Teorema di Hahn-Banach per funzionali maggiorati da funzioni

Teorema di Hahn-Banach per funzionali
maggiorati da funzioni convesse (L.V.)
Teorema 1. Siano X uno spazio v. t. localmente convesso (per es. uno spazio
normato), C ⊂ X un insieme convesso con 0 ∈ int C, f : C → R una funzione
convessa su C continua in 0. Inoltre, siano L ⊂ X un sottospazio lineare,
u∗ ∈ L∗ tale che u∗ ≤ f su L ∩ C. Allora esiste x∗ ∈ X ∗ tale che x∗ = u∗ su
L e x∗ ≤ f su C.
Dimostrazione. Denotiamo
E = epi(f ) = {(x, t) ∈ X × R : x ∈ C, f (x) ≤ t}
F = gr(u∗ ) = {(y, u∗ (y)) ∈ X × R : y ∈ L}.
Allora E, D sono convessi, int E 6= ∅ (contiene per es. il punto (0, f (0) + 1)) e
D ∩ int E = ∅. Per il teorema di Hahn-Banach esiste un funzionale non nullo
Φ ∈ (X × R)∗ tale che
sup Φ(E) ≤ inf Φ(D).
Considerando il (noto e facile) fatto che Φ può essere rappresentato come una
coppia (z ∗ , α) ∈ X ∗ × R, ne deduciamo che
(1)
z ∗ (x) + αf (x) ≤ z ∗ (y) + αu∗ (y) ∀ x ∈ C, y ∈ L.
Consideriamo tre casi.
a) Caso α = 0. In questo caso la (1) implica (ponendo y = 0)
z ∗ (x) ≤ 0
∀ x ∈ C.
Ne segue z ∗ = 0, una contraddizione (sarebbe Φ = 0).
b) Caso α > 0. Possiamo supporre α = 1 (altrimenti sostituiamo Φ con un
suo opportuno multiplo positivo). Quindi
(2)
z ∗ (x) + f (x) ≤ z ∗ (y) + u∗ (y) ∀ x ∈ C, y ∈ L.
Ponendo x = y ∈ C ∩ L, si ottiene f (y) ≤ u∗ (y), per cui f = u∗ su C ∩ L; in
particolare f (0) = 0. Ponendo x = 0 in (2), si ha (z ∗ + u∗ )(y) ≥ 0 per ogni
y ∈ L, da cui (−z ∗ ) = u∗ su L. La funzione g(x) = z ∗ (x) + f (x) è convessa
su C e soddisfa g(0) = 0 e g(x) ≤ 0 su C (ponendo y = 0). Ne segue che
g(x) = 0 su C. Ricapitolando, si ha (−z ∗ ) = u∗ su L e (−z ∗ ) = f su C, per
cui possiamo porre x∗ = −z ∗ .
c) Caso α < 0. Possiamo supporre α = −1. Allora
(3)
z ∗ (x) − f (x) ≤ z ∗ (y) − u∗ (y) ∀ x ∈ C, y ∈ L.
Ponendo x = 0, ne segue che
z ∗ − u∗ ≥ −f (0) su L,
1
2
per cui z ∗ = u∗ su L. Inoltre, ponendo y = 0 nella (3), otteniamo z ∗ ≤ f su
C. Possiamo porre x∗ = z ∗ .
Commento 2. La stessa dimostrazione funziona alche nel caso algebrico, cioè
quando X è uno spazio vettoriale, 0 ∈ a-int C, senza ipotesi di continuità per
f e/o per i funzionali linari coinvolti.
Corollario 3 (Riformulazione del teorema). Siano X uno s. v. t. localmente
convesso, C ⊂ X un convesso, x0 ∈ int C, f : C → R una funzione convessa
continua in x0 , M ⊂ X un insieme affine contenente x0 , a : M → R una
funzione affine continua tale che a ≤ f su M ∩ C. Allora la funzione a
ammette un’estensione affine continua A : X → R tale che A ≤ f su C.
Corollario 4. Siano C un insieme convesso aperto in uno spazio normato (o
uno s.v.t. localmente convesso), f : C → R una funzione convessa. Allora, per
ogni x ∈ C, il subdifferenziale
∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (y) ≥ f (x) + x∗ (y − x) ∀ y ∈ C}
è non vuoto.