Il triangolo aureo nel DNA e nel dodecaedro
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show some connections between DNA and the golden triangle, and so on
Riassunto
In questo lavoro descriveremo brevemente la connessione tra il DNA e il triangolo aureo, e
quindi con la sezione aurea, onnipresente in ambito geometrico (dodecaedro) e naturale
Il triangolo aureo è un triangolo i cui angoli sono due di 36 gradi e l’altro di 72 gradi, e
connessi alla sezione aurea. Dopo la descrizione parziale da Wikipedia, lo ritroviamo più o
meno direttamente/indirettamente nel DNA ed in altri fenomeni naturali
Da Wikipedia:
Triangolo aureo [modifica]
Il triangolo aureo è un triangolo isoscele avente i due lati uguali in rapporto aureo con il terzo lato,
φ:1 (1,618:1) e angoli di 36°, 72° e 72°. Viene utilizzato per dimostrare che la diagonale del
pentagono è in rapporto aureo col lato, e con l'aggiunta di altri due triangoli aurei, gli gnomoni aurei,
ne completa la figura; inoltre si pensa che potrebbe essere perfino stato uno dei modi per la
dimostrazione dell'incommensurabilità. [1]
Costruzione [modifica]
Vi sono molti modi per costruire geometricamente un triangolo aureo, diversi di questi passano per
la costruzione del pentagono regolare, ma sono piuttosto scomodi per via dell'oggettiva maggiore
complicatezza che richiede la costruzione preliminare del pentagono stesso.
I sistemi più diretti e semplici si basano su procedimenti derivati dalla costruzione del rettangolo
aureo e proprio in esso trovano la giustificazione algebrica. Per costruire un triangolo aureo su un
segmento dato AB, si può procedere nel seguente modo:
1. Tracciare una perpendicolare passante per uno dei due estremi, in questo caso A, e riportarvi
il punto C a una distanza pari alla metà di AB;
1
2. Con centro in C, si riporta la distanza da questo all'altro estremo del segmento, CB,
individuando il punto D;
3. Con centro in A si riporta la lunghezza totale trovata, AD, sulla mediana del segmento o la
si fa incrociare con l'omologa dall'estremo opposto, designando il terzo punto della terna
triangolare.
La spiegazione è rapida; innanzitutto si tratta di trovare un lato che sia in rapporto aureo con la
base data e si riporta una metà di questa ½, a cui si aggiunge l'ipotenusa del triangolo CAB,
calcolabile per mezzo del teorema di Pitagora:
Ovviamente il rettangolo ABDD' è il rettangolo aureo.
Particolarità geometriche [modifica]
Il triangolo aureo ha molte proprietà in comune con quelle che sono più note come attribuite al
rettangolo aureo. Per la sua caratteristica di avere gli angoli alla base di ampiezza doppia (72°)
rispetto l'angolo al vertice (36°), è possibile, bisecando uno di questi, ricavare una successione
infinita di triangoli aurei minori. Contestualmente alla successione di triangoli omologhi, viene
anche prodotta una successione di gnomoni aurei di completamento, grazie ai quali è possibile
tracciare una "spirale di Fibonacci", ovvero una spirale che approssima la spirale aurea autentica,
tracciando in contiguità una successione archi di 108° di ampiezza, ovvero l'angolo al vertice dello
gnomone.
La "spirale di Fibonacci" in questione,[2], come la spirale aurea vera, non ha mai fine, ma si
"arrotola" attorno ad un punto asintotico, un sito all'incontro della mediana degli angoli alla base
opposti rispetto quello verso cui punta il primo triangolo che possiamo trovare nella serie. Anche in
questo punto si può registrare un parallelismo col rettangolo aureo, dove il punto asintotico si
registra invece all'incrocio delle diagonale della successione di triangoli. …“
Notiamo che, in merito alla spirale di Fibonacci , appaiono archi di 108° gradi di ampiezza,
e 108= 3*36, quindi abbiamo la serie 36, 72= 2*36 , 108=3*36 . E infine anche l’angolo aureo
137,51 ≈ 3,81 *36, possibilmente connesso con l’inverso della costante di struttura fine
Dove e è la carica elettrica dell’elettrone (da non confondersi con il numero e = 2,718)
(Per l’immagine sull’angolo aureo vedi NOTA finale)
2
Ma vediamo anzitutto la connessione con il DNA, la ben nota struttura elicoidale molecolare
tridimensionale .
Dal sito zed8.tripod.com/genoma.htm, riportiamo
Cap.VIII c) Il genoma
§ 1. I giornali di martedì 27 giugno 2000 hanno un titolo assolutamente dominante in
prima pagina: riguarda l'annuncio dato il giorno prima da Clinton della avvenuta
"mappatura del genoma umano" ad opera di due gruppi di specialisti: uno pubblico e
uno privato.
La fisica unigravitazionale mostrerà ancora una volta, in questo capitolo, l'immensa
differenza che intercorre tra la sua potenzialità ai fini di un progresso decisivo della
conoscenza in campo teorico e pratico e il procedere empirico, si potrebbe dire "a
tentoni", della scienza accademica, nonostante i grandi risultati tecnici della ricerca. Si
presuppongono noti gli elementi cognitivi essenziali, sotto tale profilo, del problema che
trattiamo.
§ 2. Diamo, innanzitutto, subito la prova che il DNA obbedisce nella sua formazione e
struttura alla nostra "equazione cosmologica", di cui è strumento il programma
Olopoiema, offerto in uso ad ogni lettore.
Osserviamo preliminarmente ciò che abbiamo sempre rilevato a proposito del carattere
quasi soltanto descrittivo ed enumerativo delle dottrine ufficiali nei vari campi del sapere.
La mappa dei geni, priva di una reale conoscenza delle loro intime leggi operative - salvo
sporadiche acquisizioni di pura ingegneria genetica - è del tutto analoga alle carte della
geografia medievale, che al centro di terre sconosciute poneva l'avvertenza Hic sunt
leones ("qui ci sono i leoni"). Parimenti, il "sequenziamento" ottenuto dei segmenti
genici nel genoma umano è simile al complesso di lettere e parole di una lingua come
quella etrusca, che in assenza di una grammatica solo molto raramente sono
interpretabili in un contesto significativo.
In effetti, il computer usato tradizionalmente ha bensì potuto "vedere" e "descrivere"
come in fig.1 la struttura del DNA sia in sezione trasversale (a sinistra), come un
poligono stellato, sia in sezione longitudinale (a destra), come doppia elica, ma ne ignora
assolutamente la "ragione naturale".
3
Fig.1
Al contrario, l' "equazione cosmologica", oltre a riconoscere subito come basilarmente
proprio il rapporto di sezione aurea tra lato e raggio del decagono regolare, costruisce invece di vedere soltanto - la sezione trasversale del DNA con assoluta, sbalorditiva
fedeltà di copia rispetto alla forma naturale (fig.2: valori di Olopoiema "Strutture
Raggiate" in fig.3).
4
Fig.2
5
Fig.3
§ 3. Il "rosone" di fig.2 ci dà la sola spiegazione - quella unigravitazionale, appunto della struttura del DNA, che la scienza accademica si limita a descrivere.
I vertici dei dieci "petali" sono, come si vede, i punti di incrocio di linee di forza spirali di
venti propagazioni, dieci orarie e dieci antiorarie. Essi non sono complanari allo schermo,
come sembra dalla sezione trasversale della doppia elica, bensì sono i vertici di dieci
pentagoni sovrapposti su altrettanti piani e ruotati di 36 gradi ognuno rispetto al
successivo, così da formare in sezione trasversale una figura decagonale: poniamo che
siano tutti al di sotto dello schermo.
I due filamenti paralleli della doppia elica sono costituiti ciascuno da una catena alterna
di residui di desossiribosio (uno zucchero) e di gruppi fosfato: lo zucchero si aggancia
gravitazionalmente mediante un atomo di ossigeno al vertice di un petalo, che lo tiene in
equilibrio tra le direzioni attrattive del sistema, e quindi al vertice del pentagono terzo
successivo ruotato di 72 gradi, e così via; il gruppo fosfato, lungo lo stesso filamento,
lega tra loro i residui di zucchero consecutivi. L'altro filamento presenta la stessa catena
spostata di un piano e di 36 gradi rispetto al primo filamento.
E' fondamentale il fatto che le due catene presentano polarità opposta: sono, cioè,
antiparallele. Questa, come sappiamo dal primo degli articoli della sez.V, è la condizione
ottimale per l'aggancio gravitazionale tra due sistemi. I quali, infatti, si lanciano su
ciascun piano, per via di composizione ondulatoria (cap.IV), i ponti costituiti dalle
quattro basi, appaiate due a due: timina e adenina, citosina e guanina.
§ 4. La nostra esposizione contiene, naturalmente, gli stessi dati offerti da una trattazione
accademica dell'argomento. Li si potrà confrontare, per esempio, con quelli, molto più
analitici, dell'articolo "Il DNA" di Gary Felsenfeld sul n.208 - peraltro esaurito - di LE
6
SCIENZE (dicembre 1985). Si constaterà che la differenza è enorme: solo la fisica
unigravitazionale dà la motivazione eziologica di quei dati, in aggiunta alla descrizione
empirica della scienza corrente, facendola derivare da una equazione cosmologica, che
abbraccia tutte le strutture dell'universo fisico.
§ 5. Abbiamo finora semplificato, per chiarezza, la geometria di base del DNA.
Precisiamo adesso che i pentagoni costruttivi della doppia elica, di cui si è prima detto,
devono riguardarsi in realtà, nello spazio tridimensionale, come la faccia superiore di
ideali dodecaedri (solido a dodici facce pentagonali), non sovrapposti ma incastrati l'uno
nell'altro. Infatti il fenomeno di formazione è teoricamente onnidirezionale, come
appunto le facce pentagonali del dodecaedro, ma si sviluppa in una direzione prevalente a
causa di una traslazione assiale del baricentro del sistema (cap.VII).
Concludiamo con una notazione interessante. Il primo oggetto lanciato dall'uomo sulla
Luna aveva forma di semplice dodecaedro: ciò fu ad opera dell'Unione Sovietica. Uno
strano destino ha voluto che il simbolo più astratto ma anche il più idealmente
significativo dell'attività della mente umana sia stato inviato al di là dei confini della
Terra da una società programmaticamente materialistica. Al contrario, il messaggio
conoscitivo della nostra civiltà verso probabili civiltà extraterrestri venne affidato
figurativamente alla coppia uomo-donna della targa del Pioneer 10, in mezzo a un
mucchio di strafalcioni (le presunte posizioni delle inesistenti pulsar), da una società,
quella americana, che si proclama idealistica: In God we trust. In Dio confidiamo. E
nella pena di morte.
E, giacché ci siamo col genoma, anche nello scempio degli embrioni umani.
Questa pagina confluisce nella sez.XII: Uso di Olopoiema. “
Le parole evidenziate in rosso si riferiscono agli angoli del triangolo aureo: 36°, 36° e 72°
Il che dimostra la relazione tra la geometria del DNA e il triangolo aureo, e quindi con la
sezione aurea di Fibonacci:
“Il triangolo aureo è un triangolo isoscele avente i due lati uguali in rapporto aureo con il terzo
lato, φ:1 (1,618:1) e angoli di 36°, 72° e 72°.”
Come dalla definizione stessa di triangolo aureo riportata all’inizio. Nel DNA, tale triangolo aureo è
connesso al decagono regolare, come dal suddetto articolo sul genoma.
Al contrario, l' "equazione cosmologica", oltre a riconoscere subito come basilarmente
proprio il rapporto di sezione aurea tra lato e raggio del decagono regolare, costruisce invece di vedere soltanto - la sezione trasversale del DNA con assoluta, sbalorditiva
fedeltà di copia rispetto alla forma naturale (fig.2: valori di Olopoiema "Strutture
Raggiate" in fig.3).
Ma anche alle facce pentagonali del dodecaedro:
7
.” Abbiamo finora semplificato, per chiarezza, la geometria di base del DNA. Precisiamo adesso
che i pentagoni costruttivi della doppia elica, di cui si è prima detto, devono riguardarsi in realtà,
nello spazio tridimensionale, come la faccia superiore di ideali dodecaedri (solido a dodici facce
pentagonali)
Ma i dodecaedri sono legati ai numeri di Lie 13, 21,e 31 (in questo caso facce, spigoli e vertici,
+1):
12+1=13
; 13 +1 = 14 = G2; 13 *4= 52 = F4 ; 13*6 = 78 = E6
20+1=21
30+1=31
; 31*8 = 248 = E8 , alle basi delle simmetrie dei cinque gruppi eccezionali di Lie,
in particolare E8 (Rif.1) , importanti nel modello Standard della fisica quantistica. Infatti:
Parzialmente, da Wikipedia:
“Dodecaedro
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Dodecaedro
Tipo
Solido platonico
Facce
Pentagoni
Elementi:
· Facce
· Spigoli
· Vertici
12
30
20
Valenze vertici
3
Gruppo di simmetria
Duale
Icosaedro
Proprietà
non chirale
In geometria solida il dodecaedro è un poliedro con dodici facce. Generalmente con questo termine
si intende però il dodecaedro regolare: nel dodecaedro regolare le facce sono pentagoni regolari
che si incontrano in ogni vertice a gruppi di tre….
8
Solido platonico [modifica]
Il dodecaedro regolare è uno dei cinque solidi platonici. Ha quindi un grande numero di simmetrie.
Ha 20 vertici e 30 spigoli. Il suo poliedro duale è l'icosaedro, anch'esso solido platonico.
Area e volume [modifica]
L'area e il volume di un dodecaedro il cui spigolo ha lunghezza a sono date rispettivamente da:
oppure:
V = 7,663s3
La costruzione di Euclide [modifica]
Fig. 1: costruzione di un pentagono la cui diagonale AD coincide con lo spigolo di un cubo
9
Fig. 2: applicazione dei dodici pentagoni sugli spigoli del cubo
Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un dodecaedro regolare
in una sfera di diametro dato. La costruzione si basa sul fatto che, scelti opportunamente 8 dei 20
vertici di un dodecaedro regolare, questi sono anche i vertici di un cubo inscritto nella stessa sfera.
La costruzione di Euclide è la seguente:
Si inscriva un cubo nella sfera data e si considerino due facce adiacenti, ABCD e ADEF, di tale
cubo (vedi Fig. 1). Siano poi T, G, L, W ed M i punti medi di EF, AD, BC, AB e CD
rispettivamente e R e J i punti medi di GT e GL. Infine, si tracci il cerchio di raggio KM e centro K,
determinando così il punto H. Con raggio HJ e centro in J si determinano i punti P e N sul segmento
MW. Sia poi H il più vicino a G tra i due punti di intersezione tra la circonferenza e GL; si può
verificare che H divide GJ in "media ed estrema ragione", ovvero è tale che il rapporto tra HJ e GJ è
la sezione aurea. Infine, sia S il punto di GT tale che GS = GH.
Si tracci le semiretta uscente da S e perpendicolare alla faccia ADEF e si determini il punto della
semiretta X di distanza JH (=SR) da S. Si faccia lo stesso dai punti P ed N (stavolta rispetto alla
faccia ABCD), determinando i punti Y e Z. I punti A, D, X, Y, Z andranno a formare i vertici di una
faccia del pentagono.
A seguito delle istruzioni per la costruzione suddetta, Euclide dimostra con un lungo ragionamento
che i punti X, Y e Z, assieme ai punti A e D, sono i vertici di uno dei pentagoni regolari che
costituiscono il dodecaedro (i cui lati sono disegnati in rosso). Eccone alcuni accenni:
Per prima cosa occorre dimostrare che i cinque punti indicati sono complanari, cosa che si verifica
facilmente guardando la proiezione laterale che compare in basso a destra nella figura 1. In tale
figura sono riportati solo i punti appartenenti al piano che passa per le linee TG e GL (il punto U è il
punto medio del lato YZ del pentagono). I segmenti di lunghezza a e b sono stati ottenuti come
sezione aurea del segmento a+b (metà dello spigolo del cubo); tenendo presente la definizione
classica di sezione aurea a : b = b : a+b, è immediato che i triangoli GSX e GJU sono simili, quindi
sono uguali fra loro gli angoli ε. Di conseguenza, i segmenti XG e GU sono allineati su un'unica
retta, e quindi i cinque punti del pentagono giacciono su un unico piano.
Il fatto che i cinque lati del pentagono sono uguali fra loro si può verificare applicando il teorema di
Pitagora; a questo proposito, basta verificare che YZ è uguale a uno qualunque degli altri lati, che
sono per forza uguali fra loro: infatti ciascuno dei lati ZD, DX, XA e AY risulta essere diagonale di
10
un parallelepipedo i cui spigoli sono a, b e a+b (relativamente al lato ZD: gli spigoli del
parallelepipedo di cui è diagonale sono a=MN, b=NZ e a+b=DM).
Occorre infine verificare che gli angoli interni del pentagono siano uguali fra loro e questo può
essere dimostrato per via indiretta, sempre grazie al teorema di Pitagora. Si può verificare infatti che
le distanze di ciascun vertice dal punto centrale Q della sfera (nonché del cubo e del dodecaedro)
sono tutte uguali fra loro, e da questo segue che i vertici del pentagono si trovano su una
circonferenza il cui centro è la proiezione del punto Q sul piano del pentagono AYZBX: quindi il
pentagono stesso, avendo i lati uguali e i vertici che stanno su una circonferenza, è regolare. Ma il
fatto che le distanze dei vertici del pentagono dal centro Q della sfera sono tutti uguali dimostra
anche che i vertici del pentagono stanno sulla superficie della sfera in cui si deve inscrivere il
dodecaedro.
A questo punto, per ottenere il dodecaedro basta ripetere la stessa costruzione per le 11 facce
rimanenti, come mostrato in figura 2…
…
Simmetrie [modifica]
Il dodecaedro possiede 120 simmetrie. Il gruppo di simmetria dell'icosaedro è quindi fatto di 120
elementi: è isomorfo al prodotto
del gruppo alternante A5 di ordine 5!
gruppo ciclico di ordine 2. Le 60 rotazioni formano il sottogruppo
/ 2 = 60 e del
, isomorfo ad A5.
Le 60 rotazioni sono di vario tipo:
1. Rotazione di 360/5 = 72° (cioè 2π / 5 radianti) intorno ad un asse che unisce i centri di due
facce opposte;
2. Rotazione di 360/3 = 120° (cioè 2π / 3 radianti) intorno ad un asse che unisce due vertici
opposti;
3. Rotazione di 360/2 = 180° (cioè π radianti) intorno ad un asse che unisce i punti medi di due
spigoli opposti.
Oltre a queste, vi sono anche le rotazioni ottenute componendo più volte una rotazione lungo lo
stesso asse: in questo modo è possibile ad esempio ottenere gli angoli 72°, 144°, 216° e 288° in una
rotazione del primo tipo. Quindi vi sono
rotazioni del primo tipo (4 angoli possibili
per ognuna delle 6 coppie di facce opposte),
rotazioni del secondo tipo (2 angoli
120° e 240° per ognuna delle 12 coppie di vertici opposti) e 15 rotazioni del terzo tipo. In totale,
24 + 20 + 15 = 59, cui va aggiuntà l'identità per ottenere un totale di 60.
11
Uno sviluppo del dodecaedro
L'icosaedro ha lo stesso gruppo di simmetrie. Altri solidi hanno questo gruppo di simmetria: tra
questi, l'icosaedro troncato, che modellizza il pallone da calcio…”
I numeri e le parole evidenziate in rosso indicano le connessioni con il triangolo aureo e con la
sezione aurea. Il numero 144 di 144° è un numero di Fibonacci, mentre 72 è la media
aritmetica tra i due numeri di Fibonacci 55 e 89, poiché (55+89)/2= 72, oltre che ad essere
anche 72 = 144/2. Quindi, c’è già abbastanza matematica sulle connessioni tra geometria del
DNA e sezione aurea.
Ma anche tra corpo umano e sezione aurea ci sono connessioni matematiche (Rif. 2, al quale
rimandiamo); per non parlare di molti altri fenomeni naturali, regolati dal fenomeno della
ricorsività matematica, che comprende anche i numeri di Fibonacci, oltre che i numeri di Lie
(simmetrie) e le partizioni di numeri, tutti presenti in Natura (Rif. 3, 4 e 5 )
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che tra i tanti fenomeni naturali regolati dai numeri di
Fibonacci e quindi dalla sezione aurea, possiamo includere ora anche la geometria del DNA,
per le stesse ragioni matematiche indicate nei vari riferimenti finali.
Riferimenti
1) “L’equazione preferita dalla natura” (aggiornamento)” sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
2) Numero 01: La Sezione Aurea nel Corpo Umano. Sul sito www.atuttoportale.it, sezione
“Didattica” rubrica Oltre la Botanica” (con altri articoli sulla sezione aurea):
OLTRE LA BOTANICA
La Sezione Aurea dagli Atomi alle Stelle
12
Francesco Di Noto
Eugenio Amitrano
L’articolo “Botanica Aurea” ci ha fatto venire in mente l’idea di questa
nuova rubrica. Per esporre con vari articoli la presenza della sezione aurea
nelle sue forme più svariate (Numeri di Fibonacci, Spirale Aurea, …) in
moltissime altre discipline scientifiche, a cominciare proprio da quella che
ci riguarda più da vicino, e cioè “Il corpo umano”. Seguiranno inizialmente
come discipline primarie la matematica, la fisica e la chimica che avranno
la precedenza assoluta, seguite poi da altre come astronomia, musica,
crittografia, finanza, elettronica e informatica, ed eventuali altre. Il nostro
obiettivo è quello di portare un contributo importante alle righe già presenti
su altri siti che trattano le relazioni tra i numeri di Fibonacci e tali
discipline.
Scarica i numeri qui di seguito:
22/11/2010
06/12/2010
05/01/2011
16/02/2011
15/09/2011
Numero 01: La Sezione Aurea nel Corpo Umano
Numero 02: La Sezione Aurea in Matematica
Numero 03: La Sezione Aurea in Fisica
Numero 04: La Sezione Aurea in Astronomia
Numero 05: La Sezione Aurea in Chimica
Ai quali rimandiamo.
3) “Ricorsività (o ricorrenza) nelle somme di numeri particolari successivi (caso generale a, b)
casi particolari a=b=1 (numeri di Fibonacci, F, e a=b=2 (le dimensioni coinvolte nelle teorie di
stringa, 2F)” Francesco Di Noto, Michele Nardelli, su entrambi i siti di cui sopra.
4) “ La Botanica Aurea” Relazioni fisico-matematiche tra Botanica e Sezione Aurea.
Francesco Di Noto Eugenio Amitrano, sul sito www.attuttoportale.it
5) “Scoperto il legame tra la sezione aurea e la simmetria”, di Michele Nardelli, sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
NOTA 1
Un piccolo esempio di applicazione naturale dell’angolo aureo nei fiori: dal sito
www.uebarena.com/scienze/136556-l-angolo-aureo.html, riportiamo
parzialmente:
13
“Come potete notare, il girasole forma spirali diverse, ma con angolo aureo, ovvero di una
pendenza di circa 137,5°. in questo modo c'è la possibilità di accumulare più semi in meno
spazio.”
I due valori , dell’inverso della costante di struttura fine e dell’angolo aureo (137,053
e 137, 50) sono molto vicini tra loro, e il sospetto che ci sia una relazione tra loro, è
molto forte.
14
NOTA 2
Da sito areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmicaDeFusco.pdf ,”La spirale meravigliosa -Esame di Stato 2007/2008
Classe V sez. C – Tesina di maturità” DE FUSCO LUCIO - ” ,
riportiamo parzialmente”
“…Tuker chiedendosi come mai il falco nel piombare su una preda non scegliesse una traiettoria
rettilinea, più breve e più veloce, nel 2000 ha dimostrato che l’animale in picchiata segue una …
Poiché gli occhi del falcone guardano lateralmente l’uccello dovrebbe ruotare la testa per vedere la
preda, tale assetto peggiorerebbe la sua aerodinamica: l’animale tiene la testa dritta seguendo una
spirale mirabile in modo da non perdere di vista la preda e al tempo stesso massimizzare la velocità.
Anche per mammiferi la crescita delle corna (per famiglia dei caprini, ad esempio l’ariete), delle
zanne (ad esempio degli elefanti), degli artigli e delle code di alcune specie, segue lo stesso
principio di crescita delle conchiglie dei gasteropodi. Le code più sorprendenti sono quelle del
camaleonte e del cavalluccio marino (fig. 19).
Per quanto riguarda l’uomo, mentre è poco significativo assimilare l’orecchio esterno ad una spirale,
nell’apparato uditivo la chiocciola o coclea (dal latino di chiocciola) ha questa forma. …
NOTA 3
Dalla voce “Sezione aurea di Wikipedia riportiamo qualche brano sul pentagono con inscritto
il triangolo aureo ( connesso alla geometria del DNA) e sulla spirale logaritmica, presente in
diversi fenomeni naturali, tipo la tecnica visiva del falco pellegrino per piombare sulle prede.
Immagine del pentagono con evidenziato il "triangolo aureo".
…
Geometria [modifica]
15
La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a
geometria pentagonale. Nel pentagono regolare e nel pentagramma emerge naturalmente, e per
questo, come abbiamo già detto, venne scoperto dai greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o,
nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata;
ma la si ritrova pure nel decagono come rapporto fra la misura del raggio della circonferenza
circoscritta e del lato, o ancora, trasferendoci nella geometria solida, perfino nel dodecaedro, un
poligono a dodici pentagoni, e nell'icosaedro, entrambi solidi platonici.
Esistono inoltre dei poligoni definibili aurei, poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto
aureo; il caso più emblematico è senz'altro il rettangolo aureo, seguito dal triangolo aureo :
Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la
base e i lati uguali; inoltre in entrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di
figure simili sempre più piccole con fattore ϕ di rimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel
rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un punto di fuga che
non raggiungerà mai[21], denominato dal matematico Clifford A. Pickover l'occhio di Dio,
probabilmente rifacendosi alla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli
16
Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, spesso confusa con la
spirale aurea, anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta soltanto una
buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso rettangolo, dove in
questo caso la spirale approssimante , si avvicina a quella aurea, a volte tangendola e altre
sovrapponendosi[22] ed entrambe tendendo verso un polo asintotico coincidente con lo stesso
«occhio di Dio».
Sempre in ambito geometrico la sezione aurea trova un ruolo importante anche nella composizione
di alcuni frattali, ove adottandolo come coefficiente di omotetia sarebbe in grado di assicurare la
massima frattalizzazione della figura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Nel caso dei
frattali che riescono a simulare forme naturali, come un albero, per esempio, che rappresenta il
grado di ottimalità massima per ottenere la maggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; a
tal proposito prende proprio il nome di albero aureo[23], una particolare forma di albero di
Barnsley con valore pari a Φ[24].
FINE
17
