Prerequisiti di Matematica
Trigonometria
Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci
[email protected]
[email protected]
Università di Napoli “Parthenope”
Angoli
Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due
semirette con l’origine in comune (il vertice).
Angoli
Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due
semirette con l’origine in comune (il vertice).
In effetti le due semirette individuano due angoli (α e β).
Angoli
Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due
semirette con l’origine in comune (il vertice).
In effetti le due semirette individuano due angoli (α e β).
Per precisare a quale angolo ci riferiamo, dobbiamo
specificare qual è il primo lato e quale il secondo lato.
Intendiamo cosı̀ l’angolo spazzato dal primo lato per
sovrapporsi al secondo lato ruotando in senso
antiorario (angolo positivamente orientato)
Angoli
Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due
semirette con l’origine in comune (il vertice).
In effetti le due semirette individuano due angoli (α e β).
Per precisare a quale angolo ci riferiamo, dobbiamo
specificare qual è il primo lato e quale il secondo lato.
Intendiamo cosı̀ l’angolo spazzato dal primo lato per
sovrapporsi al secondo lato ruotando in senso
antiorario (angolo positivamente orientato)
Angoli: gradi e radianti
Misureremo gli angoli in radianti. Per farlo, fissiamo nel
piano un riferimento cartesiano e tracciamo la
circonferenza unitaria (centrata nell’origine, di raggio
1). Riportiamo poi l’angolo in modo che il vertice
coincida con l’origine ed il primo lato con la semiretta
delle x positive.
La misura dell’angolo in radianti è la lunghezza dell’arco
di circonferenza intercettatto.
Angoli: gradi e radianti
La misura dell’angolo in radianti è la lunghezza dell’arco
di circonferenza intercettatto.
In tal modo, l’angolo giro corrisponde alla lunghezza
della circonferenza, cioè 2π.
Poiché l’angolo giro misura 360 gradi, possiamo
impostare il rapporto
αg : 360 = αr : 2π
da cui le equivalenze
180
π
αg o αg =
αr
αr =
180
π
Angoli: gradi e radianti
La misura dell’angolo in radianti è la lunghezza dell’arco
di circonferenza intercettatto.
Una misura positiva corrisponde ad un angolo
positivamente orientato (cioè orientato in senso
antiorario), mentre una misura negativa corrisponde ad
un angolo negativamente orientato (cioè orientato in
senso orario).
Angoli: gradi e radianti
Riportiamo in un diagramma le misure degli angoli più
usati:
◦
◦
◦
◦
0 =0
30 = π/6
45 = π/4
60 = π/3
◦
◦
◦
◦
90 = π/2 120 = 2π/3 135 = 3π/4 150 = 5π/6
◦
◦
◦
180 = π 270 = 3π/2 360 = 2π
Seno e Coseno
Nel nostro riferimento cartesiano, assegnare un angolo è
equivalente ad indicare le coordinate del punto P
intercettato dal suo secondo lato sulla circonferenza
unitaria.
Seno e Coseno
Nel nostro riferimento cartesiano, assegnare un angolo è
equivalente ad indicare le coordinate del punto P
intercettato dal suo secondo lato sulla circonferenza
unitaria.
Definizione
Il seno di un angolo α (in simboli, sin α) è l’ordinata del
punto P .
Seno e Coseno
Nel nostro riferimento cartesiano, assegnare un angolo è
equivalente ad indicare le coordinate del punto P
intercettato dal suo secondo lato sulla circonferenza
unitaria.
Definizione
Il seno di un angolo α (in simboli, sin α) è l’ordinata del
punto P .
Il coseno di un angolo α (in simboli, cos α) è l’ascissa
del punto P .
Percorrendo la circonferenza in senso antiorario, ci
accorgiamo che dopo un angolo 2π ci ritroviamo al
punto iniziale, quindi tutti gli angoli di tipo α, α + 2π
. . . α + 2kπ con k ∈ Z rappresentano lo stesso punto
sulla circonferenza.
sin(α + 2kπ) = sin α cos(α + 2kπ) = cos α ∀k ∈ Z
Diremo che seno e coseno hanno periodo 2π.
Percorrendo la circonferenza in senso antiorario, ci
accorgiamo che dopo un angolo 2π ci ritroviamo al
punto iniziale, quindi tutti gli angoli di tipo α, α + 2π
. . . α + 2kπ con k ∈ Z rappresentano lo stesso punto
sulla circonferenza.
sin(α + 2kπ) = sin α cos(α + 2kπ) = cos α ∀k ∈ Z
Diremo che seno e coseno hanno periodo 2π.
Altre importanti proprietà:
| sin α| ≤ 1
| cos α| ≤ 1
2
2
sin α + cos α = 1
sin(−α) = − sin α
cos(−α) = cos α
Riportiamo in un diagramma i valori dei seni e coseni più
usati:
√
sin 0 = 0 , cos 0 = 1
sin π6 = 21 , cos π6 = 23
sin π4 =
√
2
2
√
2
2
, cos π4 =
sin π3 =
sin π2 = 1 , cos π2 = 0
Per simmetria
si ricavano anche
√
3
2π
1
3π
sin 3 = 2 , cos 2π
3 = − 2 sin 4 =
1
5π
sin 5π
6 = 2 , cos 6 =
3π
sin 3π
2 = −1 , cos 2
√
−
3
2
=0
√
3
2
√
2
2
, cos π3 =
1
2
, cos 3π
4 =−
√
sin π = 0 , cos π = −1
2
2
Formule di addizione
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Formule di addizione
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
da cui si ricavano
Formule di duplicazione
sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos2 α − sin2 α
Formule di addizione
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
da cui si ricavano
Formule di duplicazione
sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos2 α − sin2 α
Formule di sottrazione
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Formule di addizione
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
da cui si ricavano
Formule di duplicazione
sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos2 α − sin2 α
Formule di sottrazione
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Simmetrie
sin(π + α) = − sin α
sin(π − α) = sin α
cos(π + α) = − cos α cos(π − α) = − cos α
sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 − α) = cos α
cos(π/2 + α) = − sin α cos(π/2 − α) = sin α
Tangente
Definizione
La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e
il suo coseno
sin α
tgα =
cos α
Tangente
Definizione
La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e
il suo coseno
sin α
tgα =
cos α
Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza
del segmento intercettato dall’angolo α sulla retta x = 1.
Tangente
Definizione
La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e
il suo coseno
sin α
tgα =
cos α
Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza
del segmento intercettato dall’angolo α sulla retta x = 1.
È definita per α 6= π/2 + kπ con k ∈ Z.
Tangente
Definizione
La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e
il suo coseno
sin α
tgα =
cos α
Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza
del segmento intercettato dall’angolo α sulla retta x = 1.
È definita per α 6= π/2 + kπ con k ∈ Z.
Ha periodo π: tg(α + kπ) = tgα
Tangente
Definizione
La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e
il suo coseno
sin α
tgα =
cos α
Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza
del segmento intercettato dall’angolo α sulla retta x = 1.
È definita per α 6= π/2 + kπ con k ∈ Z.
Ha periodo π: tg(α + kπ) = tgα
tgα + tgβ
Formula di addizione tg(α + β) =
1 − tgα tgβ
Tangente
Definizione
La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e
il suo coseno
sin α
tgα =
cos α
Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza
del segmento intercettato dall’angolo α sulla retta x = 1.
È definita per α 6= π/2 + kπ con k ∈ Z.
Ha periodo π: tg(α + kπ) = tgα
tgα + tgβ
Formula di addizione tg(α + β) =
1 − tgα tgβ
2tgα
Formula di duplicazione tg(2α) =
1 − tg2 α
Esercizio
Calcolare:
sin 5π
cos 7π/2
sin 9π/2
sin 15π/4
cos 19π/6
cos 22π/3
Esercizio
Calcolare:
sin 5π
cos 7π/2
sin 9π/2
sin 15π/4
cos 19π/6
cos 22π/3
Esercizio
Determinare tutti i valori dell’angolo α per cui risulta
sin α = 0
cos α = 1/2
cos α = 0
√
sin α = 2/2
sin α = −1
√
cos α = − 2/2
Equazioni trigonometriche
Esercizio
Risolvere le equazioni
sin2 x = 1
sin x + cos x = 0
sin2 x − sin x = 0
sin2 x = 2 cos x + 1
2 cos2 x + 3 sin x − 3 = 0
tg2 x − tgx = 0
Disequazioni trigonometriche
Esercizio
Risolvere le disequazioni
√
sin x > 2/2
cos x < 1/2
sin ≤ −1/2
cos x ≥ 1
cos x < 1/2
sin2 x ≤ sin x
Disequazioni trigonometriche
Esercizio
Risolvere le disequazioni
√
sin x > 2/2
cos x < 1/2
sin ≤ −1/2
cos x ≥ 1
cos x < 1/2
sin2 x ≤ sin x
Esercizio
Risolvere le disequazioni
sin x < cos x
nell’intervallo 0 ≤ x ≤ π
3 − tg2 x ≤ 0
nell’intervallo −π/2 < x < π/2
