Matematica per le scienze sociali
Vettori e matrici
Francesco Lagona
University of Roma Tre
F. Lagona
([email protected])
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Outline
1
vettori
2
Prodotto scalare
3
Matrici
vettori
vettori
un vettore è una n-pla ordinata di numeri reali
x = (x1 , x2 , . . . , xn )
rappresentabile graficamente come un segmento orientato che unisce
il vettore nullo 0 = (0, 0, . . . 0) a x
(−1,−2,−2)
−1
4
y
0
z
y
0
2
4
1
2
(1,2)
−2
2
0
−4
−2
−2
−4
−2
−1
0
1
2
−4
−2
0
2
4
x
x
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vettori
prodotto per uno scalare e somma
prodotto per uno scalare
ax = (ax1 , ax2 , . . . , axn )
somma
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
4
2
y
−2
−1
0
x
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0
−2
−4
−2
−1
y
0
1
2
(1,1)+(1,2)
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1
2
−2
−1
0
1
2
x
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vettori
combinazioni lineari
un vettore x puo’ essere usato per descrivere lo spazio
(uni-dimensionale) di tutti i vettori
y = ax
che otteniamo al variare dello scalare a
se y = ax, diciamo che i due vettori sono linearmente dipendenti
due vettori linearmente indipendenti, x1 e x2 , possono essere usati per
descrivere lo spazio (bidimensionale) di tutti i vettori
y = a1 x1 + a2 x2
se y = a1 x1 + a2 x2 , diciamo che i tre vettori y, x1 , x2 sono
linearmente dipendenti
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vettori
combinazioni lineari
in generale, n vettori sono linearmente dipendenti se esistono n scalari
a1 . . . an , non tutti nulli, tali che
a1 x1 + a2 x2 + . . . an xn = 0
n vettori linearmente indipendenti possono essere usati per descrivere
lo spazio (n-dimensionale) dei vettori
y = a1 x1 + a2 x2 + . . . an xn
l’insieme dei vettori x1 . . . xn si chiama base dello spazio vettoriale che
contiene tutti i vettori y generati mediante combinazioni lineari
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Prodotto scalare
prodotto scalare
dati due vettori x e y di uguale dimensione, il loro prodotto scalare è
dato da
n
X
¯ AB
¯
< x, y >=< y, x >=
xi yi = AC
y
2
3
4
i=1
1
C
0
B
−1
A
−1
0
1
2
3
4
x
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Prodotto scalare
applicazioni
lunghezza di un vettore
√
v
u n
uX
< x, x > = t xi2
i=1
se due vettori sono perpendicolari, allora
< x, y >=
n
X
xi yi = 0
i=1
disuguaglianza di Chauchy-Schwartz
< x, y >2
n
X
i=1
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xi yi
!2
≤ < x, x >< y, y >
≤
n
X
i=1
xi2
!
n
X
i=1
yi2
!
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Matrici
matrici
esempio
a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
matrice trasposta
T
A =
a11 a21 a31
a12 a22 a32
!
somma
b11 b12
B = b21 b22
b31 b32
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a11 + b11 a12 + b12
A + B = a21 + b21 a22 + b22
a31 + b31 a32 + b32
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Matrici
matrici
prodotto per uno scalare
ca11 ca12
cA = ca21 ca22
ca31 ca32
sottrazione
a11 − b11 a12 − b12
A − B = a21 − b21 a22 − b22
a31 − b31 a32 − b32
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Matrici
prodotto matriciale
consideriamo due matrici
a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
B=
b11 b12
b21 b22
!
il prodotto matriciale è dato da
!
a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22
a11 a12
b11 b12
= a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22
AB = a21 a22
b21 b22
a31 b11 + a32 b21 a31 b12 + a32 b22
a31 a32
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Matrici
matrice inversa
data una matrice quadrata A, la sua inversa è una matrice A−1 tale
che
AA−1 = A−1 A = I
dove I è la matrice identità
esempio:
4 2
2 4
!
1
3
− 61
− 16
1
3
!
=
1 0
0 1
!
non sempre esiste l’inversa di una matrice quadrata
il rango di una matrice quadrata è il numero di colonne linearmente
indipendenti
una matrice n × n è invertibile se ha rango n
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Matrici
applicazioni ai sistemi lineari
un sistema di primo grado del tipo
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1
a x +a x +a x =c
21 1
22 2
23 3
2
a x + a x + a x = c
31 1
32 2
33 3
2
può essere scritto in forma matriciale
Ax = c
se A è invertibile, la sua soluzione è
x = A−1 c
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