Lezione 8 Dinamica del corpo rigido

Lezione 8
Dinamica del corpo rigido
Argomenti della lezione:
!  
Corpo rigido
!  
Centro di massa del corpo rigido
!  
Punto di applicazione della forza peso
!  
Punto di applicazione della forza peso
!  
Momento della forza peso
!  
Energia potenziale
!  
Rotazione nel piano
!  
Momento di interzia
!  
Energia cinetica di rotazione
!  
Teorema di Huyghens-Steiner
Corpo rigido
Definizione
Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di
punti materiali in cui le distanze relative NON
cambiano
Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso.
Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra
i punti) hanno le seguenti caratteristiche:
NON hanno risultante
NON fanno momento
NON fanno lavoro
R
(I )
(I )
=0
M =0
(I )
W =0
Corpo rigido
Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche
Le forze esterne sono
responsabili del moto
del Centro di Massa
I momenti delle forze
esterne sono
responsabili delle
rotazioni intorno ad O
(punto fisso o centro
di massa del sistema)
Il lavoro delle forze
esterne varia
l’energia cinetica del
sistema
R
MO
W
(e)
(e)
(e)
= ma CM
dLO
d
=
= ∑ (ri × mi v i )
dt
i dt
(A → B) = Ecin,B − Ecin, A
Corpo rigido
Come è fatto un corpo rigido??
Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali.
Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di
punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia
mi ⇒
dm
Quindi tutte le somme diventano degli integrali!
Centro di massa di un corpo rigido
Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la
seguente grandezza:
∑ mi ri
rCM = i
y
∑ mi
rCM
i
dm ≡ mi
r ≡ ri
O
x
Se definiamo la densità come:
∫ rρ dV
rCM = Volume
rCM
rdm
∫
=
∫ dm
con dV elemento di volume
dm = ρ dV occupato
da dm
∫ rdV
∫ rdV
Volume
= Volume =
∫ ρ dV
∫ dV VolumeTotale
Volume
Volume
Centro di massa di un corpo rigido
Punto di applicazione della forza peso
Centro di massa
Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso:
dm
gdm
→
La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è:
∫
gdm = g dm = mg
∫
E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema.
Momento della forza peso
Centro di massa
Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio
l’origine dell’asse delle coordinate) è dato da:
M = r × gdm =
∫
ma:
rCM
rdm
∫
=
dm
∫
( ∫ )
(∫ rdm)× g
⇒
∫ rdm = r ∫ dm
CM
M = rCM dm × g = mrCM × g = rCM × mg
Energia potenziale
Centro di massa
Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo
dell’energia potenziale:
E p = gzdm = g zdm
∫
ma:
zCM
zdm
∫
=
dm
∫
∫
⇒
∫ zdm = z ∫ dm
CM
E p = gzdm = g zdm = gzCM dm = mgzCM
∫
∫
∫
Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è
verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz.
Moti del corpo rigido
Moto rotatorio
Variabili rotazionali
Variabili rotazionali
Relazione tra variabili lineari e angolari
Rotazione nel piano
v
Consideriamo un corpo di due
dimensioni, che possa ruotare intorno ad
un asse fisso
uz
dm
r
Le equazioni del moto del sistema sono
O
CM
R ( e ) = ma CM
ϑ
MO
Asse di riferimento
LO =
(e)
dL O
=
dt
∑ (r × m v ) → ∫ (r × v )dm
i
i i
i
Poichè
r⊥v
L O = rvdmu z
∫
Rotazione nel piano
v
r
uz
dm
O
Notiamo che il momento angolare e il
momento della risultante delle forze
esterne sono perpendicolari al piano e
paralleli al versore uz
Inoltre si ha che:
CM
dθ
v=r
dt
ϑ
Asse di riferimento
E quindi
dθ
dθ
L O = rvdm = rr
dm =
dt
dt
∫
La quantità
∫
I O = r 2 dm
∫
2
∫ r dm
prende il nome di momento
di inerzia
Momento di inerzia
Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di
momento di inerzia
2
I O = r dm
Nel caso continuo
ri 2 mi
Nel caso discreto
∫
IO =
∑
i
Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno
all’asse di rotazione
Momento di inerzia
Equazioni del moto del corpo rigido
R
Per la traslazione
Per la rotazione
MO
(e)
(e)
= ma CM
dL O
=
dt
dθ
⎧
2
L
=
r
dmu z
⎪ O dt
⎨
⎪I O = r 2 dm
⎩
∫
∫
MO
(e)
dL O d 2θ
=
= 2 I Ou z
dt
dt
Calcolo dell’energia cinetica per la
rotazione intorno ad un asse fisso
v
r
Sia m la massa totale del corpo
rappresentato in figura
uz
dm
Dal teorema di Konig si ha che
Ecin =
O
CM
ϑ
Asse di riferimento
Con
v 'i
1
M tot v CM 2 +
2
∑
i
1
mi v'i 2
2
velocità relative rispetto al CM
Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione
intorno ad un asse fisso
v
r
uz
Dall’analisi del moto di
rotazione intorno ad O di tutte
le masse infinitesime
dm
O
CM
ϑ
Asse di riferimento
Ma
Ecin =
dθ
v=r
dt
e in definitiva
∑
i
1
mi v 'i 2 =
2
2
Ecin
1
1 ⎛ dθ ⎞
2 ⎛ dθ ⎞
=
dm r ⎜
⎟ = ⎜
⎟
2
2 ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
∫
I O = r 2 dm
∫
Ecin
∫
1
dmv ' 2
2
1 ⎛ dθ ⎞
= I O ⎜
⎟
2 ⎝ dt ⎠
2
2
∫
r 2 dm
Teorema di Huyghens-Steiner
Prendiamo un corpo piano qualsiasi
che ruota intorno al punto O
rCM
O
CM
r
Calcoliamo ora il momento d’inerzia
rispetto al punto O
r'
2
I O = r dm =
IO =
∫ (r
CM
2
∫
2
)
∫ (r
CM
2
+ r') dm
+ r'2 +2rCM r' dm =
= rCM dm + r'2 dm + 2rCM r' dm
∫
Ossia
∫
∫
2
2
2
I O = mrCM + r' dm = mrCM + I CM
∫
Slittamento
!   Immaginiamo un corpo cilindrico o sferico
in moto rispetto alla superficie di appoggio
C
!   Se le velocità di tutti i punti sono uguali e
sono parallele al piano tangente
localmente alla superficie, abbiamo un
moto di traslazione e il corpo slitta sulla
superficie
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Rotolamento
!   In generale un corpo può anche rotolare sulla
superficie
!   Se il punto di contatto C tra corpo e superficie è
fermo, istante per istante, si ha rotolamento puro
!   Altrimenti avremo contemporaneamente
slittamento e rotolamento
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Rotolamento puro
!   Tra superficie e corpo esiste una forza di attrito
che mantiene fermo il punto di contatto C, istante
per istante
!   Questa è la forza di attrito statico
!   La velocità del punto C (o di qualsiasi altro
punto) a distanza r dal CM è


* 
 
vC = vCM + vC = vCM + ω × r
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Rotolamento puro
!   La condizione di puro rotolamento è
ovvero

 
vCM = −ω × r

vC = 0
!   In modulo la velocità del CM è vCM = ωr
!   E l’accelerazione
aCM = αr
€
€
!   Cioè nel moto di puro €
rotolamento esiste
una relazione precisa tra velocità del CM
€
e velocità angolare
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Rotolamento puro
Attrito volvente
!   Si attribuisce questo fenomeno ad
una nuova forma di attrito, detto
volvente, che è attivo tra il corpo e
la superficie di appoggio
!   È attibuito alla deformazione locale
N
del corpo e della superficie
!   Per una ruota in moto, la retta
h
d’azione della componente
normale N della reazione vincolare
alla superficie d’appoggio non
contiene il centro della ruota
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Attrito volvente
•  L’effetto e` schematizzato con l’azione di un
momento che si oppone al moto τ v = hN (h è il
braccio di N ed e` detto coefficiente di attrito
volvente)
•  L’effetto dell’attrito volvente è sempre molto
minore di quello dell’attrito radente e statico, per
cui è generalmente trascurabile
•  Da qui deriva il grande vantaggio che si ottiene, in
molti casi, di dotare i veicoli di ruote piuttosto che di
pattini
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Rotolamento puro sfera
ω
F
fa
C
Considerando tutte le equazioni
Per la
traslazione
Per la
rotazione
 F − fa = maCM

 N − mg = 0
M = r × f a = Iα ⇒
f a r = Iα
I ⎞
⎛
F = ⎜ m + 2 ⎟aCM
R ⎠
⎝
⎧ F − f a = maCM
F
F
⎪
⇒
a
=
=
⎨
I
CM
I ⎞
I ⎞
⎛
⎛
f
=
a
a
⎪
2 CM
⎜ m + 2 ⎟ m⎜1 +
R
⎩
2 ⎟
R ⎠
⎝
⎝ mR ⎠
I
I
F
F
f a = 2 aCM = 2
=
I ⎞ ⎛ R 2
R
R
⎛
⎞
m⎜1 +
⎟
⎜
m + 1⎟⎟
2
⎜
⎝ mR ⎠ ⎝ I
Per il rotolamento puro occorre che
⎠
f a ≤ µ s mg
Rotolamento puro sfera
M
Pendolo composto
Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido
che possa oscillare per azione del suo peso in un piano
verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il
suo centro di massa.
Il momento della forza peso è
O
h
ϑ
CM
mg
M = r × mg = −hmg senθ
Il segno negativo è dovuto al
fatto che si ha una forza di
richiamo
Pendolo composto
O
h
ϑ
Studiamone il moto
CM
M = r × mg = −hmg senθ
dL z
d 2θ
= I zα = I z 2
dt
dt
mg
dL z
d 2θ
= I zα = I z 2 = −hmg senθ
dt
dt
d 2θ
E per piccole oscillazioni
mgh
+
sen θ = 0
2
Iz
dt
d 2θ mgh
+
θ =0
2
Iz
dt
Pendolo composto
O
h
ϑ
d 2θ
mgh
+
θ =0
2
Iz
dt
CM
mg
che ha soluzione
θ (t ) = θ 0 sen(Ωt + Φ )
T = 2π
Iz
l=
mh
Ω
= 2π
Iz
con
mgh
= 2π
Ω = mgh
l
g
lunghezza ridotta del pendolo
Iz
Pendolo composto
O
h
ϑ
Se poniamo
IC
h' =
⇒ I C = mhh'
mh
CM
h'
mg O '
I C + mh 2 I C
Iz
l=
=
=
+ h = h'+h > h
mh
mh
mh
Se facciamo oscillare attorno ad O’
I C + mh'2 I C
I'
mhh'
l' =
=
=
+ h' =
+ h' = h + h' = l
mh'
mh'
mh'
mh'
Cioè
l' = l
Il periodo di oscillazione
intorno ai due assi è lo stesso