Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 2, a.a. 2011/2012
SETTIMANA 1:
- Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari di un punto nel piano.
- Curve in Rn: sostegno di una curva, curve semplici e chiuse, orientamento di una curva.
- Equazioni cartesiane e polari di una curva piana
- Curve regolari e regolari a tratti, retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare.
- Lunghezza di una curva, Teorema di rettificabilita'.
- Esempi: circonferenza, ellisse, spirale logaritmica, cicloide, cardioide, astroide, elica cilindrica.
SETTIMANA 2:
- Curve equivalenti, curva geometrica, proprieta' geometriche di una curva
- Ascissa curvilinea e proprietà' delle curve parametrizzate mediante ascissa curvilinea.
- Versore normale, curvatura e cerchio oscillatore per una curva piana, interpretazione geometrica della curvatura.
- Versore normale e binormale, curvatura e torsione, piano osculatore per una curva in R3.
SETTIMANA 3:
- Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto. Punti interni, punti esterni, punti
di frontiera. Interno e chiusura di un insieme. Proprieta' elementari ed esempi.
- Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insieme di livello e curve di livello. Punti di accumulazione e punti
isolati, limite per funzioni di due variabili. Unicita' del limite, algebra dei limiti.
- Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il
calcolo dei limiti.
- Funzioni continue, Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti
connessi e Teorema dei valori intermedi.
SETTIMANA 4:
- Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale.
- Derivata direzionale e significato geometrico.
- Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilita' delle funzioni differenziabili (dim) e condizione equivalente alla
differenziabilita': formula di Taylor del primo ordine e piano tangente.
- Proprieta’ di continuita’ delle funzioni differenziabili (dim) e Teorema del differenziale (dim).
- Teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore gradiente e curve di livello.
- Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del vettore gradiente (dim).
- Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
SETTIMANA 5:
- Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
- Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Formula di Taylor del II ordine.
- Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive e negative.
- Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
- Ricerca di massimi e minimi relativi, esempi
SETTIMANA 6:
- Massimi e minimi assoluti in domini compatti, esempi
- Massimi e minimi vincolati.
- Funzioni implicite e Teorema del Dini in R2 (dim). Interpretazione geometrica: insieme di livello e curve di livello.
- Teorema sui moltiplicatori di Lagrange (dim). Esempi di applicazione del metodo di Lagrange.
SETTIMANA 7:
- Definizione di integrale curvilineo e indipendenza dalla parametrizzazione (dim). Proprieta' elementari dell'integrale curvilineo.
- Baricentro di una curva piana.
- Domini normali e definizione di integrale doppio su domini normali. Proprieta' elementari dell'integrale doppio.
- Formule di riduzione ed esempi.
- Proprieta' di simmetria nell'integrale doppio. Baricentro di un corpo piano.
- Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema sul cambiamento di variabili nell'integrale doppio.
SETTIMANA 8:
- Coordinate polari e polari ellittiche. Esempi. Calcolo di aree e di volumi.
- Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Superfici equivalenti.
- Area di una superficie, Primo Teorema di Guldino sull'area di una superficie di rotazione (dim).
- Funzioni di tre o più' variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parziali, gradiente.
- Formula di derivazione delle funzioni composte.
- Derivate parziali seconde e matrice hessiana.
- Condizione necessaria del I ordine e sufficiente del II ordine per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
- Teorema del Dini e Teorema sui moltiplicatori di Lagrange per funzioni di tre variabili.
SETTIMANA 9:
- Integrale curvilineo per funzioni di n variabili.
- Integrale di superficie.
- Domini normali in R3. Integrale triplo: definizione e formule di riduzione. Applicazione al calcolo di baricentri e volumi.
- Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema sul cambiamento di variabili nell'integrale triplo. Coordinate sferiche e
cilindriche. Secondo Teorema di Guldino sul volume di solidi di rotazione (dim).
- Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva e proprietà'
elementari. Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim).
- Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim)
SETTIMANA 10:
- Campi vettoriali irrotazionali, insiemi semplicemente connessi.
- Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi.
- Metodi per determinare un potenziale di un campo campo conservativo.
- Teorema di Green (dim in un rettangolo) e Teorema di Gauss della divergenza in R2. Applicazioni per il calcolo di aree.
- Flusso di un campo vettoriale, proprieta' del flusso.
- Superfici regolari con bordo, bordo di una superficie e orientamento del bordo di una superficie.
- Teorema di Stokes
- Teorema di Gauss della divergenza in R3.
SETTIMANA 11:
- Forme differenziali e campi vettoriali
- Equazioni differenziali ordinarie: soluzione di un'EDO e integrale generale. Problema di Cauchy.
- Teorema di esistenza, Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità' locale della soluzione di un problema di Cauchy. Soluzioni
massimali e Teorema di prolungabilita'.
- Equazioni a variabili separabili.
- Integrale generale di EDO lineari del I ordine. EDO di Bernoulli.
SETTIMANA 12:
- EDO lineari del II ordine omogenee. Soluzioni linearmente indipendenti, determinante Wronskiano.
- Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché' due soluzioni risultino linearmente indipendenti.
- Teorema sull'integrale generale di EDO lineari del II ordine omogenee (dim).
- Integrale generale di EDO lineari del II ordine complete.
- Soluzioni linearmente indipendenti per EDO lineari del II ordine omogenee a coefficienti costanti.
- Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della "somiglianza" per la determinazione di una soluzione particolare
di un'EDO lineare del II ordine completa a coefficienti costanti.
- Equazione dell'oscillatore armonico semplice e forzato, fenomeno di risonanza.
