Esercizi di Algebra I

Esercizi di Algebra I
15 marzo 2017 - # 2
Esercizio 1 Siano b1 , b2 ∈ Z. Dimostrare che esiste un unico multiplo
comune m di b1 e b2 tale che
(1.1) m ∈ N0 ,
(1.2) ogni multiplo comune di b1 e b2 è un multiplo di m.
Tale m si dice il il minimo comune multiplo di b1 e b2 e si indica con il simbolo
mcm(b1 , b2 ).
Esercizio 2 Siano b1 , b2 ∈ Z. Dimostrare che
mcd(b1 , b2 ) · mcm(b1 , b2 ) = b1 b2 .
Esercizio 3
(1) Determinare il resto della divisione di 4100 con 8.
(2) Determinare il resto della divisione di 4100 con 6.
(3) Determinare il resto della divisione di 5999.999 con 7.
(4) Verificare che 37549 ≡79 14.
(5) Verificare che 13176 ≡37 12-
1
Esercizio 4
(1) Determinare l’ultima cifra di 741 .
(2) Dimostrare che per 74n+1 ≡10 7, per ogni n ∈ N0 .
(3) Per ogni n ∈ N0 , determinare le ultime due cifre di 5n+2 .
(4) Dimostrare che, per ogni n ∈ N, l’ultima cifra di 24n+3 è 8
del 3.11.2003).
(5) Per ogni n ∈ N, si determini l’ultima cifra di 4n + 9n
13.1.2009).
(Prova d’esonero
(Prova scritta del
Esercizio 5
(1) Provare che ∀n ∈ Z 5 | n17 − n.
(2) Provare che ∀n ∈ N 7 - n =⇒ 7 | n12 − 1.
(3) Dimostrare che ∀a ∈ Z 3 - a =⇒ 3 | a4 +a2 +1(Prova d’esonero del 15.11.2005).
(4) Sia n ∈ N. Provare che 12 divide 5n + 7n se e solo n è dispari
scritta del 24.2.2009).
(5) Sia n ∈ N. Provare che 15 divide 4n + 11n se e solo n è dispari
scritta del 8.7.2011).
Esercizio 6
(Prova d’esonero del 2.12.2004)
10n ≡11
Esercizio 7 (Prova
dividono z 12 − z 2 .
Esercizio 8
che
(Prova
(Prova
Dimostrare che per ogni n ∈ N vale
1
se n è pari
−1 se n è dispari
d’esonero del 18.11.2008)
(Prova scritta del 24.9.2008)
Sia z ∈ Z. Dimostrare che 3 e 11
Sia a, b ∈ Z e sia z := 10a + b. Provare
7 | z ⇐⇒ 4a ≡7 b
2