fenomeni periodici e funzioni trigonometriche

FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
f: R→ R è detta funzione periodica di periodo T>0 se
per ogni x∈R
f(x+T) = f(x)
Gli angoli hanno natura periodica: un angolo di 30° o un
angolo di 30°+360° = 390° sono lo stesso angolo.
Il grado è un’unità di misura non collegabile all’unità di
misura delle lunghezze.
Il radiante è strettamente legato all’unità di misura delle
lunghezze
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Si definisce l’angolo di 1 radiante, l’angolo che sottende
un arco di lunghezza 1 in una circonferenza di raggio 1.
La misura in radianti di un angolo coincide con la
lunghezza dell’arco sotteso in una circonferenza di
raggio unitario.
L’angolo giro, 360°, sottende l’intera circonferenza che è
lunga 2π , quindi l’angolo giro misura 2π radianti
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
L’angolo piatto, 180°, sottende mezza circonferenza che è
lunga π , quindi l’angolo piatto misura π radianti
L’angolo retto, 90°, sottende un quarto di circonferenza
che è lunga 2π/4 , quindi l’angolo giro misura π/2
radianti
In generale, un angolo di x gradi, x°, sottende x/360 di
circonferenza e quindi misura 2πx/360 radianti
x°= πx/180 rad
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Viceversa, avendo la misura di un angolo in radianti si
ottiene la corrispondente misura in gradi moltiplicando
per 180/π
r rad =(180r/ π)°
Si ha quindi
1 rad =(180/ π)° ≈ 57.29°
Gli angoli hanno un verso: possiamo percorrerli in senso
orario o antiorario, di conseguenza la loro misura ha un
segno positivo o negativo.
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Per convenzione, si considera positivo un angolo
percorso in senso antiorario, e negativo un angolo
percorso in senso orario.
Sia C ⊂ R2 la circonferenza nel piano cartesiano di centro
l’origine e di raggio unitario. Per ogni θ∈R l’angolo di θ
radianti, misurato a partire dalla semiretta positiva delle
ascisse, identifica in modo unico un punto P(θ) sulla
circonferenza C. Definiamo le due seguenti funzioni: cosθ
(coseno di θ) l’ascissa del punto P(θ), sinθ (seno di θ)
l’ordinata di P(θ).
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Abbiamo definito due funzioni
sin: R→ R
cos: R→ R
periodiche di periodo 2π
∀k∈Z
cos(θ+2k π)=cosθ e sin(θ+2k π) = sinθ
Poiché ascissa e ordinata del punto P(θ) variano tra -1 ed
1, lo stesso accade per seno e coseno
-1 ≤ cos θ ≤ 1
-1 ≤ sin θ ≤ 1
Quindi l’insieme immagine delle funzioni seno e coseno è
l’intervallo [-1, 1]
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione coseno, ascissa del punto P(θ), risulterà
strettamente decrescente da 0, dove assume valore
massimo 1 (cos0=1), fino a π, dove assume valore
minimo -1 (cosπ=-1); strettamente crescente da π fino a
2π, e, data la sua periodicità, ripeterà questo andamento.
quindi
cosθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli
[2kπ, (2k+1)π]
∀k∈Z
cosθ risulterà strettamente crescente negli intervalli
[(2k-1)π, 2kπ]
∀k∈Z
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione coseno risulterà positiva nell’intervallo
(-π/2, π/2) e, più in generale, negli intervalli
(2kπ -π/2, 2kπ + π/2) ∀k∈Z
Si ha cosπ/2=0= cos(-π/2) e quindi, più in generale,
cos(π/2 + kπ)=0 ∀k∈Z
In generale si osserva che, per ogni θ, cosθ =cos(-θ), la
funzione coseno è una funzione pari
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione seno, ordinata del punto P(θ), risulterà
strettamente crescente da 0, dove assume valore 0
(sin0=0), fino a π/2, dove assume valore massimo 1
(sinπ/2=1); strettamente decrescente da π/2 fino a 3π/2,
dove assume valore minimo -1 (sin3π/2= -1); di nuovo
crescente da 3π/2 fino a 2π, a partire dal quale, data la
periodicità ripeterà questo andamento.
sinθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli
[2kπ + π/2 , 2kπ + 3π/2]
∀k∈Z
sinθ risulterà strettamente crescente negli intervalli
[2kπ - π/2, 2kπ + π/2]
∀k∈Z
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione seno risulterà positiva nell’intervallo
(0, π) e, più in generale, negli intervalli
(2kπ , (2k+1)π ) ∀k∈Z
Si ha sin0= 0 =sinπ = sin(kπ)
sinπ/2 =1 =sin(2kπ + π/2)
sin(-π/2) = -1 = sin(2kπ - π/2)
In generale si osserva che, per ogni θ, si ha
sin(-θ) = -sin θ
per cui la funzione seno è una
funzione dispari
Grafici delle funzioni sinx e cosx
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Ruotando di ±π, cambiamo di segno ascisse e ordinate
dei punti, quindi
cos(θ ± π) = -cos θ,
sin(θ ± π) = -sin θ
Ruotando in senso antiorario di π/2, trasformiamo le
ascisse in ordinate sin(θ + π/2) = cosθ e le ordinate in
ascisse cambiate di segno cos(θ + π/2) = -sin θ
Le funzioni seno e coseno non hanno limite sia per
θ→+∞ che per θ→−∞ , infatti continuano ad oscillare
tra i valori -1 ed 1.
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Il punto P(θ) si muove sulla circonferenza di centro
l’origine e raggio 1, quindi dista dall’origine 1, per cui
vale per le sue coordinate la relazione
cos2 θ + sin2 θ = 1
E’ possibile, inoltre, ricavare le seguenti relazioni, note
come formule di addizione
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Tenendo conto che coseno è una funzione pari e che seno
è una funzione dispari, si hanno anche
sin(α- β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
In generale, se consideriamo nel piano cartesiano un
punto P= (x,y) a distanza r dall’origine ed indichiamo
con θ l’angolo che la semiretta per l’origine e per P
forma con l’asse positivo delle ascisse, dalla similitudine
dei triangoli otteniamo
x=rcosθ, y= rsinθ
(r, θ) sono chiamate le coordinate polari di P
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Conoscendo le coordinate cartesiane di un punto è
possibile determinare le sue coordinate polari, basta
utilizzare il teorema di Pitagora e le due relazioni
precedenti, si ha
r=sqr(x2 + y2 )
cosθ = x/r = x/sqr(x2 + y2 )
sinθ = y/r =y/ sqr(x2 + y2 )