ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA - I parte

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA - I parte - 10 febbraio 2016
PROF. SUSANNA TERRACINI
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Gli studenti il cui programma d’esame NON CONTIENE teoria della misura, rispondano ad esattamente
6 tra i quesiti (4)-(12).
Gli studenti il cui programma d’esame CONTIENE teoria della misura, rispondano ad esattamente 6 tra
i quesiti (1)-(12).
Ogni quesito vale 3 punti. Giustificare accuratamente tutte le risposte.
(1) Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura e sia A ⊆ Ω tale che µ(A) < +∞. Si enunci e dimostri il
teorema di Severini-Egorov per una successione definita sull’insieme A.
(2) Enunciare e dimostrare il teorema di Lebesgue della convergenza dominata.
(3) Calcolare il limite
Z +∞
n sin(x/n)
dx.
lim
n→∞ 0
1 + xn
(4) Enunciare e dimostrare il teorema di Hahn-Banach nella sua forma analitica.
(5) Sia E uno spazio normato e sia E 0 il suo duale. Si definisca la norma duale k·kE 0 e si dimostri
2
che ∀x0 ∈ E esiste f0 ∈ E 0 tale che kf0 kE 0 = kx0 kE e hf0 , x0 i = kx0 kE .
∞
(6) Si consideri lo spazio di Banach E = {(xi )i>1 ∈ ` : limi→∞ xi = 0} munito della norma k·k∞
di `∞ (spazio delle successioni reali limitate) e per ogni x = (xi )i>1 ∈ E si ponga
f (x) =
∞
X
xi
i=1
2i
.
Provare che f ∈ E 0 e calcolare kf kE 0 . Esiste x0 ∈ E tale che kx0 k∞ = 1 e f (x0 ) = kf kE 0 ?
(7) Dato uno spazio di Banach E, si definisca la topologia debole σ(E, E 0 ) e si provi che un sottoinsieme convesso di E è debolmente chiuso se e solo se è fortemente chiuso.
(8) Sia (xn )n una successione in uno spazio di Banach E e si indichi con xn * x la convergenza di
xn ad x rispetto alla topologia debole σ(E, E 0 ). Provare che:
(i) xn * x se e solo se hf, xn i → hf, xi per ogni f ∈ E 0 ;
(ii) se xn * x, allora (xn )n è limitata in norma e kxk 6 lim inf kxn k.
n→∞
(9) Sia (xn )n61 la successione in RN definita da xn = (δni )i61 per ogni n (cioè xn = (0, ..., 0, 1, 0, .....)
con componente 1 in n-esima posizione). Provare che xn * 0 in `p con p ∈ (1, +∞) e che xn 6* 0
in `1 . Ricordando inoltre che le funzioni πi : `1 → R definite da πi (x1 , x2 , ...) = xi sono lineari e
continue, provare che xn non converge debolmente in `1 ad alcun elemento x ∈ `1 .
(10) Dopo aver ricordato le nozioni di spazio riflessivo e di spazio uniformemente convesso, dimostrare
che ogni spazio di Banach uniformemente convesso è riflessivo.
(11) Sia H uno spazio di Hilbert e sia K ⊆ H convesso, chiuso e non vuoto. Dimostrare che H è
riflessivo e provare che per ogni f ∈ H esiste un unico u ∈ K tale che ku − f k = min kv − f k.
v∈K
(12) Dimostrare che lo spazio di Banach (Lp (Ω), k·kp ) è riflessivo per ogni p > 2.