Teorema di Hahn-Banach per funzionali maggiorati da funzioni convesse (L.V.) Teorema 1. Siano X uno spazio v. t. localmente convesso (per es. uno spazio normato), C ⊂ X un insieme convesso con 0 ∈ int C, f : C → R una funzione convessa su C continua in 0. Inoltre, siano L ⊂ X un sottospazio lineare, u∗ ∈ L∗ tale che u∗ ≤ f su L ∩ C. Allora esiste x∗ ∈ X ∗ tale che x∗ = u∗ su L e x∗ ≤ f su C. Dimostrazione. Denotiamo E = epi(f ) = {(x, t) ∈ X × R : x ∈ C, f (x) ≤ t} F = gr(u∗ ) = {(y, u∗ (y)) ∈ X × R : y ∈ L}. Allora E, D sono convessi, int E 6= ∅ (contiene per es. il punto (0, f (0) + 1)) e D ∩ int E = ∅. Per il teorema di Hahn-Banach esiste un funzionale non nullo Φ ∈ (X × R)∗ tale che sup Φ(E) ≤ inf Φ(D). Considerando il (noto e facile) fatto che Φ può essere rappresentato come una coppia (z ∗ , α) ∈ X ∗ × R, ne deduciamo che (1) z ∗ (x) + αf (x) ≤ z ∗ (y) + αu∗ (y) ∀ x ∈ C, y ∈ L. Consideriamo tre casi. a) Caso α = 0. In questo caso la (1) implica (ponendo y = 0) z ∗ (x) ≤ 0 ∀ x ∈ C. Ne segue z ∗ = 0, una contraddizione (sarebbe Φ = 0). b) Caso α > 0. Possiamo supporre α = 1 (altrimenti sostituiamo Φ con un suo opportuno multiplo positivo). Quindi (2) z ∗ (x) + f (x) ≤ z ∗ (y) + u∗ (y) ∀ x ∈ C, y ∈ L. Ponendo x = y ∈ C ∩ L, si ottiene f (y) ≤ u∗ (y), per cui f = u∗ su C ∩ L; in particolare f (0) = 0. Ponendo x = 0 in (2), si ha (z ∗ + u∗ )(y) ≥ 0 per ogni y ∈ L, da cui (−z ∗ ) = u∗ su L. La funzione g(x) = z ∗ (x) + f (x) è convessa su C e soddisfa g(0) = 0 e g(x) ≤ 0 su C (ponendo y = 0). Ne segue che g(x) = 0 su C. Ricapitolando, si ha (−z ∗ ) = u∗ su L e (−z ∗ ) = f su C, per cui possiamo porre x∗ = −z ∗ . c) Caso α < 0. Possiamo supporre α = −1. Allora (3) z ∗ (x) − f (x) ≤ z ∗ (y) − u∗ (y) ∀ x ∈ C, y ∈ L. Ponendo x = 0, ne segue che z ∗ − u∗ ≥ −f (0) su L, 1 2 per cui z ∗ = u∗ su L. Inoltre, ponendo y = 0 nella (3), otteniamo z ∗ ≤ f su C. Possiamo porre x∗ = z ∗ . Commento 2. La stessa dimostrazione funziona alche nel caso algebrico, cioè quando X è uno spazio vettoriale, 0 ∈ a-int C, senza ipotesi di continuità per f e/o per i funzionali linari coinvolti. Corollario 3 (Riformulazione del teorema). Siano X uno s. v. t. localmente convesso, C ⊂ X un convesso, x0 ∈ int C, f : C → R una funzione convessa continua in x0 , M ⊂ X un insieme affine contenente x0 , a : M → R una funzione affine continua tale che a ≤ f su M ∩ C. Allora la funzione a ammette un’estensione affine continua A : X → R tale che A ≤ f su C. Corollario 4. Siano C un insieme convesso aperto in uno spazio normato (o uno s.v.t. localmente convesso), f : C → R una funzione convessa. Allora, per ogni x ∈ C, il subdifferenziale ∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (y) ≥ f (x) + x∗ (y − x) ∀ y ∈ C} è non vuoto.