GLI EVENTI
Un evento è un fatto che può accadere o non accadere.
Se esso avviene con certezza si dice evento certo, mentre se non può mai accadere
si dice evento impossibile.
Gli eventi che possono accadere in modo casuale si dicono aleatori, essi sono i
possibili esiti di un esperimento che non dipende da una legge determinata. Un
singolo esito si dice evento elementare o campione.
LA CONCEZIONE CLASSICA DELLA PROBABILITÀ
La probabilità di un evento E, secondo l'impostazione classica, si calcola facendo il
rapporto fra il numero f dei casi favorevoli e il numero n dei casi possibili, supponendo
tutti i casi ugualmente possibili:
p(E) = f/n
La probabilità assume un valore u compreso tra 0 ed 1.
Se l'evento è impossibile, la probabilità è 0
Se l'evento è certo, la probabilità è 1.
La probabilità del non verificarsi di E, cioè dell'evento contrario E, è p(E) = 1 —p(E).
Esempio: Estraiamo una carta da un mazzo di 40 carte.
L'evento contrario all'evento A = "esce una carta con un valore minore di 7" è
l'evento A = "non esce una carta con un valore minore di 7" o anche A = "esce una
carta con un valore maggiore o uguale a 7":
LA CONCEZIONE STATISTICA DELLA PROBABILITÀ
La probabilità di un evento E, secondo l'impostazione statistica (o frequentistica),
è la sua frequenza relativa, cioè il rapporto fra il numero delle volte m che si è
verificato un fenomeno e il numero delle prove n effettuate nelle stesse condizioni,
quando questo ultimo è elevato
f(E) =m/n.
Alla base di questa impostazione c'è la legge empirica del caso. Essa afferma che la frequenza relativa di un evento E, all'aumentare del numero di prove effettuate, tende
alla probabilità dell'evento.
Esempio: In un poligono di tiro, un atleta su 1600 tiri ha colpito il centro 1525 volte.
Possiamo valutare che la probabilità che l'atleta successivamente centri il bersaglio sia
f =1525/1600 = 0,953.
LA CONCEZIONE SOGGETTIVA DELLA PROBABILITÀ
La probabilità di un evento E, secondo l'impostazione soggettiva, è il
rapporto tra il prezzo P che una persona ritiene equo pagare e la vincita V
che riceverà al verificarsi di E:
P(E) = P/V
Esempio:
Un barista ha creato un nuovo tipo di cocktail e scommette 12 euro contro
8 euro di un suo collega che otterrà un alto gradimento.
La probabilità di successo del prodotto valutata dal barista:
P(E)= 8/12 = 60%.
L'IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ
L'impostazione assiomatica è una formalizzazione matematica che utilizza la logica
formale e la teoria degli insiemi.
Tutti i possibili esiti di un esperimento costituiscono l'insieme U, detto spazio dei
campioni.
Tutti i possibili eventi E sottoinsiemi di U costituiscono lo spazio degli eventi.
L'IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ
L'impostazione assiomatica è una formalizzazione matematica che utilizza la logica
formale e la teoria degli insiemi.
Tutti i possibili esiti di un esperimento costituiscono l'insieme U, detto spazio dei
campioni, e tutti i possibili eventi E sottoinsiemi di U costituiscono lo spazio degli
eventi.
Essendo gli eventi visti come insiemi, possiamo effettuare le usuali operazioni
insiemistiche e definire così l'evento contrario, unione e intersezione.
In questa ottica,
LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO P(E) È UNA FUNZIONE CHE ASSOCIA A OGNI EVENTO E
UN NUMERO REALE CHE SODDISFA I SEGUENTI ASSIOMI:
P(E)≥0
p(U)=1
se E1 E2 = , → p(E1 U E2) = p(E1) + p(E2).
Da questa definizione otteniamo le seguenti proprietà:
P( ) = 0;
0 ≤ p(E) ≤ 1
p(𝐸) = 1 -p(E)
se E1 E2=
p(E2 – E1) = p(E2) – p(E1);
se E1 E2 ≠ e E1 E2
P(E2 - E1) = p(E2)-P(El E2).
PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI
La somma logica di due eventi E1 U E2 è l'evento che si verifica quando si verifica almeno
uno dei due eventi.
I due eventi sono incompatibili se E1
sono compatibili se E1 ∩ E2 ≠
E2 =
(il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro)
(il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro)
La probabilità dell'evento unione si determina con la seguente relazione:
p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2) — p(E1 ∩ E2).
Se gli eventi sono incompatibili: => p(E1 ∩ E2)= 0 e quindi p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2)
La formula precedente si generalizza anche a più eventi. In particolare, se gli eventi sono tutti incompatibili si ha la seguente formula, nota come teorema della probabilità totale:
𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ 𝐸3 ∪……𝐸𝑛 ) = p(E1)+p(E2)+ ...+p(En).
Esempio:
Un'urna contiene 4 palline rosse numerate da 1 a 4 e 6 palline nere
numerate da 1 a 6. Si estraggono successivamente due palline, senza
rimettere la pallina estratta nell'urna. Calcoliamo la probabilità:
che le palline estratte siano di colore uguale;
che le palline estratte siano rosse o rechino un numero pari
che almeno una pallina estratta sia rossa.
a) Si tratta di eventi incompatibili: le palline possono essere entrambe rosse o entrambe nere
𝐷4,2
𝐷6,2
12 30
𝑝=
+
=
+
𝐷10,2 𝐷10,2 90 90
b) Gli eventi «due palline rosse» e «due numeri pari sono compatibili in quanto fra i 5
numeri pari 2 sono rossi [(2,4) e (4,2)]
𝑝=
𝐷4,2
𝐷5,2
𝐷2,2
12 20 2
+
−
=
+
−
𝐷10,2 𝐷10,2 𝐷10,2 90 90 90
c) L’evento è verificato quando le palline che escono sono una rossa e una nera ( o due rosse:
4∙6
𝐷4,2
48 12
𝑝=
∙2+
=
+
𝐷10,2
𝐷10,2 90 90
N.B.: Lo stesso risultato può
essere ottenuto anche utilizzando
le probabilità dell’evento
contrario. Nessuna pallina nera
𝑝 = 1−
𝐷6,2
30
=1−
𝐷10,2
90
LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA
La probabilità condizionata di un evento E1 rispetto a un evento E2, non
impossibile, è la probabilità di verificarsi di E1 nell'ipotesi che si sia già verificato
E2 e si indica con p (E1|E2)
Esempio:
Calcolare la probabilità di estrarre un 2 e un 3 da un insieme di 10 numeri: qual è
la probabilità di estrarre un 3 se è già stato estratto il 2?
Risposta:
Dipende: una volta estratto il 2 esso viene rimesso o no nell’urna?
Il 2 viene immesso nell’urna. In questo caso il verificarsi del primo evento non le
probabilità del verificarsi dell’evento.
Se P(E1|E2) = p(E1) gli eventi si dicono stocasticamente indipendenti
Il 2 non vene immesso nell’urna
In questo caso il suo verificarsi o meno condiziona le probabilità che si verifichi l’evento E
richiesto (nell’urna c’è una pallina in meno)
In questo caso gli eventi si dicono stocasticamente dipendenti;
in particolare se P(E1|E2)>P(E1) sono correlati positivamente, altrimenti sono correlati
negativamente.
LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI
Il prodotto logico di due eventi P(E1 E2), o evento composto, è l'evento che si
verifica quando si verificano entrambi gli eventi.
Il teorema della probabilità composta dice che:
se E2 ed E1sono eventi dipendenti P(E1
se E1 ed E2 sono eventi indipendenti p(E1
E2) = P(E1)×P(E2|E1) = P(E2)×P(E1|E2)
E2) = p(E1) × (E2),
Esempio:
Si estraggono successivamente due carte da un mazzo da 40. La probabilità che
escano due assi nel caso di:
non reimmissione della prima carta è: (4 /40)×( 3/39)
In caso di reimmissione della prima carta è: (4 /40)×( 4/40)
Per il calcolo della probabilità condizionata vale
quindi la seguente formula:
P(E1 | E2) = P(E1
E2)/ P(E2) = r/k
Dove:
r = P(E1 E2)è il numero di casi favorevoli al verificarsi di E1 sapendo che E2 si
è verificato cioè il numero di casi in cui si verifica l’evento (E1 E2)
k è il numero di casi favorevoli al verificarsi di E2
Il PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE.
Lo schema delle prove ripetute o di Bernoulli considera successivi n esperimenti
indipendenti di un evento E avente probabilità costante p di verificarsi ogni volta.
L'evento si deve verificare k volte e non si deve verificare le (n - k) volte rimanenti
ognuna con probabilità q= 1 — p.
Il valore della probabilità di ottenere k successi su n prove è:
𝑝(𝑘,𝑛) =
𝑛 𝑘 𝑛−𝑘
𝑝 𝑞
𝑘
Un'urna contiene 4 palline nere, 2 rosse e 9 verdi. La probabilità che effettuando
7 estrazioni nelle stesse condizioni la pallina nera si presenti 5 volte è:
𝑝(5,7) =
7 5 7−5
𝑝 𝑞
5
Il PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE.
Consideriamo il seguente problema
Un'urna contiene 4 palline nere, 2 rosse e 9 verdi. Calcolare la probabilità che
effettuando 7 estrazioni nelle stesse condizioni la pallina nera si presenti 5 volte
In questo caso:
Ci sono 7 prove indipendenti del verificarsi di un evento E.
L’evento E ha probabilità costante p=4/15 di verificarsi ogni volta.
L'evento si deve verificare 5 volte e non si deve verificare le 2=(7 -5) volte
La probabilità che E non si verifiche è q= 1 — p = 1-(4/15)
Il teorema di Bayes
Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità che essendosi verificato un evento E
esso sia stato causato (o preceduto) dall’evento Ei (causa dell’evento)
La probabilità che l'evento Ei sia stato la premessa al verificarsi dell'evento E è:
𝑝(𝐸𝑖 /E)=
𝑝(𝐸𝑖 )×𝑝(𝐸/𝐸𝑖 )
𝑝(𝐸)
La dove p(E)= P(E1)×P(E/E1) + P(E2)×P(E/E2)+ P(E2)×P(E/E2) …+ P(En)×P(E/En)
Dove E1, E2,….,En sono tutte le possibili cause dell’evento E
Esempio 2
In un bar ci sono due macchinette mangiasoldi A e B.
Effettuando una singola giocata su A si vince con probabilità 1/2, mentre giocando su B si
vince con probabilità 1/4.
Supponiamo di non sapere quale sia la macchinetta A e quale la B;
se ne scegliamo una a caso, giochiamo una sola volta, e vinciamo, che probabilità c'è che
la macchinetta scelta sia stata A?
Esempio.
In un paese scandinavo:
Il 70% delle ragazze ha i capelli Biondi, il 20% li ha Rossi, il 10% Mori.
Risulta poi che ha gli occhi Scuri il 10% delle Bionde, il 25% delle Rosse, il 50% delle More.
Se so che la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite Internet ha gli occhi Scuri, che probabilità c'è che sia Bionda?
Esercizio per casa.
ESERCIZIO:
Se quattro arcieri A, B, C, D scoccano la loro freccia
contemporaneamente e hanno probabilità, rispettivamente, 1/2, 1/3,
1/4 e 1/5 di colpire il bersaglio
•
•
Che probabilità c'è che dopo il tiro simultaneo risulti conficcata nel
bersaglio esattamente 1 freccia?
Se dopo il tiro simultaneo risulta conficcata nel bersaglio 1 e 1 sola
freccia, che probabilità c'è che si tratti di quella dell'arciere A?
Per casa:
In un paese asiatico, la probabilità che una radiolina della marca A sia difettosa è bassa: 0,1%.
La marca B, unica concorrente di A in quella nazione, fa ancora meglio: probabilità dello 0,05%.
Sul mercato, tuttavia, la marca A risulta prevalere, col 60% degli acquisti, perché la linea dei suoi
prodotti è più carina.
Che probabilità ha una radiolina perfettamente funzionante presa a caso, di essere della marca A?
[R: 60% circa]
Distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano
successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo,
sapendo che
mediamente se ne verifica un numero.
Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il numero di chiamate
ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come una mattinata lavorativa.
La distribuzione di Poisson con media l è
dove
l è il numero medio di eventi per intervallo di tempo
n è il numero di eventi per intervallo di tempo (lo stesso col quale si
misura l) di cui si vuole la probabilità.
Esempio.
5𝑘 𝑒 −5
𝑃5 𝑋 = 𝑘 =
𝑘!
Quindi, volendo calcolare la probabilità che non arrivi nessuna
telefonata deve essere k = 0
50 𝑒 −5
𝑃5 𝑋 = 0 =
= 𝑒 −5
0!
𝑃5 𝑋 > 10 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 10 = 1 − (0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 + 0.1755 −0.1755 +
+ 0.1462 + 0.1044 −i− 0.0653 + 0.0363 + 0.0181) = 0.0137.
