Sezione aurea

Sezione aurea
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La sezione aurea, nell'ambito dell'arte e della
matematica, indica il rapporto fra due grandezze
disuguali, delle quali la maggiore è medio
proporzionale tra la minore e la somma delle due,
mentre lo stesso rapporto esiste anche tra la
grandezza minore e la loro differenza.
In formule, indicando con a la lunghezza maggiore
e con b la lunghezza minore, vale la relazione:
Sezione aurea
Simbolo
Valore
φ
1,6180339887...
Frazione continua
Insieme
numeri reali
Categoria:Costanti matematiche
(a+b) : a = a : b = b : (a-b)
Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:
Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti
naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente
dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a
ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza";
testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di
"aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.
Excursus storico matematico
A livello storico vi sono diverse questioni aperte riguardo quali e se effettivamente siano esistiti
prima dei greci, popoli che conoscessero la sezione aurea e che effettivamente la utilizzassero nelle
loro opere.
Il periodo greco
« La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la divisione di un
segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità
d'oro, e definire il secondo una pietra preziosa. »
(Keplero)
La sezione aurea risulta connessa con la geometria del pentagono: in particolare il rapporto aureo è
pari al rapporto fra il lato
e la sua diagonale
, ma anche fra
e
(o
) e fra
e
, e a sua volta
e
, e in un'infinità di relazioni simili, se immaginiamo che nel
pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella a cinque punte (o pentagramma), la quale
produrrà a sua volta un nuovo pentagono centrale, in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e
così via, seguendo uno schema ricorsivo.
Euclide, intorno al 300 a.C., lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento. Nel XIII libro
dei suoi Elementi,[4] a proposito della costruzione del pentagono, egli fornisce la definizione di
divisione di un segmento in "media e ultima ragione"[5] (gr. ἄκρος καὶ μέσος λόγος):
Divisione di un segmento in "media e ultima ragione"
Tale divisione è basata sul semplice concetto di medio proporzionale: un segmento
è infatti
diviso in media e ultima ragione dal punto C' se il segmento
ha con
lo stesso rapporto che
ha con esso, ovvero se:
Immagine del pentagono con evidenziato il "triangolo aureo".
La divisione di un segmento
in media e ultima ragione può essere effettuata costruendo un
pentagono regolare, del quale
rappresenta una diagonale e disegnandovi all'interno un
"triangolo aureo", ossia un triangolo isoscele la cui base corrisponde al lato del pentagono e i lati
uguali alle diagonali congiungenti quest'ultimo al vertice opposto; (i triangoli adiacenti vengono
detti "gnomoni aurei").
L'ampiezza dell'angolo interno del pentagono regolare è di 108°[6], ciò significa che gli angoli alla
base degli gnomoni aurei, anch'essi isosceli, misurano 36°, e, per differenza, quelli alla base del
triangolo aureo 72°. Se ne ricava che il triangolo aureo ha angoli di ampiezza 36°, 72°, 72°;
tracciando la bisettrice di un angolo alla base, si ricava un altro triangolo
, con l'angolo in D
di 36°, ovvero 72°, come il precedente; il terzo angolo in C sarà a sua volta di 72°.
un altro triangolo aureo.
Per il primo criterio di similitudine sui triangoli,
d'altra parte, anche il triangolo
A, risulta quindi:
e
è dunque
sono triangolo simili; è quindi:
è isoscele, perché il suo angolo in D è di 36° come l'angolo in
ottenendo così:
Matematica
Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell'equazione
di secondo grado x2 - x - 1 = 0, le cui radici sono:
Tra le due soluzioni possibili, quella che ha un senso pure a livello geometrico è la radice positiva,
ovvero il numero irrazionale 1,618....
La radice negativa dell'equazione, presa in valore assoluto (cioè priva di segno) è uguale a 0.618...;
questo valore viene contrassegnato con la lettera greca Φ (Phi), in maiuscolo, ed è talvolta detto
sezione argentea.
Particolarità matematiche
Il rapporto aureo è l'unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono
inalterata la propria parte decimale.
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Irrazionalità
L'irrazionalità di phi, cioè l'impossibilità di essere espressa compiutamente mediante una frazione,
è una tra le sue caratteristiche tipiche e singolari, che viene direttamente dimostrata dalla sua
formula generatrice:
La parte decimale infatti è interamente generata da
(che è un numero irrazionale), che sommato
con un numero razionale fornisce un numero irrazionale.
Potenze di Phi
Ecco qui alcuni rapporti notevoli interni a phi stesso con delle sue potenze
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Geometria
La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a
geometria pentagonale. Nel pentagono regolare e nel pentagramma emerge naturalmente, e per
questo, come abbiamo già detto, venne scoperto dai greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o,
nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata;
ma la si ritrova pure nel decagono come rapporto fra la misura del raggio della circonferenza
circoscritta e del lato, o ancora, trasferendoci nella geometria solida, perfino nel dodecaedro, un
poligono a dodici pentagoni, e nell'icosaedro, entrambi solidi platonici.
Esistono inoltre dei poligoni definibili aurei, poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto
aureo; il caso più emblematico è senz'altro il rettangolo aureo, seguito dal triangolo aureo :
Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la
base e i lati uguali; inoltre in entrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di
figure simili sempre più piccole con fattore Φ di rimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel
rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un punto di fuga che
non raggiungerà mai, denominato dal matematico Clifford A. Pickover l'occhio di Dio,
probabilmente rifacendosi alla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli.
Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, spesso confusa con la
spirale aurea, anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta soltanto una
buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso rettangolo, dove in
questo caso la spirale approssimante , si avvicina a quella aurea, a volte tangendola e altre
sovrapponendosi ed entrambe tendendo verso un polo asintotico coincidente con lo stesso «occhio
di Dio».
Costruzione geometrica
La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso, su qualsiasi segmento
AB, ed è possibile agire in due modi:
1. dividere il segmento date le proporzioni media ed estrema
2. creare dal medesimo un segmento in proporzione media ed estrema
Nel primo caso una possibile divisione del segmento ci è indicata da Euclide alla Prop. 30, libro VI,
tuttavia esiste un modo molto più semplice:
dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2, si
traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il
punto E, ove passa la circonferenza di centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con
raggio AE su AB definendo il segmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.
Per il secondo caso invece si procede diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso
cui si ottiene un rettangolo aureo.
Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; da questo punto,
quindi, si trova il punto medio C del segmento interessato e puntandovi, con apertura pari
all'ipotenusa CD, si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD', per il quale
AB rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma AD'.