Lezione 8 Dinamica del corpo rigido Argomenti della lezione: ! Corpo rigido ! Centro di massa del corpo rigido ! Punto di applicazione della forza peso ! Punto di applicazione della forza peso ! Momento della forza peso ! Energia potenziale ! Rotazione nel piano ! Momento di interzia ! Energia cinetica di rotazione ! Teorema di Huyghens-Steiner Corpo rigido Definizione Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di punti materiali in cui le distanze relative NON cambiano Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso. Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra i punti) hanno le seguenti caratteristiche: NON hanno risultante NON fanno momento NON fanno lavoro R (I ) (I ) =0 M =0 (I ) W =0 Corpo rigido Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche Le forze esterne sono responsabili del moto del Centro di Massa I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad O (punto fisso o centro di massa del sistema) Il lavoro delle forze esterne varia l’energia cinetica del sistema R MO W (e) (e) (e) = ma CM dLO d = = ∑ (ri × mi v i ) dt i dt (A → B) = Ecin,B − Ecin, A Corpo rigido Come è fatto un corpo rigido?? Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali. Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia mi ⇒ dm Quindi tutte le somme diventano degli integrali! Centro di massa di un corpo rigido Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza: ∑ mi ri rCM = i y ∑ mi rCM i dm ≡ mi r ≡ ri O x Se definiamo la densità come: ∫ rρ dV rCM = Volume rCM rdm ∫ = ∫ dm con dV elemento di volume dm = ρ dV occupato da dm ∫ rdV ∫ rdV Volume = Volume = ∫ ρ dV ∫ dV VolumeTotale Volume Volume Centro di massa di un corpo rigido Punto di applicazione della forza peso Centro di massa Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso: dm gdm → La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è: ∫ gdm = g dm = mg ∫ E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema. Momento della forza peso Centro di massa Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio l’origine dell’asse delle coordinate) è dato da: M = r × gdm = ∫ ma: rCM rdm ∫ = dm ∫ ( ∫ ) (∫ rdm)× g ⇒ ∫ rdm = r ∫ dm CM M = rCM dm × g = mrCM × g = rCM × mg Energia potenziale Centro di massa Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo dell’energia potenziale: E p = gzdm = g zdm ∫ ma: zCM zdm ∫ = dm ∫ ∫ ⇒ ∫ zdm = z ∫ dm CM E p = gzdm = g zdm = gzCM dm = mgzCM ∫ ∫ ∫ Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz. Moti del corpo rigido Moto rotatorio Variabili rotazionali Variabili rotazionali Relazione tra variabili lineari e angolari Rotazione nel piano v Consideriamo un corpo di due dimensioni, che possa ruotare intorno ad un asse fisso uz dm r Le equazioni del moto del sistema sono O CM R ( e ) = ma CM ϑ MO Asse di riferimento LO = (e) dL O = dt ∑ (r × m v ) → ∫ (r × v )dm i i i i Poichè r⊥v L O = rvdmu z ∫ Rotazione nel piano v r uz dm O Notiamo che il momento angolare e il momento della risultante delle forze esterne sono perpendicolari al piano e paralleli al versore uz Inoltre si ha che: CM dθ v=r dt ϑ Asse di riferimento E quindi dθ dθ L O = rvdm = rr dm = dt dt ∫ La quantità ∫ I O = r 2 dm ∫ 2 ∫ r dm prende il nome di momento di inerzia Momento di inerzia Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di momento di inerzia 2 I O = r dm Nel caso continuo ri 2 mi Nel caso discreto ∫ IO = ∑ i Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno all’asse di rotazione Momento di inerzia Equazioni del moto del corpo rigido R Per la traslazione Per la rotazione MO (e) (e) = ma CM dL O = dt dθ ⎧ 2 L = r dmu z ⎪ O dt ⎨ ⎪I O = r 2 dm ⎩ ∫ ∫ MO (e) dL O d 2θ = = 2 I Ou z dt dt Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso v r Sia m la massa totale del corpo rappresentato in figura uz dm Dal teorema di Konig si ha che Ecin = O CM ϑ Asse di riferimento Con v 'i 1 M tot v CM 2 + 2 ∑ i 1 mi v'i 2 2 velocità relative rispetto al CM Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso v r uz Dall’analisi del moto di rotazione intorno ad O di tutte le masse infinitesime dm O CM ϑ Asse di riferimento Ma Ecin = dθ v=r dt e in definitiva ∑ i 1 mi v 'i 2 = 2 2 Ecin 1 1 ⎛ dθ ⎞ 2 ⎛ dθ ⎞ = dm r ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ∫ I O = r 2 dm ∫ Ecin ∫ 1 dmv ' 2 2 1 ⎛ dθ ⎞ = I O ⎜ ⎟ 2 ⎝ dt ⎠ 2 2 ∫ r 2 dm Teorema di Huyghens-Steiner Prendiamo un corpo piano qualsiasi che ruota intorno al punto O rCM O CM r Calcoliamo ora il momento d’inerzia rispetto al punto O r' 2 I O = r dm = IO = ∫ (r CM 2 ∫ 2 ) ∫ (r CM 2 + r') dm + r'2 +2rCM r' dm = = rCM dm + r'2 dm + 2rCM r' dm ∫ Ossia ∫ ∫ 2 2 2 I O = mrCM + r' dm = mrCM + I CM ∫ Slittamento ! Immaginiamo un corpo cilindrico o sferico in moto rispetto alla superficie di appoggio C ! Se le velocità di tutti i punti sono uguali e sono parallele al piano tangente localmente alla superficie, abbiamo un moto di traslazione e il corpo slitta sulla superficie 24 Rotolamento ! In generale un corpo può anche rotolare sulla superficie ! Se il punto di contatto C tra corpo e superficie è fermo, istante per istante, si ha rotolamento puro ! Altrimenti avremo contemporaneamente slittamento e rotolamento 25 Rotolamento puro ! Tra superficie e corpo esiste una forza di attrito che mantiene fermo il punto di contatto C, istante per istante ! Questa è la forza di attrito statico ! La velocità del punto C (o di qualsiasi altro punto) a distanza r dal CM è * vC = vCM + vC = vCM + ω × r 26 Rotolamento puro ! La condizione di puro rotolamento è ovvero vCM = −ω × r vC = 0 ! In modulo la velocità del CM è vCM = ωr ! E l’accelerazione aCM = αr € € ! Cioè nel moto di puro € rotolamento esiste una relazione precisa tra velocità del CM € e velocità angolare 27 Rotolamento puro Attrito volvente ! Si attribuisce questo fenomeno ad una nuova forma di attrito, detto volvente, che è attivo tra il corpo e la superficie di appoggio ! È attibuito alla deformazione locale N del corpo e della superficie ! Per una ruota in moto, la retta h d’azione della componente normale N della reazione vincolare alla superficie d’appoggio non contiene il centro della ruota 29 Attrito volvente • L’effetto e` schematizzato con l’azione di un momento che si oppone al moto τ v = hN (h è il braccio di N ed e` detto coefficiente di attrito volvente) • L’effetto dell’attrito volvente è sempre molto minore di quello dell’attrito radente e statico, per cui è generalmente trascurabile • Da qui deriva il grande vantaggio che si ottiene, in molti casi, di dotare i veicoli di ruote piuttosto che di pattini 30 Rotolamento puro sfera ω F fa C Considerando tutte le equazioni Per la traslazione Per la rotazione F − fa = maCM N − mg = 0 M = r × f a = Iα ⇒ f a r = Iα I ⎞ ⎛ F = ⎜ m + 2 ⎟aCM R ⎠ ⎝ ⎧ F − f a = maCM F F ⎪ ⇒ a = = ⎨ I CM I ⎞ I ⎞ ⎛ ⎛ f = a a ⎪ 2 CM ⎜ m + 2 ⎟ m⎜1 + R ⎩ 2 ⎟ R ⎠ ⎝ ⎝ mR ⎠ I I F F f a = 2 aCM = 2 = I ⎞ ⎛ R 2 R R ⎛ ⎞ m⎜1 + ⎟ ⎜ m + 1⎟⎟ 2 ⎜ ⎝ mR ⎠ ⎝ I Per il rotolamento puro occorre che ⎠ f a ≤ µ s mg Rotolamento puro sfera M Pendolo composto Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa. Il momento della forza peso è O h ϑ CM mg M = r × mg = −hmg senθ Il segno negativo è dovuto al fatto che si ha una forza di richiamo Pendolo composto O h ϑ Studiamone il moto CM M = r × mg = −hmg senθ dL z d 2θ = I zα = I z 2 dt dt mg dL z d 2θ = I zα = I z 2 = −hmg senθ dt dt d 2θ E per piccole oscillazioni mgh + sen θ = 0 2 Iz dt d 2θ mgh + θ =0 2 Iz dt Pendolo composto O h ϑ d 2θ mgh + θ =0 2 Iz dt CM mg che ha soluzione θ (t ) = θ 0 sen(Ωt + Φ ) T = 2π Iz l= mh Ω = 2π Iz con mgh = 2π Ω = mgh l g lunghezza ridotta del pendolo Iz Pendolo composto O h ϑ Se poniamo IC h' = ⇒ I C = mhh' mh CM h' mg O ' I C + mh 2 I C Iz l= = = + h = h'+h > h mh mh mh Se facciamo oscillare attorno ad O’ I C + mh'2 I C I' mhh' l' = = = + h' = + h' = h + h' = l mh' mh' mh' mh' Cioè l' = l Il periodo di oscillazione intorno ai due assi è lo stesso