=100)x. I multipli di 100 sono punti sono discontinuità.
Il massimo reddito deve ricercarsi tra i punti f (100n) = (100 n)n e corrisponde
al valore n = 50. Infatti f (100(n + 1))
f (100n) se e solo se n
99=2, la
successione prima cresce e poi decresce.
DERIV AT E
f (b) f (a)
.
b a
f (b) f (a)
De…nizione di derivata: f 0 (a) = limb!a
.
b a
De…nizione di rapporto incrementale:
f (a + h) f (a)
Ponendo b = a + h si può anche de…nire f 0 (a) = limh!0
.
h
Il rapporto incrementale è il coe¢ ciente angolare della retta per i punti
(a; f (a)) e (b; f (b)). La derivata è il limite, se esiste, dei rapporti incrementali,
cioè dei coe¢ cienti angolari delle rette secanti. Queste rette secanti tendono alla
retta tangente, quindi la derivata è il coe¢ ciente angolare della retta tangente.
Teorema: Se esiste, l’equazione della retta tangente alla curva y = f (x)
nel punto (a; f (a)) è y = f (a) + f 0 (a)(x a).
f (b) f (a)
Dimostrazione: y = f (a) +
(x a) è la retta secante per i punti
b a
(a; f (a)) e (b; f (b)). Se b ! a la retta secante tende alla retta tangente ed il
rapporto incrementale tende alla derivata.
Una funzione derivabile è anche continua. Infatti f (b) f (a) f 0 (a)(b a) !
0 se b ! a. Non è vero il viceversa. Alcune funzioni continue possono non essere
derivabili ed alcune curve possono non aver tangente. Per esempio, y = jxj ha
un angolo in x = 0 e y = x sin(1=x) ha una singolarità più complicata.
13
La derivata prima f 0 (x) di una funzione f (x) è a sua volta una funzione
che può essere derivata. La derivata seconda f 00 (x) è la derivata della derivata.
Ci sono poi le derivate terze, quarte,... Intuitivamente, se la derivata prima è
positiva, la retta tangente è rivolta in alto e la funzione cresce. Se la derivata
seconda è positiva, la derivata prima cresce, cioè i coe¢ cienti angolari delle rette
tangenti crescono e la concavità della funzione è rivolta in alto. Se f 00 (x) > 0,
la regione di piano sopra la curva y = f (x) è convessa e se f 00 (x) < 0 è convessa
la regione sotto y = f (x).
Esempio: La velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo
impiegato per percorrerlo. La velocità è derivata dello spazio rispetto al tempo.
L’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo, cioè la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo. La legge di Newton F = ma è un’equazione
tra le forze che agiscono su un corpo e la derivata seconda dello spostamento.
La notazione di Newton per le derivate: y, y,...
dy d2 y
,
,...
La notazione di Leibniz per le derivate:
dx dx2
Gli incrementi …niti delle variabili x e y sono x e y, gli incrementi in…nitesimi sono dx e dy. Il rapporto incrementale è y= x e la derivata dy=dx.
Regole di derivazione:
d
( f (x) + g(x)) = f 0 (x) + g 0 (x).
Somma:
dx
Infatti il rapporto incrementale della somma è la somma dei rapporti incrementali ed il limite della somma è la somma dei limiti.
d
Prodotto:
(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
dx
f (x + h)g(x + h) f (x)g(x)
=
h!0
h
f (x)
g(x + h) g(x)
g(x + h) + f (x)
= f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x):
h
lim
lim
h!0
f (x + h)
h
Con la notazione di Leibniz, se y = f (x) e z = g(x) e se dx, dy, dz sono gli
incrementi in…nitesimi di x, y, z, si ha che dydz è uno zero doppio rispetto a dx
e
(y + dy)(z + dz)
d(yz)
=
dx
dx
yz
=
dy
dz
dydz
dy
dz
z+
y+
=
z+
y:
dx
dx
dx
dx
dx
14
Quoziente
d
dx
f (x)
g(x)
=
f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x)
.
g 2 (x)
f (x + h)=g(x + h) f (x)=g(x)
=
h
f (x + h) f (x)
g(x + h) g(x)
g(x) f (x)
f 0 (x)g(x) f (x)g 0 (x)
h
h
lim
=
:
h!0
g(x)g(x + h)
g 2 (x)
y + dy y
y
dy
dz
d
z
y
z(y
+
dy)
y(z
+
dz)
z
+
dz
z
z =
=
= dx 2 dx :
dx
dx
z(z + dz)dx
z
lim
h!0
d
(f (g(x))) = f 0 (g(x))g 0 (x).
dx
f (g(x + h)) f (g(x))
lim
=
h!0
h
f (g(x + h)) f (g(x)) g(x + h) g(x)
= f 0 (g(x))g 0 (x):
lim
h!0
g(x + h) g(x)
h
dy
dy dz
=
:
dx
dz dx
Funzione composta:
Funzione inversa: f
1 0
(f (x)) = 1=f 0 (x).
f
1
(f (x)) = x;
d
d
(f 1 )0 (f (x))f 0 (x) =
f 1 (f (x)) =
(x) = 1:
dx
dx
dx
1
=
:
dy
dy=dx
Se la retta tangente a y = f (x) nel punto (a; f (a)) è y = f (a) + f 0 (a)(x a),
la retta tangente a y = f 1 (x) nel punto (f (a); a) è y = a + (x f (a)) =f 0 (a).
Derivate di funzioni elementari:
d
d
d
1
x = x 1
exp(x) = exp(x)
log(jxj) =
dx
dx
dx
x
d
d
d
1
sin(x) = cos(x)
cos(x) = sin(x)
arctan(x) =
dx
dx
dx
1 + x2
d
(x + h)
x
(1 + h=x)
1
x = lim
= x 1 lim
= x 1:
h!0
h!0
dx
h
h=x
d
exp(x + h) exp(x)
exp(h) 1
exp(x) = lim
= exp(x) lim
= exp(x):
h!0
h!0
dx
h
h
log(jx + hj) log(jxj)
1
log(j1 + h=xj)
1
d
log(jxj) = lim
= lim
= :
h!0
dx
h
x h!0
h=x
x
d
sin(x + h) sin(x)
cos(x) sin(h) + sin(x) cos(h) sin(x)
sin(x) = lim
= lim
h!0
h!0
dx
h
h
sin(h)
1 cos(h)
= cos(x) lim
sin(x) lim
lim h = cos(x):
h!0
h!0
h!0
h
h2
15
La derivata di cos(x) si calcola come quella di sin(x). Presentiamo comunque
delle dimostrazioni alternative di alcune di queste formule.
0
(log) (ex ) =
1 d
1
;
log(x) = :
x
e dx
x
d
d
x =
exp ( log(x)) = exp ( log(x)) = x 1 :
dx
dx
x
d
d
cos(x) =
sin(x + =2) = cos(x + =2) = sin(x):
dx
dx
La tangente e la funzione inversa arcotangente: tan(x) : ( =2; =2) !
( 1; +1) è crescente ed ha una funzione inversa arctan(x) : ( 1; +1) !
( =2; =2).
d sin(x)
1
d
tan(x) =
=
:
dx
dx cos(x)
cos2 (x)
1
1
1
d
0
(arctan) (tan(x)) =
=
arctan(x) =
:
;
2
2
1= cos (x)
1 + x2
1 + tan (x) dx
Il seno e la funzione inversa arcoseno: sin(x) : [ =2; =2] ! [ 1; 1] è
crescente ed ha una funzione inversa arcsin(x) : [ 1; +1] ! [ =2; =2].
d
sin(x) = cos(x):
dx
d
1
1
1
0
;
(arcsin) (sin(x)) =
=q
arcsin(x) = p
:
cos(x)
1 x2
1 sin2 (x) dx
Esercizi: Derivare y = ax e y = xx . Calcolare la derivata seconda di
y = f 1 (x) nel punto f (x). Ricavare la formula di derivazione del quoziente
1
f (x)=g(x) = f (x) (g(x)) dalle formule di derivazione del prodotto, della funzione composta e delle potenze. Dimostrare che una funzione pari ha una
derivata dispari, e viceversa. Per quali valori di a e b la funzione f (x) =
ax +
p b se x 0, è continua e derivabile?
cos ( x) se x > 0
Teorema (Fermat): In un punto di minimo o massimo la derivata, se esiste,
è zero. In un punto di minimo o massimo la retta tangente al gra…co della
funzione è orizzontale.
f (a + h) f (a)
ha
Dimostrazione: Se a è un minimo, f (a + h) f (a) 0 e
h
il segno di h. Il limite del rapporto incrementale è negativo o nullo se h ! 0 ,
ed è positivo o nullo se h ! 0+. Quindi il limite, se esiste, è zero.
I minimi e massimi di una funzione vanno dunque cercati: 1) dove la derivata
si annulla, 2) dove la funzione non è derivabile, 3) agli estremi del dominio di
de…nizione. Per esempio, la funzione y = jxj ha minimo in x = 0, dove c’è un
16
p
2
angolo.
p La funzione y = 1 x ha un massimo in x = 0, dove la derivata
2
x= 1 x si annulla, e due minimi in x = 1, agli estremi del dominio.
Esercizi: Trovare il punto sulla parabola
y = x2 più vicino a (1; 0). La
p
2
distanza del punto (x; x ) da (1; 0) è 1 2x + x2 + x4 . Questa funzione è
de…nita per ogni x e per poter applicare il teorema sull’esistenza dei minimi
occorre restringerla ad un intervallo chiuso e limitato. È evidente se x < 0 o
se x > 1 la distanza di (x; x2 ) da (1; 0) èpmaggiore di 1, mentre se x = 0 e
x = 1 questa distanza è 1 e se x = 1=2 è 5=16 < 1. Quindi il minimo della
funzione distanza esiste ed è in 0 x 1, anzi è strettamente interno a questo
intervallo
e per la sua ricerca si può applicare il teorema di Fermat. La derivata
p
di 1 2x + x2 + x4 si annulla quando 4x3 + 2x 2 = 0. Poiché la funzione
f (x) = 4x3 + 2x 2 è crescente con f (0) = 2 e f (1) = 4, c’è un solo zero ed
è tra 0 e 1 e questo zero è il punto di minimo cercato. Da f (1=2) = 1=2 si
deduce che lo zero è tra 1/2 e 1. Da f (3=4) = 19=16 si deduce che lo zero è tra
1/2 e 3/4...
Il seguente problema è stato posto nel 1547 da Ferrari a Tartaglia in una
contesa sulle equazioni di terzo grado: Dividere 8 in due parti a e b in modo che
il prodotto a b (a b) risulti massimo. Se a è la parte più grande e b = x la più
piccola, si chiede di trovare il massimo della funzione a b (a b) = x(8 x)(8 2x)
in 0 x 4. Osserviamo che …ssata y l’equazione y = x(8 x)(8 2x) ha una
o due o tre soluzioni x ed i valori minimi e massimi che assume la funzione sono
quelli che danno due soluzioni. Quindi si può risolvere il problema di massimo
se si conosce la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. Il problema è
molto più semplice se si conoscono le derivate.
La derivata di x(8 x)(8 2x)
p
è 64 48x + 6x2 e si annulla
in
4
4=
3.
Dal
segnopdella derivata si deduce
p
immediatamente che 4 4= 3 è un massimo e 4 + 4= 3 un minimo.
Tra i cilindri inscritti in una sfera di raggio R trovare
p quello di volume
massimo. Se l’altezza del cilindro è 2x, il raggio di
base
è
R2 x2 , il volume
p
2
2
2 x R
x ed il massimo cercato è in x = R= 3.
Teorema (Rolle): Se f (x) è continua in a x b e derivabile in a < x < b
e se f (a) = f (b), allora esiste un punto a < c < b con f 0 (c) = 0.
Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass la funzione ha massimo ed minimo. Se gli estremi dell’intervallo sono contemporaneamente punti di massimo e
minimo, la funzione è costante e la derivata è zero. Se o il massimo o il minimo
è interno all’intervallo, per il teorema di Fermat in questo punto la derivata si
annulla.
Teorema (dell’incremento …nito di Lagrange): Se f (x) è continua in a
f (b) f (a)
=
x b e derivabile in a < x < b, esiste un punto a < c < b con
b a
0
f (c). La retta secante in (a; f (a)) e (b; f (b)) è parallela ad una retta tangente
al gra…co della funzione.
Dimostrazione: Sottraiamo alla funzione la retta secante:
17
F (x) = f (x)
f (a) +
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) :
Si ha F (a) = F (b) e, per il teorema di Rolle, F 0 (c) = 0.
Teorema (dell’incremento …nito di Cauchy): Se f (x) e g(x) sono continue
in a x b e derivabili in a < x < b, con g 0 (x) 6= 0, esiste un punto a < c < b
f 0 (c)
f (b) f (a)
= 0 .
con
g(b) g(a)
g (c)
Dimostrazione: Ponendo H(x) = (g(b) g(a))f (x) (f (b) f (a))g(x), si ha
H(a) = H(b) e, per il teorema di Rolle, H 0 (c) = 0. Osserviamo che se g(x) = x
si riottiene il teorema dell’incremento …nito di Lagrange.
Corollario: Se f 0 (x) > 0 la funzione è crescente e se f 0 (x) < 0 la funzione
è decrescente.
Dimostrazione: Per ogni a e b esiste c tale che f (b) f (a) = (b a)f 0 (c). Se
per ipotesi f 0 (c) > 0, allora b a > 0 implica f (b) f (a) > 0.
Corollario: Se f 0 (x) = 0 la funzione è costante. In particolare, due funzioni
con la stessa derivata di¤ eriscono per una costante.
Dimostrazione: Per ogni a e b esiste c tale che f (b) f (a) = (b a)f 0 (c). Se
0
f (c) = 0, allora f (b) = f (a).
Attenzione! Le due a¤ermazioni “La derivata di una funzione costante è
zero” e “Se una funzione ha derivata zero allora è costante” sono distinte ed
hanno dimostrazioni di¤erenti. La prima a¤ermazione è banale, la seconda
un po’ meno. Per esempio la derivata di f (x) = arctan(x) + arctan(1=x) è
identicamente zero, quindi la funzione è costante. Ponendo x = 1 si deduce che
questa costante è =2. Come altro esempio risolviamo l’equazione di¤erenziale
y(x) = y(x). Una soluzione è y(x) = 0 e le altre si ottengono osservando che se
d
y(x) 6= 0, allora
(log(jy(x)j) x) = y(x)=y(x) 1 = 0, log(jy(x)j) = c + x,
dx
c x
y(x) = e e .
Un’applicazione …sica: Se s(t) è la posizione al tempo t di un corpo soggetto
2
alla forza di gravità, la somma dell’energia cinetica m s(t) =2 e potenziale
mgs(t) è costante. Infatti,
0
1
2
s(t)
d B
C
mgs(t)A = ms(t) s(t) g = 0:
@m
dt
2
Teorema (DeL’Hôpital): Se f (x) e g(x) sono continue e derivabili in x > a,
con limx!a+ f (x) = limx!a+ g(x) = 0, il limite limx!a+ f (x)=g(x) è una forma
indeterminata 0=0. Ma se g 0 (x) 6= 0 e se limx!a+ f 0 (x)=g 0 (x) esiste, allora
anche limx!a+ f (x)=g(x) esiste e questi due limiti sono uguali.
18
Esistono risultati analoghi per altre forme di indecisione, f (x) ! 1 e
g(x) ! 1, x ! 1,...
Dimostrazione: Per semplicità dimostriamo il teorema nell’ipotesi f (x) e
g(x) continue e derivabili in x a, con f (a) = g(a) = 0 e g 0 (a) 6= 0. In questo
caso,
f (x) f (a)
f (x) f (a)
x a
f 0 (a)
f (x)
=
=
! 0
:
g(x)
g(x) g(a)
x a
g(x) g(a)
g (a)
Per dimostrare il teorema senza l’ipotesi di derivabilità nel punto a, si può
usare il teorema dell’incremento …nito di Cauchy. Attenzione! Il teorema
dell’Hôpital non si applica a limiti che non sono forme di indecisione. Per
esempio limx!0+ x= cos(x) 6= limx!0+ 1= sin(x).
Confronti di in…nitesimi ed in…niti: I logaritmi crescono più lentamente delle
potenze, limx!+1 x" = log(x) = +1 per ogni " > 0, e le potenze crescono più
lentamente degli esponenziali, limx!+1 ax =xn = +1 per ogni a > 1 ed ogni
intero n. Infatti,
"x" 1
x"
= lim
= " lim x" = +1;
x!+1 1=x
x!+1
x!+1 log(x)
ax
log(a)ax
logn (a)ax
lim n = lim
=
:::
=
lim
= +1:
x!+1 x
x!+1 nxn 1
x!+1
n!
lim
x" decresce più velocemente di quanto
limx!0+ x" log(x) = 0 .
log(x) cresce quando x ! 0+,
L’algoritmo di Newton per il calcolo numerico degli zeri di una funzione: Si
sostituisce alla funzione y = f (x) la retta tangente y = f (a) + f 0 (a)(x a) e si
sostituisce allo zero della funzione f (x) = 0 lo zero della retta f (a) + f 0 (a)(x
a) = 0, cioè x = a f (a)=f 0 (a). Partendo da un punto a = a(0) si ottiene così
una successione a(n+1) = a(n) f (a(n))=f 0 (a(n)) che, sotto opportune ipotesi,
converge molto velocemente allo zero cercato.
Applicando il metodo di Newton alla funzione x2 A sipottiene l’algoritmo
di Erone per il calcolo della radice quadrata. Per calcolare A, si pone g(x) =
p
1
A
x+
e, scelto un arbitrario a(0) > A, si de…nisce ricorsivamente a(n +
2
x
p
1) = g(a(n)). La successione fa(n)g converge velocemente a A. Infatti,
p
p
p
a(n + 1)
A = g(a(n)) g( A) = g 0 (c)(a(n)
A):
Osserviamo ora che g 0 (c)p< 1=2, quindi ad ogni passo l’errore si riduce di
più della metà. Anzi, da g 0 ( A) = 0 si ricava che l’errore decresce ancora più
velocemente.
Se F (x; y; :::) è una funzione di più variabili e se le …ssiamo tutte meno
una, otteniamo delle funzioni di una sola variabile a cui possiamo applicare
19
l’operazione di derivazione. De…niamo così le derivate parziali:
8
@
F (x + h; y; :::) F (x; y; :::)
>
<
F (x; y; :::) = lim
;
h!0
@x
h
@
F
(x;
y
+
h;
:::)
F
(x;
y;
:::)
>
:
F (x; y; :::) = lim
; :::
h!0
@y
h
Più in generale, si può de…nire la derivata nella direzione di (a; b; :::),
F (x + ha; y + hb; :::)
h!0
h
lim
F (x; y; :::)
=a
@
@
F (x; y; :::) + b F (x; y; :::) + :::
@x
@y
L’equazione del piano tangente alla super…cie z = F (x; y; :::) nel punto
(a; b; :::; F (a; b; :::)) è
z = F (a; b; :::) +
@
F (a; b; :::)(x
@x
a) +
@
F (a; b; :::)(y
@y
a) + :::
La formula di Taylor per funzioni di due variabili z = F (x; y):
G (t) = F (a + t (x
a) ; b + t (y
b));
2
d
1 d
G(0) +
G(0) + :::;
@t
2 @t2
@
@
F (x; y) = F (a; b) +
F (a; b)(x a) +
F (a; b)(y a)
@x
@y
@2
@2
@2
F (a; b)(x a)2 + 2
F (a; b)(x a)(y a) + 2 F (a; b)(y
2
@x
@x@y
@y
G(1) = G(0) +
+
1
2
a)2
+ :::
Se F (x; y; :::) ha un minimo o un massimo in (a; b; :::), allora la funzione
x ! F (x; b; :::) ha un minimo o un massimo in x = a, y ! F (a; y; :::) ha
un minimo o un massimo in y = b,... Quindi nei punti di minimo o massimo
interni al dominio della funzione le derivate parziali si annullano. I minimi e
massimi vanno dunque cercati dove tutte le derivate parziali si annullano, dove
la funzione non è derivabile ed agli estremi del dominio di de…nizione.
Il metodo dei minimi quadrati: Supponiamo di avere un insieme di dati
accoppiati (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ),..., (xn ; yn ),..., che possiamo immaginare come una
nuvola di punti nel piano, e cerchiamo una retta y = mx + q che si avvicini il più
possibile a tutti questi punti. Una possibile risposta al problema èX
data dalla
n
retta che rende minima la somma degli scarti quadrati F (m; q) =
(yj
j=1
mxj
q)2 . Deriviamo rispetto a m e q,
8
>
@
>
>
F (m; q) =
>
< @m
>
@
>
>
>
: @q F (m; q) =
2
n
X
xj (yj
mxj
q) =
j=1
2
n
X
(yj
mxj
q) =
j=1
2
2
n
X
j=1
20
n
X
xj yj + 2
j=1
yj + 2
n
X
j=1
n
X
x2j m + 2
j=1
xj m + 2nq:
n
X
j=1
x2j q;
Uguagliando a zero le derivate, si ottiene un sistema di due equazioni nelle
due incognite m e q. La soluzione del sistema determina la retta dei minimi
quadrati.
Esempio: Tra tutti i triangoli di perimetro 2P trovare
quello di area massima.
p
Se i lati sono x, y, z, e se x + y + z = 2P , l’area è P (P x) (P y) (P z).
Posto z = 2P x y, il quadrato dell’area è P (P x) (P y) (x + y P ). Le
derivate parziali si annullano quando
@
P (P
@x
@
P (P
@y
x) (P
y) (x + y
P)
= P (P
y) (2P
2x
y) = 0;
x) (P
y) (x + y
P)
= P (P
x) (2P
x
2y) = 0:
Quindi le derivate si annullano per x = y = z = 2P=3. Il triangolo è
equilatero!
ST U DI DI F U N ZION I
Per studiare una funzione si può cercar di applicare il protocollo seguente:
1) Insieme di de…nizione, immagine, eventuali simmetrie e periodicità, eventuali
discontinuità. Può anche essere signi…cativo determinare le intersezioni con gli
assi ed il segno. 2) Limiti alla frontiera ed eventuali asintoti. A questo punto
si dovrebbe già avere un’idea qualitativa del gra…co, infatti molte funzioni sono
in certo senso caratterizzate dalle loro singolarità, che si trovano di solito agli
estremi del dominio di de…nizione. 3) Derivata, segno della derivata, eventuali
minimi e massimi. 4) Derivata seconda, concavità, convessità, ‡essi. 5) Gra…co
qualitativo y = f (x).
p
Esempio: y = x jlog(x)j. Dominio fx > 0g. Immagine fy 0g. Zeri
fx = 1g, questo punto è un minimo assoluto. limx!0+ y = 0+, limx!+1 y =
+1, la funzione va all’in…nito più velocemente di ogni retta y = mx + q, quindi
dy
2 log(x) + 1
non ci sono asintoti.
=
. La derivata tende all’in…nito in
1=2
dx
2
jlog(x)j
p
x = 0; 1 e si annulla in x = 1= e, prima di questo punto la derivata è positiva
d2 y
2 log(x) 1
e dopo negativa, il punto è un massimo relativo.
=
. In
2
3=2
dx
p
p 4x jlog(x)j
0 < x < 1 e 1 < x < e la funzione p
è concava e in x > e convessa. Il punto
x = 1 è una cuspide ed il punto x = e un ‡esso.
Esempio: y = sin(x) (1
2 sin(x)). Dominio f 1 < x < +1g. Periodicità
dy
2 . Immagine f 3 y 1=8g. Zeri fx = 0; =6; 5 =6; g.
= cos(x) (1 4 sin(x)).
dx
Minimi fx = =2; 3 =3g e massimi fx = arcsin(1=4);
arcsin(1=4)g.
IN T EGRALI
21
Se si vuole misurare l’area di una certa regione, la si ricopre con quadrati
di lato un metro (per esempio) e poi si contano i quadrati. Per una misura più
precisa si possono usare quadrati di un decimetro quadro, e per una precisione
maggiore si possono usare i centimetri quadrati... Il metodo di esaustione per
misurare una regione arbitraria è l’approssimazione di questa regione con altre
che si sanno misurare. L’area di un rettangolo è base per altezza. Un insieme è
misurabile se può essere approssimato dal di dentro e dal di fuori con poligoni
unione di rettangoli disgiunti. Se le aree dei poligoni interni ed esterni sono una
coppia di classi contigue, l’elemento separatore è l’area dell’insieme.
Z b
f (x)dx: È l’area della regione deDe…nizione “intuitiva” di integrale
a
limitata dalla curva y = f (x) e dalle rette x = a, y = 0, x = b. La notazione è di
Leibniz: Dividiamo la regione sotto la curva in tanti rettangoli di altezza f (x)
e base dx in…nitesima,
l’area di un rettangolo è f (x)dx e l’area della regione è
R
la somma S = da a a b di tutte queste aree in…nitesime.
Il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato di un integrale:
Dividiamo [a; b] in a = x0
y0
x1
y1
:::
xn = b e calcoliamo la
somma delle aree dei rettangoli di base [xj ; xj+1 ] e altezza f (yj ),
Z b
n
X1
f (x)dx
f (yj ) (xj+1 xj ) :
a
j=0
Se i punti fxj g sono equidistanti, xj = a + j(b a)=n, e se yj = xj ,
Z b
n 1
b a
b aX
f a+j
:
f (x)dx
n
n
a
j=0
Il metodo dei trapezi per il calcolo approssimato di un integrale:
Invece dei rettangoli, si può approssimare l’area con trapezi,
Z b
n
X1
b a
b a
b a
f a+j
+ f a + (j + 1)
f (x)dx
n
n
2n
a
j=0
0
1
n 1
b a @ f (a) + f (b) X
b a A
=
+
f a+j
:
n
2
n
j=1
Esempi: Con il metodo dei rettangoli e dei trapezi calcoliamo
Z
b
x2 dx.
0
Rettangoli :
T rapezi :
n 1
n 1
2
b X
b
b3 X 2
b3
b3
b3
j
= 3
j =
+ 2;
n j=0
n
n j=0
3
2n 6n
0
1
n 1
2
b @ 02 + b2 X
b A b3
b3
=
+
j
+ 2:
n
2
n
3
6n
j=1
22
Per n ! +1 entrambe le espressioni tendono a b3 =3, che è il valore dell’integrale.
Osserviamo però che nel metodo dei trapezi la convergenza è più veloce che nel
metodo dei rettangoli.
Z b
Con il metodo dei rettangoli calcoliamo
2x dx:
0
n 1
b 2b 1
2b 1
b X jb=n
2
=
!
:
b=n
n j=0
n2
log(2)
1
In questi esempi abbiamo de…nito l’integrale di una funzione come il limite
delle aree dei rettangoli. Anche se questo è molto intiutivo e sostanzialmente
corretto, con una de…nizione di integrale un poco più complicata le dimostrazioni
dei teoremi risultano più semplici.
De…nizione: La funzione caratteristica I (x) di un intervallo I è la funzione che vale uno nell’intervallo e zero al di fuori. Una funzione
Xn semplice
è una funzione che prende solo un numero …nito di valori,
cj Ij (x).
j=1
L’integrale di una funzione caratteristica è la misura dell’intervallo e, più in
generale, l’integrale di una funzione semplice è
Z
n
bX
cj
a j=1
Ij (x)dx =
n
X
j=1
cj jIj \ [a; b]j :
Intuitivamente, il gra…co di una funzione semplice è costante a tratti e si
può visualizzare come un insieme di rettangoli e l’integrale è l’area di questi
rettangoli.
De…nizione di integrale di Riemann: Gli integrali inferiore e superiore di
una funzione limitata de…nita su un intervallo limitato sono
(Z
)
Z b
b
f (x)dx = sup
g(x)dx : g(x) semplice e g(x) f (x) ;
a
Z
a
b
f (x)dx = inf
(Z
a
b
h(x)dx : h(x) semplice e h(x)
a
)
f (x) :
L’integrale inferiore è minore o uguale all’integrale superiore ed una funzione
è integrabile se questi due integrali inferiore e superiore sono uguali. In particolare, una funzione f (x) è integrabile in [a; b] se per ogni " > 0 esistono due
Z b
funzioni semplici g(x) f (x) h(x) con
(h(x) g(x)) dx < ".
a
Le funzioni integrabili sono quelle che possono essere approssimate sotto e
sopra da funzioni semplici. Un esempio di funzione non integrabile è la funzione
f (x) uguale a 1 per x razionale e uguale a 0 per x irrazionale. Infatti se g(x)
23
f (x) è semplice, allora g(x)
allora h(x)
1e
Z
Z
0e
b
f (x)dx = 0. Se h(x)
f (x) è semplice,
a
b
f (x)dx = b
a.
a
Teorema: Le funzioni monotone sono integrabili.
Dimostrazione: Una funzione monotona crescente in ogni intervallo xj
x
xj+1 può essere approssimata dal di sotto e dal di sopra dalle costanti
f (xj ) f (x) f (xj+1 ). Se xj = a + j(b a)=n,
b
n
n 1
aX
f
a+j
j=0
Z
b
f (x)dx
a
b
a
n
Z
Z
b
f (x)dx
a
Z
b
n
a
b
(b
f (x)dx
a) (f (b)
n
a
f (a))
n
b
f (x)dx
aX
f
a+j
j=1
b
a
n
! 0 se n ! +1:
Teorema: Le funzioni continue sono integrabili.
Pseudo dimostrazione: Se una funzione ha un numero …nito di massimi e
minimi, è possibile dividere l’intervallo d’integrazione in sottointervalli dove la
funzione è monotona. A questo punto basta applicare il teorema precedente.
Proprietà dell’integrale:
Z b
Z c
Z c
Additività:
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx.
a
b
Z b a
Z b
Confronto: Se f (x) g(x) allora
f (x)dx
g(x)dx.
a Z
a
Z b
Z b
b
Linearità:
( f (x) + g(x)) dx =
f (x)dx +
g(x)dx.
a
a
a
Queste proprietà sono immediatamente veri…cate se f (x) e g(x) sono funzioni
semplici. Le funzioni integrabili sono limiti di funzioni semplici e le proprietà
vengono ereditate dai limiti. L’additività è chiaramente vera se a
b
c e
Z b
Z a
rimane vera per ogni a, b, c, se si de…nisce
f (x)dx =
f (x)dx.
a
b
Teorema della media: Se f (x) è integrabile,
(b
Z
a) inf ff (x)g
b
f (x)dx
Inoltre, se f (x) è continua esiste a
1
b
(b
a
a
Z
c
b tale che
b
f (x)dx = f (c):
a
24
a) sup ff (x)g :
;
Dimostrazione: Si ha inf ff (x)g
f (x)
sup ff (x)g ed integrando si otZ b
1
f (x)dx è un valore
tiene la prima parte del teorema. In particolare
b a a
compreso tra inf ff (x)g e sup ff (x)g ed una funzione continua assume tutti i
valori tra l’estremo inferiore e superiore.
Z b
1
f (x)dx è il valor medio della funzione.
b a a
Teorema fondamentale del calcolo (Leibniz e Newton):
1) La derivata è l’operazione inversa dell’integrale. Se f (x) è continua,
Z x
d
f (t)dt = f (x):
dx
a
2) Se F (x) è una primitiva di f (x), cioè
Z
a
x
d
F (x) = f (x),
dx
x
f (t)dt = F (t)ja = F (x)
F (a):
Dimostrazione: 1) Per l’additività dell’integrale ed il teorema della media, il
rapporto incrementale della funzione integrale è
!
Z x+h
Z
Z x
1
1 x+h
f (t)dt
f (t)dt = f (c):
f (t)dt =
h
h x
a
a
Il punto c è compreso tra x e x + h. Se h ! 0, c ! x e f (c) ! f (x). Quindi
la derivata della funzione integrale esiste ed è uguale alla funzione integranda.
Osserviamo che l’ipotesi di continuità è stata usata nell’esistenza dell’integrale,
per poter applicare il teorema della media e per concludere che f (c) ! f (x) se
c ! x.
2) Si ha
Z x
d
f (t)dt F (x) = f (x) f (x) = 0:
dx
a
Z x
Una funzione con derivata zero è costante, quindi
f (t)dt F (x) = c. In
a
Z a
particolare, se x = a si ottiene
f (t)dt = 0, quindi c = F (a).
a
Ridimostriamo il teorema, utilizzando il teorema dell’incremento …nito ed il
metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato di un integrale. Se a = x0
x1 ::: xn = x e se F 0 (t) = f (t), esistono xj yj xj+1 tali che
F (x)
F (a) =
n
X1
(F (xj+1 )
F (xj )) =
j=0
n
X1
j=0
25
f (yj ) (xj+1
xj )
Z
a
b
f (x)dx:
Nella notazione di Leibniz, se y = dz=dx, allora
Z
ydx =
Z
dz e la somma
degli incrementi dz è la di¤erenza tra
Z i valori di z agli estremi dell’intervallo di
integrazione. Per calcolare un area ydx, basta trovare z tale che y = dz=dx.
Z
b
ax
Calcoliamo l’area di un triangolo rettangolo di cateti a e b:
dx =
0 b
Z
b
b
ax2
b
x2 dx = x3 =3 0 = b3 =3.
= ab=2. Calcoliamo l’area sotto una parabola:
2b 0
0
Il teorema funziona!
Z
De…nizione: Una primitiva o integrale inde…nito f (x)dx è una funzione
Z
d
che derivata dà la funzione di partenza,
f (x)dx = f (x). L’integrale è
dx
l’inverso della derivata.
Attenzione! Una funzione ha una sola derivata. La primitiva invece non
è unica, ma due primitive di¤eriscono solo per una costante. Se F (x) è una
primitiva di f (x), tutte le altre primitive sono della forma F (x) + c. Nel seguito, per questioni tipogra…che, ci dimenticheremo spesso di questa costante.
Le funzioni costruite componendo funzioni elementari, potenze, esponenziali,
logaritmi, seno e coseno,..., hanno una derivata elementare. Il viceversa non è
sempre vero. Per esempio le funzioni sin(x)=x o exp( x2 ) sono elementari ma
non hanno una primitiva elementare. InZ ogni caso, ogni funzione continua f (x)
x
ha una primitiva, la funzione integrale
f (t)dt.
a
La ricerca di primitive è l’inversione dell’operazione di derivazione, le regole
di integrazione sono l’inverso di quelle di integrazione.
Primitive di funzioni elementari:
Z
Z
Z
x +1
dx
x dx =
exp(x)dx = exp(x)
= log(jxj)
+1
Z
Z x
Z
dx
cos(x)dx = sin(x)
sin(x)dx = cos(x)
= arctan(x)
1 + x2
L’integrazione per parti è l’inverso della derivata del prodotto,
Z
Z
Z
d
f 0 (x)g(x)dx + f (x)g 0 (x)dx =
(f (x)g(x)) dx = f (x)g(x);
dx
Z
Z
f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x)
f (x)g 0 (x)dx:
L’integrazione per sostituzione è l’inverso della derivata della funzione composta,
Z
Z
d
0
0
f (g(x))dx = f (x)g(x):
f (g(x))g (x)dx =
dx
26
Per calcolare
Z
b
F (g(x))g 0 (x)dx si può applicare la sostituzione g(x) = t e
a
g 0 (x)dx = dt che trasforma fa
Z
x
bg in fg(a)
b
0
F (g(x))g (x)dx =
a
Z
t
g(b)g,
g(b)
F (t)dt:
g(a)
Una funzione razionale è il quoziente di due polinomi P (x)=Q(x). Conoscendone gli zeri, si può scomporre Q(x) in fattori di primo grado e di secondo grado
senza radici reali,
Q(x) = c (x
m1
a1 )
(x
m2
a2 )
::: x2 + b1 x + c1
n1
x2 + b2 x + c2
n2
:::
Questo permette di scomporre P (x)=Q(x) in frazioni più semplici. Per opportuni polinomi R(x), Ai (x), Bj (x),
X Ai (x)
X
P (x)
Bj (x)
= R(x) +
:
mi +
2 + b x + c )nj
Q(x)
(x
a
)
(x
i
j
j
i
j
Ci si riconduce quindi ad integrare queste funzioni razionali più semplici ed
i seguenti esempi sono tipici:
8
< log (jx aj) se n = 1;
dx
=
(x a)1 n
:
(x a)n
se n 6= 1:
1 n
Z
2ax + b
dx = log ax2 + bx + c :
ax2 + bx + c
Z
a
2 dx = arctan(ax + b):
1 + (ax + b)
Z
Esempi:
Z
Z
x4 + x2 1
1
1
1
dx =
x 1+
+
dx:
x3 + x2
x x2
x+1
!
Z
Z 3
1
2x + 2
1
x + 3x2 + x 2
dx =
1
+
dx:
x3 + 2x2 + 2x
x x2 + 2x + 2 1 + (x + 1)2
Z
Esempi di integrazione per parti:
Z
Z
n x
n x
n 1 x
n x
n 1 x
x e dx = x e
n x
e dx = x e
nx
e + n(n 1) xn
Z
Z
x
log(x)dx = x log(x)
dx = (x 1) log(x):
x
27
2 x
e dx = :::
Esempi di integrazione per sostituzione:
Z
dx
; 2x = t; log(2)2x dx = dt;
x
2
1
Z
Z
Z
1
1
dx
log(2)2x
dt
=
dx =
2x 1
log(2) 2x (2x 1)
log(2) t (t 1)
Z
1
1
1
log (jt 1j) log (jtj)
log (j2x 1j) log (j2x j)
=
dt =
=
log(2)
t 1
t
log(2)
log(2)
Z
dx
p
; x = t2 ; dx = 2tdt;
x+1
p
Z
Z
Z
Z
dx
2t
2t + 1
2
2= 3
p
p
=
dt
=
dt
dt
p
t2 + t + 1
t2 + t + 1
x+ x+1
3 1 + (2t + 1)= 3 2
p
p
2
2t + 1
2 x+1
2
2
p
p
p
p
= log t + t + 1
arctan
= log x + x + 1
arctan
3
3
3
3
2 2 4 4 6 6
Il prodotto in…nito di Wallis
::: = . Ponendo I(n) =
1 3 3 5 5 7
2
Z
x+
=2
cosn (t)dt, si ha I(0) = =2, I(1) = 1, ed integrando per parti,
0
Z
=2
cosn (t)dt = sin(t) cosn
0
= (n
= (n
Z
1)
Z
1)
1
(t)
=2
0
+ (n
cos2 (t) cosn
0
=2
cos
n 2
=2
sin2 (t) cosn
(t)dt
0
(n
Z
1)
2
(t)dt
(t)dt
=2
cosn (t)dt;
0
1
n 1n 3
I(n 2) =
I(n
n
n n 2
2k 1 2k 3 1
2k
I(2k) =
:::
; I(2k 1) =
2k 2k 2 2 2
2k
I(n) =
2
0
=2
1
Z
1)
n
4) = :::
2 2k
1 2k
4 2
::: :
3 3
Poiché cosn (t) decresce al crescere di n, si ha I(2k + 1) < I(2k) < I(2k
2k 2k 2 2k 4 2
::: <
2k + 1 2k 1 2k 3 3
2k
2k 2k 2 2k 2 2k
2k + 1 2k 1 2k 1 2k 3 2k
1),
2k 1 2k 3 1
2k 2 2k 4 2
:::
<
::: ;
2k 2k 2 2 2
2k 1 2k 3 3
4 22
2k 2k 2 2k 2 2k 4 2 2
:::
< <
::: :
3 31
2
2k 1 2k 1 2k 3 2k 3 3 1
Con la sostituzione x = R sin(t) e dx = R cos(t)dt che trasforma f R x Rg
Z +R
Z + =2
2
2
2 +1
in f =2 t
=2g, si ottiene
R
x
dx = R
cos2 +1 (t)dt.
R
=2
p
L’equazione di un semicerchio di raggio R è y = R2 x2 e l’area del cerchio è
Z +R p
Z + =2
+ =2
2
R2 x2 dx = 2R2
cos2 (t)dt = R2 (t + cos(t) sin(t)) =2 = R2 :
R
=2
28
:
Invece di calcolare la primitiva, si può integrare cos2 (t) anche osservando che
per simmetria l’area sotto cos2 (t) è uguale a quella sotto sin2 (t), e quindi è la
metà di quella sotto cos2 (t) + sin2 (t),
Z
+ =2
2
cos (t)dt =
=2
Z
+ =2
=2
cos2 (t) + sin2 (t)
2
dt =
Z
+ =2
=2
dt
= :
2
Per calcolare il volume della sfera di raggio
p R, tagliamola a fette. Una fetta
è un cilindro con base circolare di raggio R2 z 2 ed altezza in…nitesima dz.
Il volume di una fetta è
R2 z 2 dz ed il volume della sfera è la somma di
questi volumi,
Z
+R
R2
z 2 dz =
R2 z
R
z3
3
+R
=
R
4 3
R :
3
Intuitivamente l’area della sfera è il volume della buccia diviso per l’altezza
della buccia:
4
4 3
3
(R + h)
R
3
lim 3
= 4 R2 :
h!0+
h
La derivata dell’area del cerchio R2 è il perimetro del cerchio 2 R, la
derivata del volume della sfera 4=3 R3 è l’area 4 R2 .
De…nizione di integrale generalizzato di funzioni non limitate o su intervalli
non limitati: Se f (x) è continua in a x < b e limx!b f (x) = 1, de…niamo
Z b
Z x
l’integrale generalizzato
f (t)dt = limx!b
f (t)dt. Similmente, se f (x)
a
a
Z +1
è continua in a
x < +1, de…niamo l’integrale generalizzato
f (t)dt =
a
Z x
limx!+1
f (t)dt. Ovviamente il limite può anche essere in…nito o può non
esistere.
a
Esempi:
Z
1
t
0
Z
1
+1
t
8
1 x1
>
>
= +1
se > 1;
lim
>
>
Z 1
< x!0+ 1
lim log(1=x) = +1
se = 1;
dt = lim
t dt =
x!0+
x!0+ x
>
>
1
>
1
>
: lim 1 x
=
se < 1:
x!0+ 1
1
8
1
x1
1
>
>
=
se > 1;
lim
>
>
Z x
1
< x!+1 1
lim log(x)
= +1
se = 1;
dt = lim
t dt =
x!+1
x!+1 1
>
>
1
>
1
>
: lim x
= +1
se < 1:
x!+1 1
29
Calcoliamo
Z
b
p
dx
. Il polinomio (x a)(b x) assomiglia al
a)(b
x)
Z
dy
polinomio (y + 1)(1 y) e p
= arcsin(y). Cerchiamo allora una sosti1 y2
tuzione y ! x che manda 1 ! a e 1 ! b.
a
x=
b
a
2
y+
Z
a
(x
b+a
;
2
b
dx =
b
dx
p
(x
a)(b
x)
a
2
=
La funzione gamma di Eulero
dy;
Z
(x
1
1
a)(b
dy
p
(z) =
Z
b
a
2
2
1
y2
1
x) =
= arcsin(y)j
1
1
y2 ;
= :
+1
tz
1
e t dt: Se z > 0 l’integrale
0
generalizzato esiste ed integrando per parti si veri…ca che (z + 1) = z (z). Da
questa equazione funzionale e da (1) = 1 si ricava che (n+1) = 1 2 ::: n = n!.
SERIE DI P OT EN ZE
Come i numeri hanno uno sviluppo decimale, cioè in serie di potenze di 10,
così le funzioni, almeno quelle non troppo patologiche, hanno uno sviluppo in
serie di potenze della variabile x. Il prototipo è la serie geometrica:
1
1
x
= 1 + x + x2 + x3 + ::: se jxj < 1:
Sostituendo t e t2 a x ed integrando si ottengono gli sviluppi in
logaritmo e dell’arcotangente,
Z x
Z x
dt
x3
x2
=
+
1 t + t2 t3 + ::: dt = x
log(1 + x) =
2
3
0 1+t
0
Z x
Z x
3
dt
x
x5
2
4
6
arctan(x) =
=
1
t
+
t
t
+
:::
dt
=
x
+
2
3
5
0 1+t
0
serie del
x4
+ :::;
4
x7
+ :::;
7
Ponendo per esempio x = 1 si ottiene 1 1=2 + 1=3 ::: = log(2) e 1 1=3 +
1=5 ::: = =4.
Cerchiamo di sviluppare una funzione f (x) in serie di potenze centrate in un
punto a,
f (x) = + (x a) + (x a)2 + (x a)3 + :::
Per determinare , , , ,..., si deriva più volte questa presunta identità e
si sostituisce a ad x,
30
f (x) = + (x a) + (x a)2 + (x a)3 + :::; f (a) = ;
d
f (x) = + 2 (x a) + 3 (x a)2 + :::; f 0 (a) = ;
dx
d2
f (x) = 2 + 6 (x a) + :::; f 00 (a) = 2 ;
dx2
d3
f (x) = 6 + :::; f 000 (a) = 6 ; :::
dx3
La formula di Taylor:
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x
a) +
f 00 (a)
(x
2
a)2 +
f 000 (a)
(x
6
a)3 + :::
Osserviamo che i primi due termini y = f (a)+f 0 (a)(x a) danno l’equazione
della retta tangente alla curva y = f (x) nel punto (a; f (a)). I primi n+1 termini
della formula di Taylor danno una approssimazione della funzione con polinomi
di grado n in un intorno di a. Sfortunatamente l’uguaglianza tra funzione e serie
di potenze non è sempre vera, ma sotto opportune ipotesi diventa un teorema.
Teorema (la formula di Taylor con il resto integrale): Se f (x) è derivabile
n + 1 volte e f (n+1) (x) è integrabile,
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x
k
a) +
Z
x
a
t)n
(x
n!
f (n+1) (t)dt:
Dimostrazione: De…nendo 0! = 1 e k! = 1 2 ::: k, si ha (x t)k =k! =
d
(x t)k+1 =(k + 1)! ed integrando per parti,
dt
Z x
Z x
x
0
0
f (x) = f (a) +
f (t)dt = f (a) f (t)(x t)ja +
(x t)f 00 (t)dt
a
a
Z x
x
(x t)2 000
(x t)2
x
0
00
+
f (t)dt
= f (a) f (t)(x t)ja f (t)
2
2
a
a
Z x
f 00 (a)
f (n) (a)
(x t)n (n)
= f (a) + f 0 (a)(x a) +
(x a)2 + ::: +
(x a)n +
f (t)dt:
2
n!
n!
a
Teorema (la formula di Taylor con il resto di Lagrange): Se f (x) è derivabile
n + 1 volte, esiste un punto a < t < x tale che
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x
a)k +
f (n+1) (t)
(x
(n + 1)!
a)n+1 :
Dimostrazione: Basta applicare ripetutamente il teorema dell’incremento
Xn f (k) (a)
…nito di Cauchy alle funzioni F (x) = f (x)
(x a)k e G(x) =
k=0
k!
31
(x
a)n+1 =(n + 1)!,
F (x)
F (x)
=
G(x)
G(x)
F (a)
F 0 (c)
F 0 (x)
= 0
= 0
G(a)
G (c)
G (x)
F 0 (a)
F (n+1) (t)
= f (n+1) (t):
= ::: = (n+1)
0
G (a)
G
(t)
Corollario: Se f (x) è derivabile due volte e se f 0 (a) = 0 e f 00 (a) > 0, la
funzione ha un minimo in a. Se f 0 (a) = 0 e f 00 (a) < 0, la funzione ha un
massimo in a.
Dimostrazione: Assumiamo per semplicità che la derivata seconda sia positiva non solo in a, ma in tutto un intorno di a. Se x è in questo intorno,
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x
a) + f 00 (t)(x
a)2 =2 = f (a) + f 00 (t)(x
a)2 =2
f (a):
E se f 0 (a) = f 00 (a) = 0 ma f 000 (a) 6= 0?
Corollario: Se è f (x) è derivabile in…nite volte e se per n ! +1 il resto
nella formula di Taylor tende a zero,
f (x) =
+1 (k)
X
f (a)
k!
k=0
(x
a)k :
La successione k! cresce molto velocemente, 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6,
4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40320, 9! = 362880,... Quindi il
resto nella formula di Taylor, avendo k! al denominatore, ha buone ragioni per
andare a zero. Ma non sempre le buone ragioni sono su¢ cienti. Per esempio, la
funzione exp( 1=x2 ) ha tutte le derivate nulle in x = 0 e la serie di Taylor in
zero è identicamente nulla. La serie di Taylor può non convergere, ed anche se
converge può non convergere alla funzione da cui proviene.
Sviluppi in serie di potenze di funzioni elementari:
exp(x) =
log(1 + x) =
+1 k
X
x
k=0
+1
X
k=1
k!
;
1 < x < +1
( )k+1 k
x ;
k
1<x
1
+1
X
( )k 2k
x ;
1 < x < +1
(2k)!
k=0
+1
X
( )k
sin(x) =
x2k+1 ;
1 < x < +1
(2k + 1)!
k=0
+1
X
( )k 2k+1
arctan(x) =
x
;
1 x +1
2k + 1
k=0
+1
X
(
1):::(
k + 1) k
(1 + x) =
x ;
1 < x < +1
k(k 1):::1
cos(x) =
k=0
32
X+1
Per esempio, per dimostrare che la serie
xk =k! converge a exp(x) per
k=0
ogni x, basta X
applicare la formula di Taylor con il resto di Lagrange ed osservare
n
che exp(x)
xk =k! = exp(t)xn+1 =(n + 1)! ! 0 se n ! +1.
k=0
n
Lo sviluppo del binomio (a + b) è un caso particolare, per
x = a=b, della formula del binomio di Newton,
n
(a + b) = bn 1 +
=
a
b
n
= bn
n
X
n(n
k=0
n
X
n(n
k=0
1):::(n k + 1)
k(k 1):::1
1):::(n k + 1) k n
a b
k(k 1):::1
La somma è …nita, perché n(n
caso la serie converge per ogni x.
1):::(n
k
= n intero e
a
b
k
:
k + 1) = 0 se k > n. In questo
p
1x = cos(x) +
Una delle tante scoperte di Eulero è la formula exp
1 sin(x) che, per mezzo dei numeri complessi, lega le funzioni trigonometriche
alla funzione esponenziale. Per veri…care la formula basta scrivere la serie di
p
2
1 = 1,
Taylor di queste funzioni, ricordando che
p
exp
p
1x = 1 +
=
1
x2
x4
+
2
24
p
1x +
::: +
p
p
1x
2
2
1 x
p
p
p
3
4
5
1x
1x
1x
+
+
+
+ :::
6
24
120
p
x3
x5
+
+ ::: = cos(x) +
1 sin(x):
6
120
Molte formule di trigonometria sono una semplice conseguenza di questa
formula e della formula exp(x + y) = exp(x) exp(y).
Utilizzando la serie di Taylor, cerchiamo ora di calcolare numericamente i
valori di e e . La successione f(1 + 1=n)n g non si presta al calcolo numerico
di e. Per esempio (1 + 1=10)10 = 2; 593:::, (1 + 1=100)100 = 2; 704:::. Invece la
X+1
serie
1=k! ha una convergenza rapida e pochi termini danno già un’ottima
k=0
approssimazione di e. Infatti,
e
n
+1
X
X
1
1
1
=
=
k!
k!
(n + 1)!
k=0
1+
k=n+1
1
<
(n + 1)!
1+
1
1
+
+ :::
n + 2 (n + 2)(n + 2)
1
1
+
+ :::
n + 2 (n + 2)2
X9
=
n+2
1
:
(n + 1)! n + 1
98641
1=k! =
= 2; 7182815::: e la di¤erenza dal vero
k=0
36288
11
valore e è minore di
3 10 7 , cioè i primi sei decimali sono corretti.
10!10
Per esempio,
33
Calcoliamo numericamente il valore di . La serie di Leibniz 1 1=3 +
1=5 1=7 + ::: converge a =4, ma con una lentezza esasperante. Per esempio,
sommando un centinaio di termini della serie possiamo solo concludere che
3; 131::: = 4
99
X
( )k
<
2k + 1
<4
k=0
Si ha però
tan(x + y) =
tan(x) + tan(y)
;
1 tan(x) tan(y)
100
X
( )k
= 3; 151:::
2k + 1
k=0
arctan(x) + arctan(y) = arctan
x+y
1 xy
:
In particolare, arctan(1=2) + arctan(1=3) = arctan(1) = =4 e le serie di
Taylor di arctan(1=2) e arctan(1=3) si prestano al calcolo numerico. Per esempio,
cinque termini della prima serie più quattro della seconda danno
4
X
( )k
4
2k + 1
k=0
Il vero valore di
1
2
2k+1
3
X
( )k
+
2k + 1
k=0
1
3
2k+1
!
=
6156361
= 3; 1417:::
1959552
è 3; 141592 6535:::
Esempi: Per calcolare
Z
x
exp( t2 )dt basta integrare la serie di Taylor di
0
exp( t2 ), che si ottiene da quella di exp(x) con la sostituzione x = t2 ,
!
Z x
Z x X
+1
+1
k
2 k
X
t
( )
2
dt =
x2k :
exp( t )dt =
k!
k!(2k + 1)
0
0
k=0
k=0
La serie converge velocemente e si presta al calcolo numerico dell’integrale,
almeno per x abbastanza piccolo.
La formula di Taylor e le serie di potenze non sono l’unico modo di decomporre delle funzioni complicate in somme di funzioni più semplici. Molto
importanti in teoria e nelle applicazioni sono le serie di Fourier. Le funzioni
trigonometriche seno e coseno sono periodiche ed ogni funzione periodica su¢ cientemente regolare può essere decomposta in una somma di seni e coseni. Se
f (x) è periodica con periodo ! ed è abbastanza regolare, per esempio derivabile
con derivata limitata, allora si può dimostrare che
f (x) = a(0) +
+1
X
(a(k) cos(2 x=!) + b(k) sin(2 x=!)) :
k=1
34
I coe¢ cienti a(0), a(k) e b(k) sono dati dalle formule
Z
1 !
a(0) =
f (x)dx;
! 0
Z !
2
f (x) cos(2 kx=!)dx;
a(k) =
! 0
Z !
2
b(k) =
f (x) sin(2 kx=!)dx:
! 0
Per esempio, se
<x< ,
x
= sin(x)
2
sin(2x) sin(3x)
+
2
3
sin(4x) sin(5x)
+
4
5
:::
EQU AZION I DIF F EREN ZIALI
Esempi: La legge di Newton, F orza = M assa Accelerazione, è un’equazione
di¤erenziale. Indicando con F l’insieme delle forze che agiscono su un corpo di
massa m, la posizione del corpo s(t) al tempo t è determinata dall’equazione
di¤erenziale ms(t) = F , con certe condizioni iniziali s(0) e s(0). Per esempio,
le forze che agiscono su un corpo appeso ad una molla sono la gravità mg, il
richiamo della molla che agisce in direzione opposta allo spostamento ks(t),
la resistenza dell’aria che agisce in direzione opposta alla velocità hs(t), e
l’equazione di¤erenziale è ms(t) + hs(t) + ks(t) mg
p = 0. Se non c’è attrito, h = 0, le soluzioni sono oscillazioni di periodo k=m intorno al punto
p
p
k=mt +B cos
k=mt . Le costanti
stazionario mg=k, s(t) = mg=k+A cos
A e B si determinano a partire dalle s(0) e s(0).
Esempi di dinamica di popolazioni: Secondo Malthus la crescita di una popolazione è in progressione geometrica. In un modello continuo, se il tasso di
crescita di una popolazione è proporzionale alla popolazione e se p(t) è la popolazione al tempo t, allora p(t) = ap(t). Le soluzioni di questa equazione sono
p(t) = b exp(at), con b = p(0). Di fatto un certo ambiente non può sostenere
una popolazione troppo grande ed un modello più realistico di crescita di una
popolazione è dato dall’equazione logistica p(t) = ap(t)(b p(t)), la popolazione cresce se 0 < p(t) < b e decresce se p(t) > b. Le soluzioni sono
p(t) = b= (1 + c exp( abt)). Se t ! +1 queste soluzioni tendono asintoticamente alla soluzione stazionaria p(t) = b. Se più popolazioni biologiche interagiscono tra loro, la dinamica può essere descritta da un sistema di equazioni
di¤erenziali. Per esempio, se x(t) sono prede di predatori y(t), si può ipotizzare
un tasso di crescita delle prede limitato sia dal numero di prede che di predatori,
ed un tasso di crescita dei predatori incrementato dal numero di prede e limitato
dal numero dei predatori,
(
x(t) = (a bx(t) cy(t)) x(t);
y(t) = (d + ex(t) f y(t)) y(t):
35
De…nizione: Un’equazione di¤erenziale del primo ordine in forma normale
è un’equazione del tipo dy=dx = F (x; y) ed una soluzione dell’equazione è una
funzione y = y(x) che sostituita nell’equazione veri…ca l’uguaglianza y 0 (x) =
F (x; y(x)). Il signi…cato geometrico è il seguente: Un’equazione di¤erenziale
assegna ad ogni punto (x; y) del piano una direzione dy=dx = F (x; y) ed una
soluzione dell’equazione è una curva che in ogni suo punto è tangente al campo
di direzioni. Un’equazione di¤erenziale può avere tante soluzioni, ed il problema
di Cauchy è determinare una soluzione che passa per un punto assegnato. Cioè,
un problema di Cauchy è un’equazione di¤erenziale con una condizione iniziale,
(
dy
= F (x; y) ;
dx
y(a) = b:
Si può dimostrare che, se F (x; y) è una funzione continua, il problema di
Cauchy ha soluzione e, se F (x; y) è derivabile, la soluzione è unica. Qui ci limitiamo a mostrare che se F (x; y) è derivabile in…nite volte, il problema di Cauchy
determina la serie di Taylor della soluzione. Infatti, derivando ripetutamente
l’equazione di¤erenziale e tenendo conto delle condizioni iniziali si ottiene
d2 y
@
@
dy
= F (x; y) ;
=
F (x; y) +
F
2
dx
dx
@x
@y
@
y(a) = b; y 0 (a) = F (a; b); y 00 (a) =
F (a; b) +
@x
y 00 (a)
(x
y(x) = y(a) + y 0 (a)(x a) +
2
(x; y)
dy
; :::
dx
@
F (a; b) y 0 (a); :::
@y
a)2 + :::
Esempi: Se dy=dx = y e y(0) = 1, allora y (k) = y e y (k) (0) = 1. Quindi
X+1
y=
xk =k! = exp(x).
k=0
Se dy=dx = y 2
y0 = y2
x2
2x e y(0) = 1, allora y(x) = 1 + x. Infatti
x2 2x; y 00 = 2yy 0 2x 2; y 000 = 2(y 0 )2 + 2yy 00
y(0) = 1; y 0 (0) = 1; y 00 (0) = 0; y 000 (0) = 0; :::
2; :::
Il problema di Cauchy dy=dx = y 1=3 e y(0) = 0 ha sia la soluzione y = 0
3=2
che la soluzione y = (2x=3) . Osserviamo che la funzione F (x; y) = y 1=3 non
è derivabile in y = 0.
Esempi: Studiamo qualitativamente l’equazione di¤erenziale dy=dx = 1 y 2 =xy.
Si veri…ca immediatamente che le rette y = 1 sono due soluzioni. Inoltre,
il campo di direzioni associato all’equazione ha diverse simmetrie e se y(x) è
una soluzione anche y( x) sono soluzioni. Basta allora studiare l’equazione
nel primo quadrante. Se x > 0 e 0 < y < 1 allora dy=dx > 0, le soluzioni
crescono e se x ! +1 si avvicinano asintoticamente alla retta y = 1. Se
x > 0 e y > 1 allora dy=dx < 0, in questa regione le soluzioni decrescono e se
x ! +1 sipavvicinano asintoticamente alla retta y = 1. Di fatto le soluzioni
1 + c=x2 .
sono y =
36
Studiamo qualitativamente l’equazione di¤erenziale dy=dx = 1 y=x. Osserviamo che la retta y = x=2 è una soluzione e che se y(x) è una soluzione
anche y( x) è una soluzione. È su¢ ciente studiare l’equazione per x > 0.
Le soluzioni sopra la retta y = x decrescono e sotto crescono e se x ! +1 le
soluzioni hanno asintoto y = x=2. Di fatto le soluzioni sono y = x=2 + c=x.
8
f (x)
< dy
=
;
Equazioni a variabili separabili:
dx
g(x)
:
y(a) = b:
ProcedendoZformalmente
si
separano
le x dalle y e si scrive g(y)dy = f (x)dx.
Z
Poi si integra
g(y)dy =
f (x)dx e si ottiene G(y) = F (x) + c, con G(y) e
F (x) primitive di g(y) e f (x). Prendendo la funzione inversa di G(y), si ha
in…ne y = G 1 (F (x) + c) e scegliendo c = G(b) F (a) si veri…ca la condizione
iniziale y(a) = b. Il procedimento è puramente formale, perché dy=dx non è
un rapporto tra quantità …nite che si possono considerare separatamente. Comunque, a posteriori, si può mostrare che l’espressione ottenuta è e¤ettivamente
una soluzione dell’equazione di¤erenziale,
dy
d
=
G
dx
dx
=
1
(F (x) + c) = G
1 0
(F (x) + c) F 0 (x)
F 0 (x)
f (x)
=
:
G0 (G 1 (F (x) + c))
g (y)
(
dy
= a(x)y + b(x);
dx
y(a) = b:
Z x
Moltiplicando l’equazione per exp
a(t)dt
Equazioni lineari:
ottiene
exp
ed integrando tra a e x si
a
Z
Z x
exp
a(t)dt a(x)y = exp
a
a
Z x
Z x
d
exp
a(t)dt y = exp
a(t)dt
dx
a
a
Z x
Z x
Z s
exp
a(t)dt y y(a) =
exp
a(t)dt
a
a
a
Z x
Z x
Z s
y = exp
a(t)dt
y(a) +
exp
a(t)dt
x
a(t)dt
dy
dx
a
a
Z
x
a(t)dt b(x);
a
b(x);
b(s)ds;
b(s)ds :
a
Osserviamo che la dimostrazione della formula risolutiva dimostra anche che
la soluzione del problema di Cauchy per un’equazione lineare esiste, è unica, ed
è de…nita nel più grande intervallo dove i coe¢ cienti a(x) e b(x) sono continui.
Questo può non essere vero per equazioni non lineari. Per esempio l’equazione
dy=dx = 1 + y 2 è de…nita dappertutto, ma le soluzioni y = tan(x + c) sono solo
de…nite su intervalli di ampiezza .
37
Certe equazioni di¤erenziali possono essere trasformate con opportuni cambi
di variabili in equazioni a variabili separabili o lineari.
Equazioni di Bernoulli: dy=dx = a(x)y + b(x)y .
Con la sostituzione y 1 = z e (1
)y y 0 = z 0 l’equazione diventa lineare
dz=dx = (1
)a(x)z + (1
)b(x).
Equazioni omogenee: dy=dx = f (y=x).
Con la sostituzione y=x = z e y 0 = xz 0 + z l’equazione diventa a variabili
separabili dz=dx = (f (z) z) =x.
Equazioni omogenee: dy=dx = f ( x + y).
Con la sostituzione x + y = z e y 0 = (z 0
)= l’equazione diventa a
variabili separabili dz=dx = + f (z).
Come per gli integrali, il numero di equazioni di¤erenziali che si possono
risolvere per mezzo di formule esplicite è piuttosto limitato. Esistono però degli
algoritmi per ottenere delle soluzioni approssimate ed il più semplice è il metodo
delle poligonali di Eulero. Per una risoluzione approssimata di un problema di
Cauchy dy=dx = F (x; y) con y(a) = b, si divide l’intervallo su cui si cerca la
soluzione in a = x0 < x1 < x2 < ::: e si sostituisce alla derivata il rapporto
incrementale
8
< y0 = b;
y0 = b;
yk+1 yk
= F (xk ; yk ) ;
yk+1 = yk + (xk+1 xk ) F (xk ; yk ) :
:
xk+1 xk
I punti f(xk ; yk )g sono i vertici di una poligonale che approssima la soluzione.
La soluzione esatta è il limite delle poligonali se i passi xk+1 xk ! 0.
Per esempio, illustriamo il procedimento sull’equazione dy=dx = 1=(x + y)
con y(0) = 1. Per semplicità …ssiamo un passo unitario, cioè x0 = 0, x1 = 1,
x2 = 2,... La poligonale parte da (0; 1) con pendenza 1=(0 + 1) e dopo un passo
arriva in (1; 2). A questo punto riparte con pendenza 1=(1 + 2) e dopo un passo
arriva in (2; 7=3). Riparte con pendenza 1=(2 + 7=3) e dopo un passo arriva in
(3; 100=39). E così via...
Con le poligonali di Eulero cerchiamo la soluzione di dy=dx = y e y(0) = 1.
k+1
Ponendo xk = kh si ha yk+1 = yk (1 + h) = y0 (1 + h)
. In particolare, se
n
h = x=n si ha y(x) yn = (1 + x=n)
exp(x).
La soluzione del problema
di Cauchy dy=dx = f (x) con y(a) = 0 è data
Z
x
dall’integrale de…nito
f (t)dt. Per questa equazione di¤erenziale il metodo
a
delle poligonali di Eulero coincide con il metodo dei rettangoli l’integrale.
Esercizi:
38
dy=dx = y=x + 1=x2 ;
y(1) = 0;
dy=dx = y + x + 1;
y(0) = 0;
dy=dx = ax =y;
y(0) = 1;
y=
y = x=2
1=2x:
y = 2 exp(x) x 2:
s
2
2ax
1
+
:
log(a) log(a)
Equazioni di¤erenziali lineari:
a(x)
dn
dn
y(x)
+
b(x)
dxn
dxn
1
1
y(x) + ::: + c(x)
d
y(x) + d(x)y(x) = e(x):
dx
Tutte le soluzioni si ottengono sommando ad una soluzione particolare una
combinazione lineare delle soluzioni dell’equazione omogenea con e(x) = 0.
Equazioni di¤erenziali lineari omogenee con coe¢ cienti costanti:
a
dn
dn
y(x)
+
b
dxn
dxn
1
1
y(x) + ::: + c
d
y(x) + dy(x) = 0:
dx
Ponendo y(x) = exp ( x), si ottiene y 0 (x) =
a
n
+b
n 1
exp ( x), y 00 (x) =
2
exp ( x),...,
+ ::: + c + d exp ( x) = 0:
Si ottengono n soluzioni, tante quante le radici del polinomio.
Esempio: Moto di un corpo di massa m al tempo t nel punto x, sotto l’azione
della forza peso mg, di una forza di richiamo kx ed una forza d’attrito hx
con h; k
0. Dalla legge di Newton F orza = M assa
Accelerazione, si
ricava l’equazione
mx (t) + hx (t) + kx (t) = mg:
Una soluzione particolare è il corpo fermo, x (t) = mg=k. Le soluzioni
dell’equazione omogenea mx (t) + hx (t) + kx (t) = 0 sono x (t) = A exp ( t) +
B exp ( t), con ; radici dell’equazione m 2 + h + k = 0. Se h2
4km, le
soluzioni dell’equazione non omogenea hanno uno smorzamento esponenziale e
non oscillano,
!
!
p
p
h
h2 4km
h + h2 4km
x (t) = mg=k + A exp
t + B exp
t :
2m
2m
Se h2 < 4km, le soluzioni dell’equazione non omogenea hanno uno smorzamento esponenziale ed oscillano,
!
!
p
p
4km h2
h
4km h2
h
t cos
t +B exp
t sin
t :
x (t) = mg=k+A exp
2m
2m
2m
2m
39
In particolare, tutte le soluzione tendono a fermarsi nel punto mg=k quando
t
+1. In…ne, con una opportuna scelta di A e B si possono sceglere la
posizione iniziale x (0) e la velocità iniziale x (0).
Esempio: Moto di un corpo sotto l’azione di una forza di richiamo e di una
esterna forza periodica,
x (t) + ! 2 x (t) = " sin ( t) :
Le soluzioni dell’equazione omogenea x (t) + ! 2 x (t) = 0 sono A cos (!t) +
B sin (!t). Una soluzione particolare dell’equazione non omogenea con lo stesso
periodo della forza è
x (t) = A sin ( t) ;
x (t) = A cos ( t) ;
x (t) + ! 2 x (t) = A ! 2
x (t) =
2
"
!2
2
x (t) =
A
2
sin ( t) ;
sin ( t) = " sin ( t) ;
sin ( t) :
Quindi, tutte le soluzioni sono
x (t) = A cos (!t) + B sin (!t) +
"
!2
2
sin ( t) :
Queste soluzioni sono tanto più grandi quanto più piccolo è ! 2
! = le soluzioni sono illimitate,
x (t) = A cos (!t) + B sin (!t)
Il sistema è entrato in risonanza!
40
"
t cos (!t) :
2!
2
. Se