I Numeri Complessi e il Teorema Fondamentale dell`Algebra

I Numeri Complessi e il Teorema Fondamentale dell’Algebra
Roberto Raimondo
April 3, 2009
I Numeri Complessi
Lo scopo di questa dispensa1 e’ di presentare una dimostrazione del Teorema Fondamantale dell’Algebra.
Questo Teorema ha una grande importanza in Matematica e nelle applicazioni. Noi lo useremo per studiare
le trasformazioni lineari. Infatti dimostreremo che e’ possibile capire molte proprieta’ delle trasformazioni
lineari attraverso l’uso dei polinomi. Questo ed altro verrà studiato in seguito, per il momento e’ utile che il
lettore tenga in mente che questo teorema afferma che ogni polinomio non costante ha sempre una radice nel
campo complesso. Per poter dimostrare il teorema dobbiamo prima studiare i numeri complessi (cfr. [1]).
Definizione 1 Un numero complesso e’ una coppia ordinata (a, b) dove a, b ∈ R. L’insieme dei numeri
complessi si indica con C.
Definizione 2 Se x = (a, b) e y = (c, d) si definisce
x+y
=
(a + c, b + d)
x·y
= (ac − bd, ad + bc)
Teorema 3 La somma e il prodotto dei numeri complessi soddisfano le seguenti
A1 Se x, y ∈ C allora x + y ∈ C
A2 Se x, y ∈ C allora x + y = y + x
A3 Se x, y, z ∈ C allora x + (y + z) = (x + y) + z
A4 Se x ∈ C allora x + (0, 0) = x
A5 A ogni x ∈ C corrisponde un elemento −x ∈ C tale che x+ (−x) = 0
M1 Se x, y ∈ C allora xy ∈ C
M2 Se x, y ∈ C allora xy = yx
M3 Se x, y, z ∈ C allora x(yz) = (xy) z
M4 Se x ∈ C allora x · (1, 0) = x
M5 A ogni x ∈ C diverso da zero corrisponde un elemento x−1 ∈ C tale che xx−1 = (1, 0)
D Se x, y, z ∈ C. allora x(y + z) = xy + xz
Dimostrazione. A1. Se x = (a, b) e y = (c, d) abbiamo x + y = (a + c, b + d) che e’ un numero complesso.
A2. x + y = (a + c, b + d) ma (a + c, b + d) = (c + a, d + b) quindi x + y = y + x.
A3. Se z = (e, f) allora x + (y + z) = (a + (c + e) , b + (d + f)) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) = (x + y) + z
A4. x + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) = x
A5 Sia −x = (−a, −b) allora x+ (−x) = 0
M1. Se x = (a, b) e y = (c, d) abbiamo x · y = (ac − bd, ad + bc)
M2 Se x = (a, b) e y = (c, d) abbiamo y · x = (ca − db, da + cb) = (ac − bd, ad + bc) quindi xy = yx.
M3 Se x = (a, b) e y = (c, d) e z = (e, f ) abbiamo
(xy)z
=
=
=
=
(ac − bd, ad + bc) (e, f )
(ace − bde − adf − bcf, acf − bdf + ade + bce)
(a, b) (ce − df, cf + de)
x(yz)
1 Desidero ringraziare il Prof. Amos Uderzo per aver letto attentamente la prima versione di questa Dispensa e per avere
segnalato la presenza di alcune imprecisioni ed errori di battitura.
1
M4 Se x = (a, b) abbiamo x · (1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)
M5 Se x = (a, b) e, per definizione, poniamo
x−1 = (
a2
a
−b
, 2
)
2
+ b a + b2
allora otteniamo
xx−1
a
−b
, 2
)
2
+ b a + b2
−b
−b
a
a
−b 2
,a
+b 2
)
= (a 2
a + b2
a + b2 a2 + b2
a + b2
a2
b2
−ab
ba
= ( 2
+ 2
, 2
+ 2
)
2
2
2
a +b
a +b a +b
a + b2
= (1, 0)
= (a, b) (
a2
Adesso notiamo che
Teorema 4 Se a, b ∈ R allora
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)
e
(a, 0) · (b, 0) = (ab, 0)
Dimostrazione. La dimostrazione e’ ovvia.
Questo semplice risultato permette di interpretare ogni numero reale come un numero complesso, per
questa ragione i numeri complessi devono esser pensati come l’estensione dei numeri reali.
Adesso introduciamo
Definizione 5 i = (0, 1)
Il numero complesso i e’ detto unità immaginaria.
Teorema 6 i2 = −1
Dimostrazione. Infatti
i2
= (0, 1) (0, 1)
= (−1, 0)
= −1
Si osservi che nel campo complesso i quadrati possono, se interpretati come numeri reali, essere numeri
reali negativi. Ovviamente questo e’ impossibile per i numeri reali.
Teorema 7 Se a, b ∈ R allora (a, b) = a + ib
Dimostrazione. Infatti
a + ib = (a, 0) + (b, 0) (0, 1)
= (a, 0) + (0, b)
= (a, b)
Definizione 8 Se z = a + ib allora il numero complesso a − bi è detto coniugato di z e si denota con il
simbolo z, si noti che z = (a − bi) = a + ib = z. Il numero reale a e’ detto parte reale di z e si denota con
Re z, il numero reale b e’ detto parte immaginaria di z e si denota con Im z
2
L’operazione di coniugio gode di molte proprieta’ importanti, per questa ragione dimostriamo il seguente
Teorema 9 Se z, w ∈ C allora
1. z + w = z + w
2. zw = z · w
3. z + z = 2 Re z e z − z = 2i Im z
4. zz e’ reale
Dimostrazione. 1. Se z = a + ib e w = c + id allora
z+w =
=
=
=
a + c + i(b + d)
a + c − i(b + d)
a − ib + c − id
z+w
2. Si noti che
zw =
=
=
=
ac − bd + i(ad + bc)
ac − bd − i(ad + bc)
(a − ib) (c − id)
z·w
3. Se z = a + ib allora
z+z
= a − ib + a + ib
= 2a
= 2 Re z
4. Si ha
zz
= (a − ib) (a + ib)
= aa + bb + i(ab − ab)
= a2 + b2
√
Definizione 10 Se z = a + ib allora il numero reale non negativo |z| = a2 + b2 e’ detto modulo z.
√
Si noti che nel piano Argand-Gauss |z| = a2 + b2 rappresenta la distanza del punto (a, b) dall’origine.
Teorema 11 Se z, w ∈ C allora
1. |z| ≥ 0, se |z| = 0 allora z = 0
2. |z| = |z|
3. |zw| = |z| |w|
4. |Re z| ≤ |z|
5. |z + w| ≤ |z| + |w|
3
√
Dimostrazione. 1. |z| e’, per definizione, a2
+ b2 quindi |z| ≥ 0.
√
2. Se z = a + ib allora z = a − ib quindi |z| = a2 + (−b)2 = a2 + b2 = |z|.
3. Se z = a + ib e w = c + id allora
|zw| = |(ac − bd) + i (ad + bc)|
2
2
=
(ac − bd) + (ad + bc)
2
2
2
2
=
(ac) + (bd) − 2acbd + (ad) + (bc) + 2adbc
(ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2
=
=
(a2 + b2 ) (d2 + c2 )
√
√
4. |z| = a2 + b2 ≥ a2 = |Re z|
5 Si noti che se w = c + id
2
|z + w|
= (a + c)2 + (b + d)2
= a2 + b2 + c2 + d2 + 2(ac + bd)
e
(|z| + |w|)2
poiche’
= |z|2 + |w|2 + 2 |z| |w|
= a2 + b2 + c2 + d2 + 2 a2 + b2 · c2 + d2
ac + bd ≤
e’ vera, infatti
a2 + b2 · c2 + d2
a2 c2 + b2 d2 + 2acbd ≤ a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2
e equivalente a
2acbd ≤ a2 d2 + b2 c2
che e’ sempre vera. Quindi l’asserzione e’ dimostrata.
Nel seguito, quando parleremo di estrazioni di radici e polinomi, useremo spesso il fatto che se n ∈ N
allora si ha, per ogni z ∈ C, che |z n | = |z|n . Infatti basta applicare la proprieta 3. del teorema precedente.
Nel seguito useremo la seguente
Teorema 12 Se z, w ∈ C, allora |z − w| ≥ ||z| − |w||
Dimostrazione. Infatti
|z| = |z − w + w|
≤ |z − w| + |w|
da cui segue |z| − |w| ≤ |z − w| . Ora osserviamo che
|w| = |w − z + z|
≤ |w − z| + |z|
= |z − w| + |z|
da cui segue − |z − w| ≤ |z| − |w| quindi possiamo concludere che la disuguaglianza
|z − w| ≥ ||z| − |w||
e’ vera.
4
Potenze e Radici di Numeri Complessi
Se z = a + ib, utilizzando la nozione di coordinate polari ([1]), si puo’ trovare un θ ∈ [0, 2π) e r > 0 tale che
z = r (cos θ + i sin θ) .
Questa rappresentazione fornisce un modo molto elegante di caratterizzare i prodotti e i quozienti di numeri
complessi infatti
Proposizione 13 Se z = r1 (cos θ 1 + i sin θ1 ) e w = r2 (cos θ2 + i sin θ 2 ) allora
zw = r1 r2 (cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 ))
e se w = 0
z
r1
(cos (θ 1 − θ 2 ) + i sin (θ1 − θ2 ))
=
w
r2
Dimostrazione. Se z = a + ib e w = c + id allora, usando la formula di addizione del coseno e del seno, si
ottiene
zw
=
=
=
=
r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 ) (cos θ2 + i sin θ2 )
r1 r2 ((cos θ1 cos θ 2 − sin θ1 sin θ2 ) + i (cos θ1 sin θ 1 + cos θ 2 sin θ 2 ))
r1 r2 (cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 )) .
Per ottenere la seconda basta osservare che
insieme al fatto che
z
1
=z
w
w
1
1
(cos(−θ 2 ) + i sin(−θ2 ))
=
w
r2
Ora possiamo ottenere un risultato molto interessante. Infatti se usiamo quanto dimostrato per calcolare
le potenze di un numero complesso possiamo scrivere che se
z = r (cos θ + i sin θ)
allora
z n = rn (cos nθ + i sin nθ) ∀n ∈ N.
Questa bella formula si chiama Formula di De Moivre. Utilizzando questa formula possiamo dimostrare il
seguente importante
Teorema 14 Se a = |a| (cos θ + i sin θ) allora, per ogni n, l’equazione
wn = a
ha esattamente n soluzioni distinte e queste sono
θ + 2ℓπ
θ + 2ℓπ
n
wℓ = |a| cos
+ i sin
ℓ = 0, 1, ...n − 1.
n
n
Dimostrazione. Iniziamo osservando che se w = |w| (cos ϕ + i sin ϕ) e wn = a dobbiamo avere che |w|n = |a|
quindi
|w| = n |a|
questo implica che w = n |a| (cos ϕ + i sin ϕ) quindi, utilizzando la formula di De Moivre, otteniamo la
seguente
a = |a| (cos θ + i sin θ)
= wn
n
n
=
|a| (cos ϕ + i sin ϕ)
= |a| (cos nϕ + i sin nϕ)
5
da cui segue che
cos θ + i sin θ = cos nϕ + i sin nϕ
Ovviamente, visto che le funzioni sin e cos sono periodiche, non possiamo concludere che nϕ = θ ma
possiamo affermare che
nϕℓ = θ + 2ℓπ con ℓ ∈ Z.
da cui segue
ϕℓ =
θ + 2ℓπ
con ℓ ∈ Z.
n
Ora osserviamo che se ℓ = 0, 1, ...n − 1 allora gli ϕ = θ+2ℓπ
sono diversi tra di loro, ma se m e’ maggiore di
n
n possimao scrivere che m = tn + ℓ dove ℓ = 0, 1, ...n − 1 allora
θ + 2mπ
θ + 2 (tn + ℓ) π
=
n
n
quindi
θ + 2mπ
θ + 2ℓπ
=
+ 2tπ
n
n
Allora possiamo concludere che ci sono solo n distinti ϕℓ , questo significa che le soluzioni sono tutte e sole
le seguente
θ
θ
w1 = n |a| cos + i sin
,
n
n
θ + 2π
θ + 2π
n
w2 =
|a| cos
+ i sin
n
n
..
θ + 2 (n − 2) π
θ + 2 (n − 2) π
wn−1 = n |a| cos
+ i sin
n
n
θ + 2 (n − 1) π
θ + 2 (n − 1) π
wn = n |a| cos
+ i sin
.
n
n
Osservazione 15 Il lettore avrà notato che le radici hanno tutte lo stesso modulo n |a| e che due radici
successive differiscono di un angolo di ampiezza 2π
n . Queste due osservazioni implicano che le radici di
wn = a
sono i veritici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio
n
|a|.
In particolare otteniamo che le redici dell’unita sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto
in una circonferenza di raggio unitario.
Teorema 16 Per ogni n, l’equazione
wn = 1
ha n soluzioni distinte e queste sono
wℓ = cos
2ℓπ
2ℓπ
+ i sin
ℓ = 0, 1, ...n − 1
n
n
Dimostrazione. Si usi il risultato precedente con a = 1 e θ = 0
Esempio 17 Utilizziamo quanto dimostrato per trovare tutte le radici dell’equazione
√
w5 = 3 + i.
6
√
Per poterla risolverla bisogna prima trovare |a| e θ tale che 3 + i = |a| (cos θ + i sin θ) . Ovviamente |a| =
√ 2
12 + 3 = 2 e dalla geometria elementare segue che θ = 30◦ ovvero, in radianti, θ = π6 quindi possiamo
scrivere
√
π
π
3 + i = 2 cos + i sin
6
6
da cui segue che le cinque radici dell’equazione sono
π
π
1
1
π
π
6
5
cos + i sin 6 = 2 5 cos
w1 = 2
+ i sin
5
5
30
30
π
π
1
1
13π
13π
6 + 2π
6 + 2π
5
5
+ i sin
=2
+ i sin
w2 = 2
cos
cos
5
5
30
30
π
π
1
1
25π
25π
6 + 4π
6 + 4π
5
5
w3 = 2
cos
+ i sin
=2
cos
+ i sin
5
5
30
30
π
π
1
1
37π
37π
6 + 6π
6 + 6π
5
5
+ i sin
=2
+ i sin
w4 = 2
cos
cos
5
5
30
30
π
π
1
1
49π
49π
6 + 8π
6 + 8π
5
5
w5 = 2
cos
cos
+ i sin
=2
+ i sin
5
5
30
30
Concludiamo questa sezione con il seguente
Definizione 18 Se z ∈ C allora si definisce
ez =
∞
zn
n!
n=0
E’ possibile dimostrare che ez e’ sempre un numero complesso bene definito e che la serie non solo
converge ma converge assolutamente, quindi puo’ essere manipolata come una somma finita. In particolare,
si puo cambiare l’ordine degli addendi. Noi non studieremo questo aspetto, ma ci limitiamo a dimostrare
che, utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni cos θ e sin θ otteniamo
Teorema 19 Per ogni θ ∈ R
eiθ = cos θ + i sin θ
Dimostrazione. Si noti che
eiθ
=
=
=
∞
(iθ)n
n=0
∞
n!
∞
(iθ)2k (iθ)2k+1
+
2k!
(2k + 1)!
k=0
k=0
∞
(−1)k θ2k
2k!
k=0
= cos θ + i sin θ
+i
∞
(−1)k θ2k+1
k=0
(2k + 1)!
La seconda uguaglianza e’ una conseguenza della convergenza assoluta. L’ultima uguaglianza e’ una
conseguenza delle formule di Taylor per le funzione seno e coseno.
Nel seguito avremo bisogno del seguente fatto
Corollario 20 Se r ≥ 0, θ ∈ R e n ∈ N allora
iθ n
re
= rn einθ
Dimostrazione. Infatti
iθ n
re
=
rn (cos θ + i sin θ)n
= rn (cos nθ + i sin nθ)
rn einθ
=
7
Nella dimostrazione del Teorema Fondamentale dell’Algebra avremo anche bisogno del seguente
Osservazione 21 Se α ∈ C e’ diverso da zero e k ∈ N e’ arbitrario allora esiste un θ ∈ R tale che
αeikθ = − |α|
Per dimostrare questa affermazione consideriamo l’equazione
zk = −
|α|
.
α
Per quanto dimostrato sappiamo che questa equazione ha k soluzioni
|α| ϕ + 2ℓπ
ϕ + 2ℓπ
+ i sin
wℓ = k − cos
α
k
k
ϕ + 2ℓπ
ϕ + 2ℓπ
=
cos
+ i sin
k
k
con ℓ = 0, 1, ...k − 1 e − |α|
α = cos ϕ + i sin ϕ. Se
θ=
ϕ + 2ℓπ
k
per qualche ℓ allora abbiamo che
eikθ
= cos kθ + i sin kkθ
ϕ + 2ℓπ
ϕ + 2ℓπ
= cos k
+ i sin k
k
k
= cos (ϕ + 2ℓπ) + i sin (ϕ + 2ℓπ)
= cos ϕ + i sin ϕ
|α|
= −
α
e quindi possiamo affermare che θ e’ soluzione del nostro problema (di fatti abbiamo trovato k soluzioni al
nostro problema!).
Il Teorema Fondamentale dell’Algebra
Nella sezione precedente abbiamo dimostrato che nel campo complesso l’equazione wn − a = 0 ha sempre n
radici, quindi sappiamo che esiste un tipo speciale di polinomi che hanno sempre il numero delle radici uguale
al grado dell’ equazione. In questa Sezione presenteremo, in modo simile a quanto fatto in [3], una notevole
generalizzazione. Infatti dimostreremo il Teorema Fondamentale dell’Algebra, ovvero dimostreremo che ogni
polinomio non costante ha almeno una radice nel campo complesso. Il fatto che e’ impossibile trovare le
formule per calcolare le radici di equazioni di grado superiore al quinto2 , risultato dimostrato dal matematico
norvegese Niels Abel, rende questo teorema ancora piu’ importante e significativo.
Il principale risultato che useremo, senza fornirne una dimostrazione, e’ il Teorema di Weierstrass ([3]).
Avvertiamo il lettore che alcune fatti che dimostremo nel seguito potrebbero essere ricavati come semplici
corollari di teoremi e fatti ben noti. Noi preferiamo presentare delle dimostrazioni che sono piu’ lunghe ma
che non richiamano nessun fatto non noto al lettore. Per iniziare richiamiamo il
2 Il lettore conosce sicuramente la formula per risolvere l’equazioni di secondo grado ax2 + bx + c = 0. Questa formula
permette di trovare, a partire dai coefficienti, le radici dell’equazione utilizzando solo somme, prodotti, quozienti ed estrazioni
di radici. Esistono formule di questo tipo, ma piu’ complicate, per l’equazioni di terzo e quarto grado. Il problema di trovare
le formula per ogni grado fu un problema aperto per lungo tempo. La soluzione negativa, ovvero la non esistenza delle formule
per ogni grado, data da Niels Abel motivo’ la creazione della Teoria dei Gruppi, uno dei pilastri dell’Algebra Moderna, per
opera del matematico francese Evariste Galois.
8
Teorema 22 (Weierstrass) Se {an } ⊂ R e’ limitata, cioe’ esiste un M tale
|an | ≤ M
∀n ∈ N,
allora {an } contiene una sottosuccesione convergente.
Nel campo complesso possiamo dare una definizione analoga di convergenza
Definizione 23 Se {zn } ⊂ C e z ∈ C diciamo che {zn } converge a z se
lim |zn − z| = 0
n→∞
A questo punto possiamo dimostrare il seguente
Lemma 24 Se {zn } ⊂ C e’ una successione limitata, cioe’ esiste un M tale |zn | ≤ M ∀n ∈ N, allora {zn }
contiene una sottosuccesione convergente.
Dimostrazione. Si scriva zn = an + ibn dove an , bn ∈ R. Si noti che
|an | ≤ |zn | ≤ M
quindi, per il Teorema di Weierstrass, esiste una sottosuccessione anj nj ∈N1 ⊂ {an } ⊂ R convergente, sia
α = limj→∞ anj . Ora si consideri bnj nj ∈N1 , poiche’
bnj ≤ |zn | ≤ M
esiste una sottosuccessione {bnk }nk ∈N2 ⊂ bnj nj ∈N1 ⊂ R convergente, sia β = limj→∞ bnk . E’ immediato
che se nk ∈ N2
lim ank + ibnk = α + iβ
k→∞
deve valere, quindi la sottosuccessione {znk }nk ∈N2 ⊂ {zn } converge.
Nel seguito dobbiamo lavorare con successioni di numeri complessi e polinomi, quindi e’ conveniente
dimostrare che
ℓ
Lemma 25 Se {zn } ⊂ C e’ una successione che converge a w ∈ C e P (z) = N
ℓ=0 aℓ z allora
lim |P (zn ) − P (w)| = 0.
n→∞
Dimostrazione. Prima d’inizare ricordiamo che se a, b ∈ C allora
m−1
m
m
m−1−ℓ ℓ
a
b
a − b = (a − b)
ℓ=1
∀m ∈ N,
e che esiste un M tale che
|w| ≤ M
|zn | ≤ M
∀n ∈ N,
Quindi osserviamo che
n
n
ℓ
ℓ
aℓ zn −
aℓ w |P (zn ) − P (w)| = ℓ=0
ℓ=0
n
= aℓ znℓ − wℓ ℓ=1
≤
n
ℓ=1
9
|aℓ | znℓ − wℓ ≤
n
ℓ=1
ℓ−1
ℓ−1−k k zn
|aℓ | |zn − w|
w n
≤ |zn − w|
ℓ=1
n
= |zn − w|
ℓ=1
n
ℓ−1
ℓ−1
ℓ−1−k k zn
|aℓ |
w ℓ=1
k=0
n
≤ |zn − w|
k=0
ℓ−1
ℓ−1−k k z
w |aℓ |
n
k=0
|aℓ | ℓM ℓ−1
e’ una quantità limitata allora possiamo affermare che esiste un K tale che
poiche’
ℓ=1 |aℓ | ℓM
|P (zn ) − P (w)| ≤ K |z − w| e questo implica
lim |P (zn ) − P (w)| = 0
n→∞
Ovviamente il teorema precedente non dice altro che i polinomi, come funzioni della variabile complessa,
sono funzioni continue. Adesso siamo nella condizione di enunciare e dimostrare il seguente importante
Teorema 26 (Teorema Fondamentale dell’Algebra) Ogni polinomio non costante P (z) = nℓ=0 aℓ z ℓ
ha uno zero nel campo complesso.
Dimostrazione. Possiamo assumere, senza perdita di generalita’, che an = 1. Se poniamo
ω = inf |P (z)|
z∈C
noi vogliamo dimostrare che ω e’ zero e che esiste uno z0 ∈ C tale che |P (z0 )| = ω. Per prima cosa osserviamo
che se |z| = R allora
n
n
−ℓ
|P (z)| ≥ R 1 −
|an−ℓ | R
ℓ=1
infatti
n
ℓ
aℓ z |P (z)| = ℓ=0
n
≥
aℓ z ℓ − |a0 |
ℓ=1
n
ℓ
≥
aℓ z − |a1 | |z| − |a0 |
ℓ=2
n
ℓ
≥
aℓ z − |a2 | z 2 − |a1 | |z| − |a0 |
ℓ=3
....
≥ |an | |z|n −
poiche’
lim R
|z|→∞
n
1−
n−1
ℓ=0
n
ℓ=1
|aℓ | |z|ℓ
|an−ℓ | R
allora esiste un R0 > 0 tale che |P (z)| > ω + 1 se |z| > R0 .
Ora notiamo che esiste una successione {zm } ⊂ C tale che
|P (zm )| → ω
10
−ℓ
=∞
inoltre, per la definizione di R0 , sappiamo che |zm | ≤ R0 ∀m ∈ N sufficientemente
grande. Quindi, per
quanto dimostrato, possiamo affermare che esiste
una
sottosuccessione
z
di
{z
}
che
converge e, senza
mj
m
zmj ≤ R0 per ogni elemento della sottosuccessione. Se z0 e’
perdita di generalità,
possiamo
assumere
che
il punto dove zmj converge allora abbiamo che |z0 | ≤ R0 . Quindi, grazie al Lemma precedente, possiamo
affermare che
|P (z0 )| = ω
Se, per assurdo, ω = 0 allora P (z0 ) = 0 e quindi possiamo costruire il seguente polinomio
P (z + z0 )
.
P (z0 )
Q(z) =
Poiche’ il grado di Q(z) e’ n e Q(0) = 1 possiamo scrivere che
Q(z) = 1 +
n
bℓ z ℓ
ℓ=k
dove k e’ il più piccolo indice ℓ ≥ 1 tale che bℓ = 0. Poiche’ sappiamo (cfr. Osservazione 21) che esiste un
numero reale θ tale che
bk eikθ = − |bk |
allora, se r > 0 e rk |bk | < 1, otteniamo la seguente uguaglianza
1 + rk bk eikθ = 1 + rk (− |bk |)
= 1 − rk |bk |
quindi
n
Q(reiθ ) = 1 +
bℓ z ℓ ℓ=k
n
k
ℓ
≤ 1 + bk z + bℓ z ℓ=k+1
n
iθ k ℓ
= 1 + bk re
bℓ z +
ℓ=k+1
n
bℓ z ℓ = 1 + bk rk eikθ + ℓ=k+1
= 1 − rk |bk | +
n
ℓ=k+1
|bℓ | |z|ℓ
= 1 − r |bk | − r |bk+1 | − ... − rn−k |bn | .
k
Quando r e’ sufficientemente piccolo la quantita’
|bk | − r |bk+1 | − ... − rn−k |bn |
e’ un numero strettamente positivo quindi possimo affemare che, per r sufficientemente piccolo,
Q(reiθ ) < 1.
Questo e’ assurdo, infatti
P (z + z0 ) inf |Q(z)| = inf z∈C
z∈C
P (z0 ) 1
=
inf |P (z + z0 )|
|P (z0 )| z∈C
1
=
|P (z0 )|
|P (z0 )|
=1
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Una delle conseguenze piu importanti di questo teorema e’ contenuta nel seguente
Corollario 27 Per ogni polinomio non costante P (z) = nℓ=0 aℓ z ℓ esistono ℓ numeri complessi {αj }ℓj=1 tali
che
P (z) = an (z − α1 )n1 (z − α2 )n2 ...(z − αℓ )nℓ
con n = n1 + n2 + ... + nℓ . Ogni αj e’ detta radice di P (z) e nj la sua molteplicità.
Dimostrazione. Per il teorema fondamentale dell’algebra esiste un β tale che P (β) = 0. Ora si noti che
per l’algoritmo euclideo possiamo scrivere
P (z) = (z − β)Q(z) + c
dove il grado di Q(z) e’ n − 1 e c e’ una costante. Poiche’
0 = P (β) = (β − β)Q(β) + c
possiamo concludere che c = 0. Quindi abbiamo
P (z) = (z − β)Q(z)
adesso poniamo α1 = β e applichiamo il Teorema Fondamentale dell’Algebra a Q(z). Procedendo esattamente
come sopra e dopo al piu’ n passaggi (il grado Q(z) e’ minore del grado di P (z)) otteniamo che possiamo
scrivere
P (z) = an (z − α1 )n1 (z − α2 )n2 ...(z − αℓ )nℓ
Osservazione 28 Il teorema afferma, tra le altre cose, che un polinomio P (z) =
possiede esattamente n zeri, contando ciascun zero con la relativa molteplicita’.
n
ℓ=0 aℓ z
ℓ
di grado n ≥ 1
Poiche’ ogni polinomio ha uno zero nel campo complesso si dice che il campo complesso e’ algebricamente
chiuso.
Infine, anticipiamo che in questo corso di Algebra Lineare dimostreremo che ad ogni trasformazione lineare T
e’ possibile associare un polinomio, detto polinomio cartteristico, che permette di stabilire alcune importanti
proprietà della trasformazione lineare.
Bibliografia
[1] Apostol Geometria
[2] Bramante PreCalcolo Progetto Leonardo Bologna
[3] Rudin Principles of Mathematical Analysis
[4] Lang Algebra
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