Programma del modulo di Analisi Matematica I (9 CFU)

Programma del modulo di Analisi Matematica I (9 CFU)
Numeri reali e funzioni.
Insiemi numerici. Estremi di un insieme numerico. Topologia della retta. Numeri complessi. Generalità sulle
funzioni. Funzioni numeriche e loro proprietà elementari. Grafico di una funzione. Operazioni sulle funzioni e
trasformazione elementari dei grafici. Funzioni elementari (I CFU).
Limite di una funzione.
Definizione di limite di funzioni reali di variabile reale. Teoremi di unicità del limite, del confronto e della
permanenza del segno. Teorema sui limiti di funzioni monotone. Operazioni sui limiti e forme indeterminate.
Limiti notevoli. Asintoti. Infiniti e infinitesimi e loro confronto. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli
infiniti (II CFU).
Funzioni continue.
Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Teorema
di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Radici di un’equazione: metodi grafici per la ricerca.
Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass. Continuità uniforme (III CFU).
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
Definizione di derivata e suo significato geometrico e cinematico. Retta tangente al grafico. Derivate delle
funzioni elementari e regole di derivazione. Derivabilità e continuità. Massimi e minimi relativi. Teoremi di
Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange e loro interpretazione geometrica. Monotonia e derivabilità. Funzioni a
derivata nulla. Punti singolari, angolosi, a tangente verticale e cuspidi. Differenziale e approssimazione lineare.
Derivate successive. Teoremi di de l’Hôpital. Formula di Taylor e di McLaurin. Espressioni del resto.
Approssimazione di funzioni mediante polinomi. Limiti con la formula di Taylor.
Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Proprietà fondamentali. Funzioni lipschitziane. Studio del grafico
di una funzione. Problemi applicati di massimo e minimo (IV-V-VI CFU).
Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale.
L’integrale di Riemann per funzioni di una variabile. Interpretazione geometrica. Proprietà dell'integrale
definito. Teorema della media. Integrale indefinito e sue proprietà. Funzioni integrali. Teorema fondamentale
del calcolo integrale. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva: integrazione immediata, per
scomposizione in somma e per sostituzione. Integrazione per parti. Ricerca di primitive per alcune classi di
funzioni: razionali, trigonometriche e irrazionali. Integrali impropri o generalizzati. Esempi fondamentali.
Teorema del confronto. Criterio del confronto asintotico. Modelli differenziali. Equazioni differenziali a variabili
separabili e lineari del primo ordine (VII-VIII CFU).
Successioni e serie numeriche.
Limite di una successione. Teoremi di unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto. Teorema
“ponte” e non esistenza dei limiti. Calcolo dei limiti. Teorema di esistenza del limite per una successione
monotona. Serie numeriche. Esempi fondamentali: la serie geometrica, di Mengoli, armonica e armonica
generalizzata. Criterio di Cauchy per la convergenza di una seria. Condizione necessaria per la convergenza di
una seria. Serie a termini di segno costante. Criterio del confronto, della radice e del rapporto. Serie
assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Cenni alle equazioni alle
differenze (IX CFU).
Programma del modulo di Analisi Matematica II (6 CFU)
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili.
Elementi di topologia nel piano e nello spazio. Limite e continuità. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di
Weierstrass. Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni
composte. Derivate direzionali. Formula di Taylor del secondo ordine. Massimi e minimi relativi, teorema di
Fermat. Condizioni sufficienti per un estremo relativo. Ricerca del massimo e del minimo assoluto. Funzioni
implicite. Teorema del Dini. Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (I II CFU).
Integrali Curvilinei, doppi e tripli.
Elementi di calcolo vettoriale. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea.
Integrale curvilineo di una funzione. Integrali doppi su rettangoli. Integrali doppi su domini normali e su domini
non rettangolari. Integrale di funzioni continue. Volume di un cilindroide. Formule di riduzione per gli integrali
doppi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli. Formule di riduzione per gli integrali tripli.
Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Volume di un solido di rotazione (III CFU)
Forme differenziali lineari Superfici e integrali di superficie.
Forme differenziali lineari. Integrale di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Teoremi.Formula di GaussGreen nel piano. Campi vettoriali. Campi conservativi e potenziale. Lavoro di un campo conservativo. Superfici
elementari. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie.
Formule di Calcolo dell’area di un dominio regolare. Area del settore polare. Teorema della divergenza e
Teorema di Stokes (IV CFU).
Equazioni differenziali ordinarie.
Integrale generale di un’equazione differenziale. Problema di Cauchy e ai limiti. Esistenza e unicità locale e
globale. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale e globale. Dipendenza continua dai dati iniziali.
Equazioni a variabili separabili, Equazioni differenziali lineari del secondo ordine Proprietà generali e risoluzione delle
equazioni differenziali lineari di ordine n. Metodo di somiglianza. Metodo di variazione delle costanti. Equazioni di
Bernoulli e Clairaut (V CFU).
Successioni e serie di funzioni.
Convergenza puntuale ed uniforme per una successione di funzioni. Teoremi della continuità, della derivabilità
e del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e totale.
Integrazione e derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier (VI CFU).
Testi di riferimento:
.. M. Bramanti C. D. Pagani S. Salsa, Analisi Matematica I e II, Zanichelli, 2009 Bologna
• R. Adams Calcolo differenziale 1 e 2. Edit. Ambrosiana
• James Stewart. Calcolo “ Funz. di una variabile” e “Funzioni di piu’ variabili .”Edit. Apogeo
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano 2007.
• Barozzi-Dore-Obrecht,Elem. Di Analisi Mat. (parte prima)-Zanichelli
• N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli 2001.
• Ajroldi Vasconi, E. Grassini Raffaglio, F. Buzzetti, Esercizi di Analisi Matematica I, Masson, 1993, Milano.
• A. Alvino, L. Carbone, G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica I, vol. I,2 Liguori Editori, Napoli.
. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Analisi Matematica uno e due, Liguori Editore
.Recine-Romeo- Esercizi di Analisi matematica 1 e 2-Maggioli editrice
Per approfondimenti
C. D. Pagani S. Salsa, Analisi Matematica, vol. I e II Masson, 1993 Milano.
Modalità d’esame:
L’esame consta di una prova scritta e di una prova orale e di eventuali prove in itinere Il superamento della o delle prove
relative ai primi 9 crediti e’ indispensabile per accedere a quelle relative agli ultimi 6 crediti