Matematica per le scienze sociali
Equazioni e disequazioni
Francesco Lagona
University of Roma Tre
F. Lagona
([email protected])
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Outline
1
Equazioni algebriche
2
Equazioni di primo grado
3
Equazioni di secondo grado
4
Disequazioni
5
Sistemi
6
Sistemi di disequazioni
Equazioni algebriche
Equazioni, soluzioni e identità
Un’identità è un’uguaglianza sempre verificata tra due espressioni
algebriche. Ad esempio
(x + y )2 = x 2 + 2xy + y 2
è vera qualunque sia il valore assunto dalle incognite x e y
Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche
verificata solo sotto determinate condizioni. Ad esempio:
x + 2x = 3
è vera solo quando x = 1.
La soluzione di un’equazione è il valore che l’incognita deve assumere
per trasformare l’uguaglianza in identità.
Risolvere un’equazione significa trovare l’insieme di tutte le soluzioni
dell’equazione.
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di
soluzioni.
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Equazioni algebriche
Principi di equivalenza
aggiungendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero
si ottiene un’equazione equivalente; si hanno di conseguenza
la regola del trasporto
la regola della cancellazione
moltiplicando ambo i membri per un numero diverso da zero si
ottiene un’equazione equivalente; si hanno di conseguenza
regola della divisione per un fattore comune diverso da zero
regola del cambiamento di segno
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Equazioni algebriche
Grado
Un’equazione si dice polinomiale se è riconducibile a un polinomio
uguagliato a zero
Il grado del polinomio è detto grado dell’equazione.
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Equazioni di primo grado
equazioni di primo grado
Un’equazione di primo grado si può sempre ricondurre alla forma
normale
ax + b = 0
la sua soluzione dipende dai valori dei coefficienti (o parametri) a e b
se a = 0 e b 6= 0 l’equazione non ha soluzione e si dice impossibile
se a = b = 0 l’equazione è soddisfatta per qualsiasi valore
dell’incognita x e si dice indeterminata
se a 6= 0 l’equazione si dice determinata ed ha come unica soluzione
x =−
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b
a
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Equazioni di primo grado
equazioni frazionarie
alcune equazioni di primo grado richiedono un po’ di attenzione
esempio:
x2
2
3
1
+
=
−9 x −3
x +3
x 6= ±3
1 + 2(x + 3) − 3(x − 3) = 0
−x + 16 = 0
x = 16
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Equazioni di secondo grado
equazioni di secondo grado
Un’equazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla forma
normale
ax 2 + bx + c = 0
ammette al più due soluzioni, che dipendono dai valori dei coefficienti
(o parametri) a, b e c
√
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
la soluzione si ottiene considerando l’equazione equivalente
4a(ax 2 + bx + c) − b 2 + b 2 = 0 ⇔ 4a2 x 2 + 4abx + 4ac − b 2 + b 2
⇔ (2ax + b)2 = b 2 − 4ac
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Equazioni di secondo grado
scomposizione del trinomio di secondo grado
Siano x1 e x2 le soluzioni reali dell’equazione
ax 2 + bx + c = 0
allora vale le seguente scomposizione
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
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Disequazioni
disequazioni
Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche
verificata solo sotto determinate condizioni. Ad esempio:
x −3≥0
è verificata solo quando x ≥ 3
la soluzione di una disequazione è un insieme (semiretta, intervallo,
insieme di intervalli, etc.) di numeri reali che, se sostituiti
all’incognita, trasformano una disequazione in una diseguaglianza
si dicono equivalenti le disequazioni che ammettono la stessa soluzione
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Disequazioni
principi di equivalenza
aggiungendo a entrambi i membri di una disequazione uno stesso
numero si ottiene una disequazione equivalente
moltiplicando ambo i membri per un numero positivo si ottiene una
disequazione equivalente
moltiplicando ambo i membri per un numero negativo e cambiando il
verso della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente
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Disequazioni
disequazioni di primo grado
una disequazione di primo grado è sempre riconducibile alla forma
ax + b ≥ 0
ed ha come soluzione
(
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x ≥ − ba
x ≤ − ba
a>0
a<0
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Disequazioni
disequazioni di secondo grado
una disequazione di secondo grado è sempre riconducibile ad una delle
due forme
(
ax 2 + bx + c ≥ 0 a > 0
ax 2 + bx + c ≤ 0 a > 0
il trinomio ax 2 + bx + c si può scomporre
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
dove x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione
ax 2 + bx + c = 0
quindi la ricerca delle soluzioni della disequazione si riduce allo studio
del segno assunto dal polinomio (x − x1 )(x − x2 ) al variare di x
esempio:
x 2 + 6x + 5 ≥ 0
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Sistemi
sistemi di primo grado
un sistema di primo grado è sempre riconducibile alla forma normale
(
ax + by =
αx + βy =
c
γ
la sua soluzione è una coppia (x0 , y0 ) che trasforma le due equazioni
in identità
i sistemi vengono spesso classificati come
possibili (se ammettono un’unica soluzione)
impossibili (se non ammettono soluzioni)
indeterminati (se ammettono infinite soluzioni)
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Sistemi
sistema possibile
(
y − 3x = 1
y +x =
0
(
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x0 = − 41
y0 = 41
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Sistemi
sistema impossibile e indeterminato
sistema impossibile
(
y − 3x = 1
y − 3x = 0
sistema indeterminato
(
y − 3x = 2
2y − 6x = 4
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Sistemi
sistemi di secondo grado: esempio
il sistema di secondo grado
(
x2 + y2 = 5
x −y =
1
la sua soluzione è data da due coppie (x0 , y0 ) e (x1 , y1 ) che
trasformano le due equazioni in identità
si risolve di norma con il metodo di sostituzione
(
x0 = −1
y0 = −2
(
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x0 =
y0 =
2
1
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Sistemi di disequazioni
sistemi di disequazioni di primo grado: esempio
il sistema
(
2x + 14 ≥ 12 + x
3x − 2 <
7
ha soluzione
−2 ≤ x < 3
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Sistemi di disequazioni
sistemi di disequazioni di secondo grado: esempio
il sistema
(
x 2 − 5x + 6 > 0
x 2 − 16 <
0
ha soluzione
(−4 < x < 2) ∪ (3 < x < 4)
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