APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA

APPUNTI
DI
ANALISI MATEMATICA
SABO
FUNZIONI
concetto: legame tra due (o più) variabili costituito da relazioni matematiche
intera
Razionale: x non è sotto radice
Algebrica: le operazioni che costitui-
fratta
scono il legame sono di
Funzione:
tipo matematico (+, -, x, :)
intera
Irrazionale: x è sotto radice
fratta
Trascendente:
funzione non algebrica
Dominio (Campo di Definizione):
insieme di tutti i valori attribuibili alla variabile x , per
ciascuno dei quali esiste il corrispondente valore della y.
Codominio: insieme dei valori y al variare di x.
Intervallo di una Funzione: (a, b) insieme limitato definito da un estremo inferiore (a) e da un
estremo superiore (b)
y = f(x)
a<b
è definita in (a, b) se, per ogni valore di x interno all'intervallo [x
(a, b)], y assume uno
ed un solo valore.
Intervallo chiuso: [a, b]
Intervallo aperto:
a, b
a
x
b
intervallo aperto a sinistra: a, b
a<x
intervallo aperto a destra: a, b
a
a<x<b
a=
b=
intervalli
b
x<b
a=
illimitato inferiormente
b=
illimitato superiormente
a=b=
illimitato
illimitati
a=b=
n. b. in corrispondenza dell'estremo
Funzione crescente in (a, b)
a<b
x1
(a, b); x2
(a, b);
x1 < x2
Funzione decrescente in (a, b)
a<b
x1
(a, b); x2
(a, b);
x1 < x2
Estremi di una Funzione:
x1
l'intervallo è aperto.
x2
f(x1) < f(x2)
x1
x2
f(x1) > f(x2)
E: insieme non vuoto
x
E
E limitato superiormente: esiste un valore L tale che x
L
L = estremo superiore
E limitato inferiormente: esiste un valore l tale che x

 = estremo inferiore
esistono contemporaneamente  ed L tale che
E limitato:

Massimo: l'estremo superiore appartiene ad E
M = max E (max = L)
Minimo: l'estremo inferiore appartiene ad E
m = min E (min = )
x
L
se ad E appartengono sia  sia L, l'insieme E ha minimo e massimo.
D = dominio
 = estremo inferiore di
estremo
C
f(x)
inf.
y = f(x)
C
= L = estremo superiore di
codominio
estremo
C
sup.
f(x)
y = f(x) è inferiormente e/o superiormente limitata in D se
è inferiormente e/o superiormente limitata in C.
Minimo assoluto di f(x) in D: se esiste il limite inferiore in D e se il suo estremo inferiore l
(valore unico): x0
f(x0) = 
D
C
Massimo Assoluto di f(x) in D: se esiste il limite superiore in D e se il suo estremo superiore L
(valore unico): x0
D
C
f(x0) = L
C
C
dato un punto c si dice "intorno completo del punto c" un qualunque intervallo aperto che contiene il
punto c
intorno del punto c: totalità dei punti vicini (poco distanti) al punto c.
Massimo relativo di f(x) definita in (a, b):
x0 = massimo relativo di f(x) se, per x
f(x)
H = |x0- , x0+ | (intorno di x0), risulta:
f(x0)
(possibilità di avere più valori)
Minimo relativo di f(x) definita in (a, b):
x0 = minimo relativo di f(x) se, per x
f(x)
H = |x0- , x0+ | (intorno di x0), risulta:
f(x0)
(possibilità di avere più valori)
SUCCESSIONI
Funzioni aventi per dominio N0 e per codominio R
f:n
an
a1, a2, ..., an
an = termine n-mo (di indice n) della successione
superiormente se esiste un numero reale k tale che a n
:
k qualunque
sia n
successione limitata
inferiormente: se esiste un numero reale h tale che an
sia n
successione limitata:
h
crescente:
successione decrescente:
costante:
an
k
an < an+1
an > an+1
an = an+1
successione monotona: se è sempre crescente o sempre decrescente.
h qualunque
Limiti di una Successione
Successione Infinitesima (tendente a zero)
concetto intuitivo: an = 1/n
n
an
0
lim a n = 0
n
se per
0 e piccolo a piacere è possibile determinare un indice N, dipendente da , tale che per
ogni n > N si ha:
|an| <
Esempio:
lim
n
2
3n
1
- < an < +
-2
3n + 1
= 0
-
<
<
2
3n + 1
<
considerando la diseguaglianza di destra (è lo stesso se si considera la sinistra) si ha:
2
3n
= 10
-4
1
<
2 < 3 n+
2 10 4
n >
n > 6666, 3
3 10 4
2
n = 66667
n >
3 66667
Successione Convergente (tendente ad ; 
1
0, 
= - 0,00009999
23
(N = 6666, 3)
an
0
R)
concetto intuitivo:
n
an
1
n
n
an
1
lim a n = 0
n
se per
0 e piccolo a piacere è possibile determinare un indice N, dipendente da , tale che per
ogni n > N si ha:
|an - | <
lim a n
n
 - < an <  +

lim (a n
n
)
0
Esempio:
5n - 3
lim
n
5n - 3
n +1
-8
<
n +1
e
10
n>
n = 80000
= 5
- <
<
8
4
n +1
n
8
8
n +1
n +1
8-
n>
8 - 10-4
n > 79999
10 4
5 80000
3
80000 1
(N = 79999)
4,9999
an
5
Successione Divergente (tendente ad )
a n = 2n
concetto intuitivo:
a) positivamente:
n
an
lim a n = +
n
se fissato un valore k, grande a piacere, è possibile determinare un indice N, dipendente da k, tale
che per ogni n > N si ha:
an > k
Esempio:
lim
n
n2
1
2n
3
k
n
n1
n2
n2
k
k2
(3k
1,50
2kn
1)
2
2 20000
b) negativamente:
1
2n
3
n2
3k
k = 10 4
(N = 1,50)
19998,50
20000
1
n2
3
2
n=2
10000,75
an
(3k
1)
n > 10 4  108
2
2 2
n = 20000
(N = 19998,50)
1
2kn
1
3
3
0
3 10 4
an
1
k
k
lim a n = -
n
se fissato un valore k, grande a piacere, è possibile determinare un indice N, dipendente da k, tale
che per ogni n > N si ha:
an < k
Esempio:
3 - n2
lim
n
3
2n
n2
3 - n2
k
1
k2
n > -k 
n1
k
20000,50
2 ( 20000)
0,50
1
n2
k
2kn
k = 10 4
3
1
9999,75
n1
an
(N = 0,50)
(k
n2
3)
0
n > -10 4  108
(N = -20000,50)
3 - (-20000) 2
n2
2kn
2n
10 4
3
an
k
20000
k
3 - 12
1
2 1 1
2
Successione non regolare (indeterminata)
-1
an =
n = pari
an
+1
n = dispari
an
-1
n
n
n
1
n
successione che non ammette limite, cioé non convergente né divergente (positivamente o
negativamente).
Definizione del numero e (numero di Nepero)
è dato dal limite, per n
y =
, della funzione:
1+
1
n
n
e =
lim
n
1+
1
n
n
il numero e è un numero irrazionale compreso tra i valori 2 e 3.
= 2,7182818284. . .
LIMITI DI UNA FUNZIONE REALE
y = f(x) definita nell'intervallo chiuso [a, b] eccetto al più nel punto c interno all'intervallo.
Limite finito di f(x) per x
c (c valore finito)
lim
x
se per ogni
c
= f(x) = 
> 0 e piccolo a piacere, è possibile determinare un numero , dipendente da , tale che
per ogni valore x compreso nell'intorno |x- , x+ | ad esclusione di x = c si ha:
|f(x) - |<
 - < f(x) <  +
Esempio:
x2
lim
x
x
2
x2 - 4
x
4
2
4
2
(x - 2) 2
x-2
x
= 4
x2
[0, 4]
4
4(x
x
2
x-2
x
2
x2
2)
4x
x
2-
4
2
< x<2+
[x appartiene all'intorno di estremi (2- , 2+ )]
= 10-4
x = 1,9999
2-10-4 < x < 2+10-4
1,9999 < x <2,0001
f(x) = 3,99999 ; x = 2,0001
f(x) = 4,00005
Limite infinito di f(x) per x
c (c valore finito)
lim
x
c
= f(x) =
se per ogni M grande a piacere, è possibile determinare un numero , dipendente da M, tale che per
ogni valore x compreso nell'intorno |x- , x+ | ad esclusione di x = c si ha:
| f(x) | > M
in particolare:
f(x) > M
il valore del limite è +
f(x) < - M
il valore del limite è -
Esempio:
1
lim
x 1 (1 - x) 2
1
(1
(1 - x) 2
M
x) 2
1-
= +
1
M
x
1
1
M
1- x
M
1
M
M = 1*1010
x = 0,99999
1
f(x) = 1*1012 ; x = 1,00001
0,99999 < x < 1,00001
f(x) = 4*1010
Limite finito di f(x) per x
lim
x
se per ogni
= f(x) = 
> 0 e piccolo a piacere, è possibile determinare un numero k, dipendente da , tale che
per ogni valore di x per il quale sia | x | > k si ha:
|f(x) - |<
Esempio:
lim
x
x
x +1
x
1
x
1
1
( > 0 e molto piccolo)
1
x
(k valore molto grande)
= 10-6
k = 106
x
1
1
k
|x| > k
x = 107
f(x) = 1,0000001
1
Limite infinito di f(x) per x
lim
= f(x) =
x
se, per ogni valore M, si può determinare un numero k, dipendente da M, tale che per ogni x per il
quale sia | x | > M, si ha:
f(x) > M
Esempio:
x
lim
1
M>0
1
k
x
(molto grande) x > k
x
1
M = 1 10
k
1 - x > M2
M
M2
k>0
6
x < -k ; x > k
x < 1 - M 2 (1 - M 2
-k <0
12
x < 1 - 10
12
( 1 10
)
1 - (-1 1013
x < -1 10
12
x < -k = -1 10
3.162.278
x < -k
12
x = -1 1013
negativo)
FORME INDETERMINATE
Sono da considerarsi indeterminate quelle funzioni per le quali l’operazione di limite porta ad avere
come risultato una delle seguenti forme:
;
0
;
0
-
; 0
; 00 ;
0
; 1
si calcolano apportando alcune modifiche alla funzione, trasformandola in una funzione
equivalente:
I.
II.
lim x n = c n ;
x
c
[ Pn (x) = polinomio di grado n]
lim Pn (x) = Pn (c)
x
c
lim Pn (x) = a 0 x n
x
da ciò segue:
A.
a
lim Pn (x) = a 0 x n =
x
0
a
a
B.
lim Pn (x) = a 0 x n =
x
a
P (x)
III.
lim
x
n
Q (x)
=
lim
x
Q (x)
m
0
n
0
-
0
n pari
n disp
+
-
0
n pari
n disp
+
Q (c)
Q (c)
m
m
a xn
P (x)
IV.
0
+
P (c)
m
n
0
0
=
0
a' x m
0
a
=
0
a'
0
lim x n - m
x
0
A.
n-m > 0
si ricade nel caso 2;
B.
n-m = 0
xn-m = x0 = 1
C.
n-m < 0
n-m = -t
risultato = a0 /a'0
xn-m = x-t = 1/xt
risultato = 0
FUNZIONI CONTINUE
regola mnemonico-pratica: f(x) è continua se non si deve staccare la penna dal foglio.
Definizione: data una f(x) definita in [a, b] ed un punto c
[a, b], f(x) è continua in c se
risulta:
lim f (x)
x
x
f (c)
c
|c- , c+ |
|f(x) - f(c)| <
Condizioni necessarie e sufficienti:
1. la funzione esiste ed assume valore finito in c:
f(x) = f(c)
2. il limite di f(x) per c tendente da sinistra deve assumere lo stesso valore finito di quello di c
tendente da destra
x
lim f (x)
c
x
lim f (x)
c

3. il valore finito raggiunto dal limite della funzione per x tendente a c deve coincidere con il
valore che la funzione assume per x = c
 = f(c)
Esempio:
funzione continua: f(x) = x2
x=0
f(0) = 0
x = 0
f (0)
x
lim x 2
0
x
lim x 2
0
0
funzione discontinua:
f(x)
2x
x
1 per x 0
per x > 0
x
lim f(x)
0
x
lim (-2x + 1)
0
1 ;
1
non definita
x
lim f(x)
0
x
lim x
0
0
0 = f(0)
limiti diversi tra loro
la funzione non ha limite. Ciò implica che non può essere verificata la
terza condizione.
TEOREMA
Somma, differenza, prodotto, quoziente (se il denominatore non si annulla in c) di funzioni continue
in c danno come risultato funzioni continue in c.
Continuità di particolari funzioni
dalla definizione di continuità in un punto discende:
lim f (x)
x
c
f lim x
x
c
ciò permette di dire:
limite dell'esponenziale = esponenziale del limite
lim x
ax c
lim a x
x
c
ac
limite del logaritmo = logaritmo del limite:
lim log x
x
c
log lim x
x
c
log c
limite della radice = radice del limite:
lim n x
x
n lim x
x
c
c
n
c
ed estendendo il concetto:
Funzioni Composte:
y
z
 ;
lim f(x)
x
c
g()
lim g(y)
x
f(x)
g f(x)
g(x)

lim g(f(x))
x
c
g( lim f(x))
x
c
g())
Esempio:
y
3
log x 2
3
lim log x 2
x
2
log
3 2
lim
x
x
2
log3 4
log 1,5874 = 0,20069
FUNZIONI CONTINUE IN UN INTERVALLO
f(x) è continua in [a, b] se è continua in ogni suo punto. Da ciò segue:
1. se f(x) è continua in [a, b] ammette in esso un massimo assoluto ed un minimo assoluto;
2. se f(x) è continua in [a, b] assume in esso tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo
massimo;
3. se f(x) è continua in [a, b] e se per x = a e per x = b assume valori di segno opposto,
assumerà valore nullo in almeno un punto interno ad [a, b] (la funzione ammette almeno
uno zero)
x=a
x=b
y = f(x)
f(a) f(b)
esiste almeno un punto 
f(a) = +c (-c)
f(b) = -d (+d)
c d
a, b tale che:
f() = 0
Esempi:
zeri di f(x):
y = x3+2x2-x-2
[0, 2] ; f(0) = -2 ; f(2) = 12
x3+2x2-x-2 = x2(x+2) - (x+2) = (x+2) * (x2-1) = (x+2) * (x+1) * (x-1)
Bisogna vedere in quali punti la funzione tocca l'asse delle x:
y
y
x3
0
2x 2
x3+2x2-x-2 = 0
x
2
(x+2) * (x+1) * (x-1) = 0
x = -2 ; x = 1 ; x = 1
dovendo considerare la funzione in [0, 2], il punto in cui f(x) interseca l'asse delle x è x = 1 per il
quale è y = 0
Massimo e minimo di f(x)
y = 2x-4 definita in [-2, 3] intervallo chiuso e limitato; la funzione esprime in esso un segmento ben
definito e come tale dotato di massimo e di minimo:
min per x = -2
y = -8
;
max per x = 3
y=2
assume, inoltre, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo.
PUNTI DI DISCONTINUITÀ
punti in cui la funzione non è continua (almeno una delle tre condizioni non è rispettata):
Discontinuità di 1° specie:
x
Esempio:
f(x)
lim f(x)
2x
per x = 0
c
x
lim f(x)
c
x
lim f(x)
c
x
lim f(x)
c
salto
x
x
x
lim
(funzione continua a tratti)
0
1 ;
x
lim
0
1 salto in x=0
1-(-1) = 2
Discontinuità di 2° specie:
non esiste uno dei limiti oppure uno di essi vale infinito.
Esempio:
1
2x
f(x)
1/ x
lim
2
lim
2
0
per x = 0 si ha: x
1/ x
0
x
= 2x lim0
1/ x
= 2x lim0
1/ x
= 2
=
= 2
=
1
2
= 0
Discontinuità di 3° specie o eliminabile
si presenta quando per x = c esiste finito il limite ma non esiste il valore di f(x) in c, oppure risulta
lim f(x)
x
c
f(c)
si dice eliminabile perché si può ristabilire la continuità o ponendo lim f(x) = f(c) quando in c la
x
c
f(x) non è definita, oppure cambiando il valore di f(x) per x=c, ponendo lim f(x)
x
c
f(c) . In
quest'ultimo caso il risultato ottenuto è detto "prolungamento per continuità di f(x) in c".
Esempio: y
x2
4x
x
3
3
discontinuità per x = 3 eliminabile perché, pur essendo la f(x) non definita in x = 3, risulta:
lim
x
3
x2
4x
x
3
3
lim
x
(x
1) (x
x
3
3)
3
lim (x
x
3
1)
2
considerando la seconda alternativa si ha l'eliminazione della discontinuità per prolungamento:
x2
y
4x
x
2
3
3
per x
3
per x = 3
ASINTOTI DI UNA FUNZIONE
y = f(x) curva con rami che si estendono all'infinito; P(x, y) punto della curva
asintoto: retta la cui distanza dal punto P, al tendere di P all'infinito, tende a
zero.
Si possono avere:
asintoti verticali se
x=c
lim f(x)
x c
asintoti orizzontali se
y =  asintoto

lim f(x)
x
asintoto
asintoti obliqui se lim f(x)
y = mx + p asintoto
x
m
f(x)
lim
x
; p = lim
f(x)
x
x
mx
Esempi:
y
x
1
x
2
lim
x
x
1
2x
2
x
x
y
x
3
x
lim
2
x
x2
lim
2
x 1+
x 1
lim
x2
x=2
2
lim
x
x 1
3
x
3
x
1
x
2
x
y=1
1
x = -2
2
x2
asintoto verticale
asintoto orizzontale
asintoto verticale
non esistono asintoti orizzontali
2
esistono, invece, asintoti obliqui di equazione y = mx + p
m
p
lim
x
lim
x
f(x)
= lim
x
x
lim f(x)
x
2x
3
x
2
x
2
x(x
3
mx = lim
=-2
= lim
2)
x
p=-2
x
2
x
3
x+2
x
x
2
2
3
2
= lim
2x
1 x = lim
x
y=x -2
2
x (1 3/x )
2
=1
x (1 2/x)
x
x
2
3 x(x
x
2)
=
2
asintotoobliquo
DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Data una y = f(x) definita e continua in [a, b] ed i punti x 0 e (x0+h), entrambi appartenenti
all'intervallo [a, b], si dice:
incremento di f(x) la differenza:
f(x0+h) - f(x0)
f(x 0
rapporto incrementale di f(x) il rapporto:
h)
h
si dice derivata della funzione in x0 il limite, per h
f I (x 0 )
f(x 0 )
lim
h
0, del rapporto incrementale:
f(x 0
h)
f(x 0 )
h
0
se tale limite esiste ed è finito. Estendendo, poi, il concetto ad un qualunque punto x
dice derivata di y = f(x) il limite, per h
0, del rapporto incrementale della funzione:
y ' = f I (x) =
Esempio:
y=x
[a, b], si
lim
h
f(x
h)
f(x)
h
0
3
h) f(x)
(x h) 3
lim
lim
h 0
h 0
h
h
lim
(3x 2 3hx h 2 )
3x 2
h 0
x3
f(x
lim
h 0
x3
3hx 2
3h 2 x
h
h3
x3
y ' = 3x 2
la derivata della funzione nel punto x = 3 vale:
lim
h
(3
h) 3
33
h
0
lim
h
33
3 32 h
3 3 h2
33
h
0
lim (27
h
0
9h
h2 )
27
Significato Geometrico della Derivata
La derivata della y = f(x) nel punto x0 è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva
nel punto x0:
m
f ' (x 0 )
y = f(x)
lim
h
0
f(x 0
curva ; y - y0 = m(x-x0)
h)
f(x 0 )
h
Esempio: determinare la tangente alla curva
x0 = 2
tag in x0
y = 3x 2-5x+7
nel punto di ascissa
y0 = 3*(2)2-5*(2)+7 = 9
y-y0 = m(x-x0)
y - 9 = 7(x - 2)
y-9 = m*(x-2)
y = 7x - 5
m = f ' (x0) = 6*x - 5 = 6*(2) - 5 = 7
x0 = 2
Regole di Derivazione
Derivata di una somma algebrica:
F(x) = f(x)
g(x)
F'(x) = f'(x)
g'(x)
Derivata di un Prodotto:
F(x) = f(x) g(x)
F'(x) = f '(x) g(x) + f(x)
g'(x)
Derivata di un rapporto:
f(x)
F(x)
F ' (x) =
g(x)
f ' (x) g(x) - f(x) g' (x)
2
g(x)
Derivata di una funzione Composta:
F(x) = f[g(x)]
F'(x) = f ' [g(x)] g'(x)
Derivata di una Potenza:
f(x) = xn
f ' (x) n
xn-1
FORMULE DI DERIVAZIONE
FUNZIONE
DERIVATA
FUNZIONE
DERIVATA
[k = cost] y ' = k * f I (x)
y=k
y'=0
y = k * f(x)
y=x
y'=1
y = f(x) + g(x)
y ' = f I (x) + g I (x)
y = xn
y ' = n * xn-1
y = f(x) * g(x)
y ' = f I (x) * g(x) + f (x) * g I (x)
y = lga x
y'
y = ax
1
x
(*)
lg a e
y ' = ax * ln a
y
f(x)
y'
g(x)
g(x)
y = f[g(x)]
y ' = n * [f(x)]n-1 * f ' (x)
y = af(x)
y ' = af(x) * ln a * f ' (x)
y = ef(x)
y ' = ef(x) * f ' (x)
funzione
(**) ln e = 1
2
y ' = f '[g(x)] * g '(x)
(*) permette di calcolare anche le y = [f(x)]n
derivate dei radicali e l'inversa della
f ' (x) g(x) - f(x) g ' (x)
equazione della tangente alla curva [ y - y0 = m(x - x0)]
y - f(x0) = f ' (x0) * (x - x0)
f ' (x0) = m
(**)
REGOLA di DE L'HOSPITAL
Permette di calcolare i limiti di funzioni che si presentano in forma indeterminata,
sostituendo alle funzioni originarie le loro derivate:
lim f(x)
x c
0 ;
lim g(x)
0 ;
x c
lim f(x)
;
x c
lim g(x)
;
x c
c = valore finito (compreso lo zero) o infinito
lim
x
f(x)
c g(x)
lim
x
f ' (x)
c g' (x)
Esempio:
lim
x
0
ex
1
forma indeterminata
x
x
f(x) = e - 1
f'(x) = e
x
0
0
; g(x) = x
g'(x) = 1
lim
x
ex
0
1
x
=
lim
x
ex
0 1
=
1
Determinazione della Crescenza e Decrescenza di f(x)
Sia data una f(x) continua e derivabile in ogni punto di [a, b], ricordando che per x 0
[a, b]
la f'(x0) rappresenta il coefficiente angolare della tangente alla f(x) in x 0 e ricordando che se m > 0
la retta è crescente e se m < 0 la retta è decrescente, risulta:
f'(x) > 0
funzione crescente;
f'(x) < 0
funzione decrescente
f'(x) = 0
non si può dire nulla
Esempio:
f(x) = x3-3x2+3
per x < 0
; f'(x) = 3x2-6x ; gli zeri di f'(x) sono x = 0 ; x = 2
f'(-5) = 105 > 0 ; per x > 2
x
x
,0
0,2
f'(10) = 240 > 0 ; per 0 < x < 2
2,+
f(x) crescente
f(x) decrescente
f'(1) = -3 < 0
Massimi e Minimi di una Funzione
Risultando in una funzione il massimo il punto più alto della ed il minimo il punto più basso
si ha:
x0
max relativo
x0
min relativo
a sinistra di x 0 f(x) crescente
f ' (x) > 0
a destra di x 0 f(x) decrescente
f ' (x) < 0
a sinistra di x 0 f(x) decrescente
f ' (x) < 0
a destra di x 0 f(x) crescente
f ' (x) > 0
ciò significa che si ha un punto di massimo o di minimo quando f '(x) cambia di segno, il che si
traduce nel ricercare i punti in cui è f '(x) = 0 (sono questi i punti che rappresentano il massimo e il
minimo):
y = f(x) c
f ' (c )
f ' (c )
[a, b]
0
max ;
0
f '(c) = 0
f ' (c )
f ' (c )
0
min ;
0
Esempio: f(x) = x3 - 3x2 + 3
x
x
,0
0,2
f ' (c )
f ' (c )
f '(x) = 3x2 - 6x
2,+
0
0
f ' (c )
f ' (c )
0
0
nè max nè min
f '(x) = 0 per x = 0 e x = 2
f ' (x) > 0
f ' (x) < 0
a sinistra di 0,
f ' positiva
a destra di 0,
f ' negativa
a destra di 2,
f ' positiva
a sinistra di 2,
f ' negativa
f ' (0 )
f ' (0 )
0
0
0
max relativo
;
f ' (2 )
f ' (2 )
0
2
0
min relativo
DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE
Se f(x), definita in [a, b], è ivi continua e derivabile è possibile calcolare la derivata della
derivata e così via fino a che la funzione risultante dalla derivazione è ancora derivabile (è cioé
ancora continua):
f(x)
f '(x) = derivata prima (derivabile)
f "(x) = derivata seconda (derivabile)
.....
........ ....... ...... ....... ....
f n (x) = derivata n-ma (non derivabile)
Esempio:
f(x) = 3x4- 2x3 + 4x2 + x - 1
f (x)
f I (x)
= 12x3 - 6x2 + 8x + 1
(derivata prima)
f II(x)
= 36x2 - 12x + 8
(derivata seconda)
f III(x) = 72x - 12
(derivata terza)
f IV(x) = 72
(derivata quarta)
x2
2
x
f ' (x)
2x (x) - 1 (x 2
x
2)
2
x2
x2
f ' ' (x)
0 - 2 ( 2) x -2 - 1 = 4x -3
f ' ' ' (x)
4 (-3)x -3 - 1 = - 12x -4
la funzione può essere derivata all'infinito.
2
1-
2
x2
= 1 - 2 x -2
CONCAVITA' - FLESSI
Il segno della derivata seconda permette di definire l'andamento di una funzione; in
particolare, detto c un punto dell'intervallo [a, b] in cui f(x) è continua e derivabile, risulta:
f II (x) > 0
la f(x) rivolge la concavità verso l'alto
f II (x) < 0
la f(x) rivolge la concavità verso il basso
f
II
(x) = 0
la f(x) presenta un flesso in corrispondenza del punto c, qualora sia
verificata una delle seguenti condizioni:
f' ' (c )
f' ' (c )
0
0
f' ' (c )
f' ' (c )
;
0
0
Esempi:
f(x) = 3x2 + 4x + 2
a>0
parabola con la concavità verso l'alto
f I (x) = 6x + 4
f(x) = -2x2 + 3x - 1
a<0
f II (x) = 6
f II (x) > 0
qualunque sia x
parabola con la concavità verso il basso
f I (x) = -4x + 3
f II (x) = -4
f II (x) < 0
qualunque sia x
f(x) = x3 - 2x2 + 1
tenendo presente che una funzione presenta certamente una concavità in un intorno completo
del massimo e del minimo e che tali valori possono risultare presenti per f
I
(c) = 0, per
ricercare eventuali concavità bisogna calcolare la derivata prima della funzione e, quindi,
ricercarne gli zeri:
f I (x) = 3x2 - 4x
3x2 - 4x = 0
x = 0 ; x = 4/3
dopo di che si calcola il valore della f II (x) in tali punti:
II
f ( x)
6x
f II (0)
4
f II ( 3 )
4
4
0
concavità verso il basso
4
0
concavità verso l' alto
presentando concavità di verso opposto è lecito supporre la presenza di flesso, almeno
nell'intervallo [0, 4/3]. Azzerando, quindi, la f II (x) si ottiene:
6x - 4 = 0
x = 2/3
II
f (x) = 6x - 4
f(x) presenta un flesso per x = 2/3
interno all'intervallo [0, 4/3]
f II (0) = -4 < 0
4
f II
= +4 > 0
3
P(2/3 , 11/27)
concavità verso il basso
concavità verso l' alto
punto di flesso della funzione.
DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO
ATTRAVERSO LA DERIVATA SECONDA
Il verso della concavità di una funzione permette di definire i suoi eventuali punti di
massimo e minimo. Infatti se la funzione presenta concavità verso il basso in un intorno completo di
un punto c, significa che è crescente a sinistra di c e decrescente a destra di c, per cui il punto c è un
punto di massimo. Se, invece, presenta la concavità verso l'alto significa che è decrescente a sinistra
di c e crescente a destra, per cui il punto c è un punto di minimo.
Per ricercare i punti di massimo o di minimo di una funzione si ricercano gli zeri della sua
derivata prima e si sostituiscono nella derivata seconda. Se essa risulta negativa la funzione presenta
un massimo per quel valore; se risulta positiva la funzione presenta un minimo per quel valore.
STUDIO DI FUNZIONI
Serve ad avere un'esatta rappresentazione grafica di una funzione. Si fa riferimento a tre fasi
fondamentali:
dall'analisi della y = f(x) si determina:
1) il campo di esistenza (insieme dei valori per i quali ha senso la funzione);
simmetria rispetto all'asse delle y
y = f(x) ; x = c
f(c) = f(-c)
simmetria rispetto all'origine
y = f(x) ; -y = f(-x)
f(x) = -f(-x)
segno della funzione (stabilisce le zone in cui si sviluppa il grafico);
zeri della funzione (valori che annullano la funzione
punti in cui la funzione tocca
l'asse delle x).
2) Ricerca di eventuali asintoti:
la presenza di un valore in cui la funzione non è definita comporta la presenza di un asintoto
verticale;
altri tipi di asintoti si ricercano calcolando il limite di f(x) per x
.
Calcolo di y ' = f ' (x) e di y '' = f '' (x) per determinare se la funzione è crescente o decrescente; se ha
massimi e o minimi; se presenta flessi; se presenta concavità o convessità.
Studio Grafico – Analitico delle Funzioni Reali a Variabili Reali
Sequenza passi
In pratica
Se y = f(x) è simmetrica rispetto all’asse y, deve verificarsi:
f(x) = f(-x)
Se y = f(x) è simmetrica rispetto all’origine degli assi, deve
verificarsi: -f(x) = f(-x)
Stabilire se la funzione presenta Nel caso che la funzione sia simmetrica, si può restringere lo
delle simmetrie e/o è periodica
studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il
grafico nel solo semipiano x ≥ 0; per ottenere il grafico
completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta
Se y = f(x) è periodica, si può limitare lo studio all’ampiezza
del periodo.
Se è una funzione razionale intera il suo Dominio è costituito
da tutto l’asse Reale.
Se è una funzione razionale fratta, si deve imporre che il
denominatore sia diverso da zero. I punti che annullano il
denominatore della funzione non appartengono al suo
Dominio, per tali punti x la funzione non esiste; le rette
verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la
curva.
Se la funzione è irrazionale, bisogna guardare l’indice della
radice:
se è pari bisogna imporre che il radicando sia non
Determinare
il
campo
di
negativo poiché la funzione è a valori reali;
esistenza, o Dominio, della
se è dispari non ci sono imposizioni.
funzione (Si tratta di individuare
l’insieme dei punti x in cui la Se la funzione è logaritmica bisogna imporre che l’argomento
del logaritmo sia strettamente positivo.
funzione non è definita).
Se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni.
Quando la funzione è composta da funzioni di tipo diverso
tutte
le
imposizioni
dovranno
essere
verificate
contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere
legate e condotte algebricamente come un sistema di
equazioni.
Scrivere il Dominio come unione dei diversi intervalli in cui la
funzione assume valori reali.
Segnare graficamente gli intervalli e i punti in cui la funzione
non esiste.
Calcolare i limiti, sinistro e destro, della funzione nell’intorno
dei punti x e all’infinito; riportare con un segno grafico il
Studiare
con
i
limiti
il
comportamento della curva nell’intorno di tali punti.
comportamento della funzione
Se lim f x
x = c rappresenta un asintoto verticale
agli estremi del Dominio
x
c
Se lim f x
x
Se lim f x
x
di equazione
asintoto obliquo
y = λ rappresenta un asintoto orizzontale
è probabile che esista un asintoto obliquo
y = mx +p
con:
f ( x)
m lim
x
x
e p
lim f ( x) mx
x
Porre a sistema l’equazione della curva con l’equazione
Ricercare eventuali intersezioni dell’asse delle ascisse:
y f ( x)
della funzione con l’asse x
f(x) 0
y
0
Sequenza passi
In pratica
Porre a sistema l’equazione della curva con l’equazione dell’asse
Ricercare
eventuali delle ordinate:
intersezioni della funzione
y f ( x)
y f(0)
con l’asse y
x
Studiare
funzione
il
segno
della
Calcolo delle derivate prime
e seconde
0
Studiare la disequazione f(x) > 0.
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà
situata sopra l’asse delle ascisse.
Riportare i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non
attraversa.
y’ = f’(x) = ……
y” = f”(x) = ……..
Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in
cui la funzione cresce o decresce e per individuare i probabili punti
di massimo e minimo relativi.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli
in cui la curva è concava o convessa e per individuare i probabili
punti di flesso.
Ricerca degli eventuali punti
Affinché un punto sia di massimo o di minimo relativo è che sia
di massimo e di minimo
y’ = f’(x) = 0
relativo
Si tratta, pertanto di risolvere tale equazione; i valori che la
soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi,
in quanto potrebbero essere punti di flesso.
I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o
punti critici.
Gli intervalli di monotonia sono quegli intervalli in cui la curva è
crescente o decrescente; lo studio di tali intervalli fa comprendere
se i punti trovati sono di massimo o di minimo.
Si può procedere in due modi:
Studio della monotonia della 1° metodo: si studia il segno della derivata prima, ovvero si
funzione
impone la condizione f’(x) > 0; se la derivata, nell’intorno dei punti
così trovati, non cambia di segno, questi non sono né di minimo né
di massimo
2° metodo: risolta l’equazione f’(x) = 0, si sostituiscono i valori xi
trovati nella derivata seconda e si guarda il segno che essa
assume; se:
f”( xi) > 0, cioè è positiva, la curva rivolge la concavità verso l’alto e
pertanto il punto xi è di minimo.
f”( xi) < 0, cioè è negativa, la curva rivolge la concavità verso il
basso e pertanto il punto xi è di massimo.
f”( xi) = 0 in questo caso il punto xi è molto probabilmente di flesso.
Calcolo delle ordinate degli Si ottengono sostituendo uno alla volta le ascisse dei punti di
eventuali punti di massimo massimo e di minimo nella y = f(x).
e minimo relativo
Si segnano poi tali punti sul grafico
STUDIO DI FUNZIONE – Esempio 1
Studiare il grafico della funzione:
x3
1 x2
y
Dominio: il campo di esistenza è dato da tutti i valori di x
1 (valori per i quali la funzione non è
definita).
Simmetria: la funzione è simmetrica rispetto all’origine, risultando:
x=2
y = -8/3 ; x = -2
y = 8/3
f(2) = -f(-2)
non è, invece, simmetrica rispetto ad y, non essendoci alcun valore tale che f(x) = f(-x).
Segno: per il segno della funzione si tenga presente che:
per x < -1
y > 0 (la funzione si trova nel II quadrante)
per –1 < x < 0
y > 0 (la funzione si trova nel III quadrante)
per 0 < x < 1
y > 0 (la funzione si trova nel I quadrante)
per x > 1
y > 0 (la funzione si trova nel IV quadrante)
Zeri: l’unico punto in cui la funzione si annulla è x = 0, ciò indica che la funzione passa per
l’origine degli assi.
Asintoti:
x3
11
x2
lim
x
x3
x
1 x2
f (x)
m lim
x
x
lim
lim
x
2 asintoti verticali
x
x
asintoto obliquo y
m x
x3
1
2
1 x x
1 ; p
1
-1
p
lim [f ( x ) m x ]
x
lim
x
x3
1 x2
esiste un asintoto obliquo di equazione y = -x
Massimi, minimi, punti di flesso: dalla derivata prima
y'
x 2 (3 x 2 )
(1 x 2 ) 2
risulta che la funzione cresce per - 3 < x < 3, decresce per x < - 3 e x > 3;
dalla derivata seconda
y"
2x (3 7x 2x 3 )
(1 x 2 ) 3
x
0
si ha che per x = - 3 risulta y” = 3 3/2 > 0, per cui la funzione presenta, in tale punto, un minimo
relativo perché volge la concavità verso l’alto; per x = 3 risulta y” = -3 3/2 < 0, per cui la funzione
presenta, in tale punto, un massimo relativo perché volge la concavità verso il basso; risultando,
0 la funzione non presenta flessi.
Y
3
x=1
3
2
3
1
-1
3
x = -1
infine, in tali punti y”
3
2
3
X
STUDIO DI FUNZIONE – Esempio 2
Studiare il grafico della funzione:
2x 3
x 12
y
Dominio: il campo di esistenza è dato da tutti i valori di x
-1 (valore per il quale la funzione non è
definita).
Simmetria: la funzione non è simmetrica rispetto all’origine, risultando f(x)
-f(-x); non è
simmetrica rispetto ad y, non essendoci alcun valore tale che f(x) = f(-x).
Segno: per il segno della funzione si tenga presente che
Per x < -1
Y<0
(la funzione si trova nel III quadrante)
Per –1 < x <0
Y<0
(la funzione si trova nel III quadrante)
Per x > 0
Y>0
(la funzione si trova nel I quadrante)
Zeri: l’unico punto in cui la funzione si annulla è x = 0, ciò indica che la funzione passa per l’origine degli assi.
2x3
2
x 1
lim
Asintoti:
x 1
lim
x
m
lim
x
f ( x)
x
lim
x
asintoto verticale
2x3
2
x 1
2x 3 1
2
x 1 x
x -1
asintoto obliquo
2
;
p
lim f ( x) m x
x
y
lim
x
mx
p
2x 3
2
x 1
2x
4
esiste un asintoto obliquo di equazione y = 2x – 4
Massimi, Minimi, Punti di flesso: la derivata prima
y'
2x 2 x 3
3
x 1
si annulla per x = 0 e per x = -3, risulta pertanto
x < -3
y’ > 0
la funzione è crescente
–3 < x < -1
y’ < 0
la funzione è decrescente
-1 < x < 0
y’ > 0
la funzione è crescente
X>0
y’ > 0
la funzione è crescente
Calcolando, poi, la derivata seconda
y"
12 x
4
x 1
e ponendo in essa x = -3, risulta y” = -2,25 < 0, per cui la
funzione presenta in tale punto un massimo relativo perché volge la concavità verso il basso; ponendo, invece, x = 0
risulta y” = 0 che fa prevedere un punto di flesso:
x<0
y” < 0
x>0
Ed infatti, cambiando verso in tale punto si ha un flesso.
y” > 0